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RCS file: /home/cvs/OpenXM/doc/compalg/factor.tex,v
retrieving revision 1.1.1.1
retrieving revision 1.2
diff -u -p -r1.1.1.1 -r1.2
--- OpenXM/doc/compalg/factor.tex	2000/03/01 02:25:51	1.1.1.1
+++ OpenXM/doc/compalg/factor.tex	2000/03/28 01:59:21	1.2
@@ -1216,7 +1216,6 @@ F(x) &=& x^{16} (x^2-28)^8 (x^2-20)^8 (x^2-8)^8 (x^2-1
 一般に, 有理関数 $f(x)=n(x)/d(x)$ ($n,d \in \Q[x]$) の不定積分は, 
 $f$ の部分分数分解により計算できる. しかし, そのために分母 $d$ を
 1 次因子の積に分解するには $d$ の最小分解体を求めることが必要となる. 
-
 また, 不定積分自体に, $d$ の分解により現れた代数的数が現れるとは
 限らない. 
 \begin{ex}
@@ -1290,12 +1289,12 @@ $$\int f dx = \sum_i c_i\log r_i$$
 と書ける. 一般に $c_i \in \Q, r_i \in \Q[x]$ とは限らず, 何らかの代数的数を含む
 可能性があるが, この代数拡大を最小限にするような表示を求めたい. 
 
-\begin{pr}(Rothstein)
+\begin{pr}(Rothstein{\rm\cite{DAV}})
 
 $K$ を複素数体 $\C$ の部分体とし, 
 $f(x)=n(x)/d(x)$, $n,d \in K[x]$, $\GCD(n,d)=1$, $\deg(n)<\deg(d)$ で $d$ は無平方, 無平方とする. このとき, 
 $$n/d = \sum_{i=1}^n c_i v_i'/v_i$$
-ただし $c_i \in \C$ は相異り, $v_i \in \C[x]$, $v_i$ はモニック, 無平方で互いに素, 
+ただし $c_i \in \C$ は相異なり, $v_i \in \C[x]$, $v_i$ はモニック, 無平方で互いに素, 
 と書けたならば, $c_i$ は
 $$R(z)=\res_x(n-zd',d) \in K[z]$$
 の根で, 
@@ -1306,7 +1305,7 @@ $$v_i=\GCD(n-c_id',d).$$
 
 $v=\prod_{i=1}^n$ とおくと, 
 $$nv = d\sum_{i=1}^nc_iv_i'(v/v_i).$$
-$\GCD(n,d)=1$ より $d|v.$ 一方で, $v_i$|右辺より, もし $v{\not |}$
+$\GCD(n,d)=1$ より $d|v.$ 一方で, $v_i|$右辺より, もし $v_i{\not |}d$
 ならば $v_i|c_iv_i'(v/v_i)$ となるが, これは $v_i$ に関する条件より不可能. 
 よって $v_i|d.$ 結局 $v|d$ となり $v=d.$ \qed\\
 \underline{claim 2} $v_i=\GCD(n-c_id',d).$
@@ -1328,7 +1327,7 @@ $$g|(n-cd')=\sum_{j=1}^n (c_j-c)v_j'(v/v_j)$$
 より, $g|(c_i-c)v_i'(v/v_i).$ これは $c_i=c$ のときのみ可能. \qed
 
 \begin{co}
-$K$ を複素数体 $C$ の部分体とし, 
+$K$ を複素数体 $\C$ の部分体とし, 
 $f(x)=n(x)/d(x)$, $n,d \in K[x]$, $\GCD(n,d)=1$, $\deg(n)<\deg(d)$ で $d$ は無平方, モニックとし, 
 $$R(z)=\res_x(n-zd',d) \in K[z]$$
 とする.