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%comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/n_wishartd/n_wishartd-ja.texi,v 1.4 2017/08/31 06:31:45 takayama Exp $
%comment --- おまじない ---
\input texinfo-ja
@iftex
@catcode`@#=6
@def@fref#1{@xrefX[#1,,@code{#1},,,]}
@def@b#1{{@bf #1}}
@catcode`@#=@other
@end iftex
@overfullrule=0pt
@documentlanguage ja
@c -*-texinfo-*-
@comment %**start of header
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- GNU info ファイルの名前 ---
@setfilename asir-contrib-n_wishartd

@comment --- タイトル ---
@settitle n_wishartd

@comment %**end of header
@comment %@setchapternewpage odd

@comment --- おまじない ---
@ifinfo
@macro fref{name}
@ref{\name\,,@code{\name\}}
@end macro
@end ifinfo

@iftex
@comment @finalout
@end iftex

@titlepage
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 ---
@title n_wishartd
@subtitle n_wishartd User's Manual
@subtitle Edition 1.0
@subtitle Aug 2016

@author  by Masayuki Noro
@page
@vskip 0pt plus 1filll
Copyright @copyright{} Masayuki Noro
2016. All rights reserved.
@end titlepage

@comment --- おまじない ---
@synindex vr fn
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- @node は GNU info, HTML 用 ---
@comment --- @node  の引数は node-name,  next,  previous,  up --- 
@node Top,, (dir), (dir)

@comment --- @menu は GNU info, HTML 用 ---
@comment --- chapter 名を正確に並べる ---
@menu
* matrix 1F1 の対角領域上への制限パッケージ n_wishartd.rr ::
* Index::
@end menu

@comment --- chapter の開始 ---
@comment --- 親 chapter 名を正確に ---
@node matrix 1F1 の対角領域上への制限パッケージ n_wishartd.rr ,,, Top
@chapter matrix 1F1 の対角領域上への制限パッケージ n_wishartd.rr 
@comment --- section 名を正確に並べる ---
@menu
* matrix 1F1 の対角領域上への制限::
* 制限した関数の数値計算::
* 部分分数係数の微分作用素::
* Runge-Kutta 法の試験的実装::
@end menu

このマニュアルでは, asir-contrib パッケージに収録されている,
matrix 1F1 が対角領域上で満たす微分方程式系を計算するパッケージ
@samp{n_wishartd.rr} について解説する.
このパッケージを使うには, まず @samp{n_wishartd.rr} をロードする.
@example
[...] load("n_wishartd.rr");
@end example
@noindent
このパッケージの函数を呼び出すには, 全て @code{n_wishartd.} を先頭につける.

@comment --- section の開始 ---
@comment --- 書体指定について ---
@comment --- @code{} はタイプライタ体表示 ---
@comment --- @var{} は斜字体表示 ---
@comment --- @b{} はボールド表示 ---
@comment --- @samp{} はファイル名などの表示 ---

@node matrix 1F1 の対角領域上への制限,,, matrix 1F1 の対角領域上への制限パッケージ n_wishartd.rr
@section matrix 1F1 の対角領域上への制限

@menu
* n_wishartd.diagpf::
* n_wishartd.message::
@end menu

@node n_wishartd.n_wishartd.diagpf,,, matrix 1F1 の対角領域上への制限

@subsection @code{n_wishartd.diagpf}
@findex n_wishartd.diagpf

@table @t
@item n_wishartd.diagpf(@var{m},@var{blocks})
@var{m}変数の 1F1 が満たす方程式を, @var{blocks} で指定される
対角領域上に制限した微分方程式系を計算する.
@end table

@table @var
@item return
@var{[E1,E2,...]} なるリスト, 各 @var{Ei} は
部分分数を係数とする微分作用素で, 制限した 1F1を零化する.

@item m
自然数
@item vars
@var{[[s1,e1],[s2,e2],...]} なるリスト.
@item options
下の説明参照.
@end table

@itemize @bullet
@item @var{m}変数の 1F1 が満たす方程式を, @var{blocks} で指定される
対角領域上に制限した微分方程式系を計算する.
@item @var{blocks} の各成分 @var{[s,e]} は @var{ys=y(s+1)=...=ye} を意味する.
このブロックを代表する変数は @var{ye} である.
@item @var{blocks} には全ての変数が現れるように指定する. 特に, 一つの変数からなる
ブロックは @var{[s,s]} と指定する.
@item この関数が常に成功することは証明されていないが, 現在のところ, 各変数ブロックサイズが
36 以下なら成功することは証明されている.
@item 出力される微分作用素のフォーマットに関しては @ref{部分分数を係数とする微分作用素} を
参照.
@end itemize

@example
[2649] Z=n_wishartd.diagpf(5,[[1,3],[4,5]]); 
[
 [[[[-1,[]]],(1)*<<0,0,0,0,3,0>>],
  [[[-2,[[y1-y4,1]]],[-2,[[y4,1]]]],(1)*<<0,1,0,0,1,0>>],
  [[[9/2,[[y1-y4,1]]],[-3*c+11/2,[[y4,1]]],[3,[]]],(1)*<<0,0,0,0,2,0>>],
  ...
  [[[-6*a,[[y1-y4,1],[y4,1]]],[(4*c-10)*a,[[y4,2]]],[-4*a,[[y4,1]]]],
   (1)*<<0,0,0,0,0,0>>]],
 [[[[-1,[]]],(1)*<<0,4,0,0,0,0>>],

  [[[-6,[[y1-y4,1]]],[-6*c+10,[[y1,1]]],[6,[]]],(1)*<<0,3,0,0,0,0>>],
  [[[5,[[y1-y4,1]]],[-5,[[y1,1]]]],(1)*<<0,2,0,0,1,0>>],
  ...
  [[[21*a,[[y1-y4,2],[y1,1]]],[(36*c-87)*a,[[y1-y4,1],[y1,2]]],
   [-36*a,[[y1-y4,1],[y1,1]]],[(18*c^2-84*c+96)*a,[[y1,3]]],
   [-9*a^2+(-36*c+87)*a,[[y1,2]]],[18*a,[[y1,1]]]],(1)*<<0,0,0,0,0,0>>]]
]
@end example

@node n_wishartd.message,,, matrix 1F1 の対角領域上への制限

@subsection @code{n_wishartd.message}
@findex n_wishartd.message

@table @t
@item n_wishartd.message(@var{onoff})
計算中のメッセージ出力をon/off する.
@end table

@table @var
@item onoff
@var{onoff=1} のときメッセージを出力し, @var{onoff=0} のときしない.
@end table

@itemize @bullet
@item 計算中のメッセージ出力を on/off する. デフォルトは off である.
@end itemize

@node 制限した関数の計算,,, matrix 1F1 の対角領域上への制限パッケージ n_wishartd.rr
@section 制限した関数の計算

@menu
* n_wishartd.prob_by_hgm::
* n_wishartd.prob_by_ps::
* n_wishartd.ps::
@end menu

@node n_wishartd.prob_by_hgm,,, 制限した関数の計算
@subsection @code{n_wishartd.prob_by_hgm}
@findex n_wishartd.prob_by_hgm

@table @t
@item n_wishartd.prob_by_hgm(@var{m},@var{n},@var{[p1,p2,...]},@var{[s1,s2,...]},@var{t}[|@var{options}])
HGM により重複固有値を持つ共分散行列に対する Wishart 行列の最大固有値の
分布関数の値を計算する.
@end table

@table @var
@item return
@item m
変数の個数
@item n
自由度
@item [p1,p2,...]
重複固有値の個数のリスト
@item [s1,s2,...]
各重複固有値
@end table

@itemize @bullet
@item 
固有値 @var{si} を @var{pi} 個もつ対角行列を共分散行列とする Wishart 行
列の最大固有値 @var{l1}の分布関数の値 @var{Pr[l1<t]} を計算する.

@item ステップ数を指定したルンゲ=クッタ法を, ステップ数を 2 倍しながら
一つ前の計算結果との相対誤差が @var{eps} (デフォルトで @var{10^(-4)})
になるまで繰り返す.
@item
@var{eq} オプション指定がない場合, @var{[p1,p2,...]} で指定される対角領
域に制限した微分方程式系を計算する. 指定がある場合, オプションとして指
定されたリストをチェックなしに制限した方程式と見なして計算する.
@item @var{eps}オプションが指定された場合, 指定された値を @var{eps} として計算する.
@item @var{td} オプションが指定された場合, 初期ベクトル計算のためのべき級数を @var{td} で
指定された全次数まで計算する (デフォルトは100).
@item @var{rk} オプションが指定された場合, 指定された次数のルンゲ=クッタ法を用いる.
許される値は 4 または 5, でデフォルトは 5である.
@item べき級数解の計算の困難さ, およびパフィアン行列の計算の困難さから, ブロック数が 2 以下の場合にのみ
実用性がある.
@end itemize

@example
[...] n_wishartd.message(1)$
[...] P=n_wishartd.prob_by_hgm(10,100,[9,1],[1/100,1],100|eps=10^(-6));
...
[x0=,8/25]
Step=10000
[0]
[8.23700622458446e-17,8.23700622459772e-17]
...
Step=1280000
[0][100000][200000][300000]...[900000][1000000][1100000][1200000]
[0.516246820120598,0.516246820227214]
[log ratio=,4.84611265040128]

Step=2560000
[0][100000][200000][300000]...[2200000][2300000][2400000][2500000]
[0.516246912003845,0.516246912217004]
[log ratio=,4.93705929488356]
[diag,18.6292,pfaffian,1.09207,ps,41.0026,rk,213.929]
0.516246912217004
266.4sec + gc : 8.277sec(276.8sec)
@end example

@node n_wishartd.prob_by_ps,,, 制限した関数の計算
@subsection @code{n_wishartd.prob_by_ps}
@findex n_wishartd.prob_by_ps

@table @t
@item n_wishartd.prrob_by_ps(@var{m},@var{n},@var{[p1,p2,...]},@var{[s1,s2,...]},@var{t}[|@var{options}])
べき級数により重複固有値を持つ共分散行列に対する Wishart 行列の最大固有値の
分布関数の値を計算する.
@end table

@table @var
@item m
変数の個数
@item n
自由度
@item [p1,p2,...]
重複固有値の個数のリスト
@item [s1,s2,...]
各重複固有値
@end table

@itemize @bullet
@item 
直前の値との相対誤差が @var{eps} (デフォルト値は @var{10^(-4)}) 以下に
なるまで, べき級数を全次数ごとに計算する. その値から分布関数の値を計算
して返す.
@item @var{eps}オプションが指定された場合, 指定された値を @var{eps} として計算する.
@var{eq} オプション指定がない場合, @var{[p1,p2,...]} で指定される対角領
域に制限した微分方程式系を計算する. 指定がある場合, オプションとして指
定されたリストをチェックなしに制限した方程式と見なして計算する.
@item @var{t} の値が小さい場合にのみ実用的に用いることができる.
@end itemize

@example
[...] Q=n_wishartd.prob_by_ps(10,100,[9,1],[1/100,1],1/2);
...
[I=,109,act,24.9016,actmul,0,gr,19.7852]
2.69026137621748e-165
61.69sec + gc : 2.06sec(64.23sec)
[...] R=n_wishartd.prob_by_hgm(10,100,[9,1],[1/100,1],1/2|td=50);
[diag,15.957,pfaffian,1.00006,ps,5.92437,rk,1.29208]
2.69026135182769e-165
23.07sec + gc : 1.136sec(24.25sec)
@end example

@node n_wishartd.ps,,, 制限した関数の計算
@subsection @code{n_wishartd.ps}
@findex n_wishartd.ps

@table @t
@item n_wishartd.ps(@var{z},@var{v},@var{td})
微分方程式系のべき級数解を指定された全次数まで計算する.
@end table

@table @var
@item return
多項式リスト

@item z
部分分数係数の微分作用素のリスト
@item v
変数リスト
@end table

@itemize @bullet
@item 
結果は @var{[p,pd]} なるリストで, @var{p} は @var{td} 次まで求めたべき級数解, @var{pd} は
@var{p} の @var{td} 次部分である.
@item @var{z} は, @var{v} に指定される変数以外のパラメタを含んではいけない.
@end itemize

@example
[...] Z=n_wishartd.diagpf(10,[[1,5],[6,10]])$
[...] Z0=subst(Z,a,(10+1)/2,c,(10+100+1)/2)$
[...] PS=n_wishartd.ps(Z0,[y1,y6],10)$
[...] PS[0];
197230789502743383953639/230438384724900975787223158176000*y1^10+
...
+(6738842542131976871672233/1011953706634779427957034268904320*y6^9
...+3932525/62890602*y6^2+1025/4181*y6+55/111)*y1
+197230789502743383953639/230438384724900975787223158176000*y6^10
+...+1395815/62890602*y6^3+3175/25086*y6^2+55/111*y6+1
@end example

@node 部分分数係数の微分作用素,,, matrix 1F1 の対角領域上への制限パッケージ n_wishartd.rr
@section 部分分数係数の微分作用素

@menu
* 部分分数の表現::
* 部分分数係数の微分作用素の表現::
* 部分分数係数の微分作用素の演算::
@end menu

@node 部分分数の表現,,, 部分分数係数の微分作用素
@subsection 部分分数の表現

matrix 1F1 が満たす微分方程式の係数は @var{1/yi}, @var{1/(yi-yj)} の定
数倍の和として書かれている. さらに, ロピタル則を用いた対角領域への制限
アルゴリズムの結果も同様に部分分数の和として書ける.

@itemize @bullet
@item 
分母に現れる @var{yi0^n0(yi1-yj1)^n1(yi2-yj2)^n2...(yik-yjk)^nk} は
@var{[[yi0,n0],[yi1-yj1,n1],...,[yik-yjk,nk]]} なる形のリストとして表現
される. ここで, 各因子 @var{yi-yj} は @var{i>j} を満たし, さらに因子は
ある一定の順序で整列される.
@item 
@var{f} を上のようなべき積とし, @var{c} を定数とするとき, 単項式にあた
る @var{c/f} は @var{[c,f]} で表現される.  @var{f=[]} の場合, 分母が 1
であることを意味する.
@item 
最後に, @var{c1/f1+...+ck/fk} は @var{[[c1,f1],...,[ck,fk]]} と表現され
る. ここでも, 各項はある一定の順序で整列される.
@item
部分分数を通分して簡約した結果, 0 になることもあることに注意する.
@end itemize

@node 部分分数係数の微分作用素の表現,,, 部分分数係数の微分作用素
@subsection 部分分数係数の微分作用素の表現

前節の部分分数を用いて, それらを係数とする微分作用素が表現できる.
@var{f1,...,fk} を部分分数の表現, @var{d1,...,dk} を分散表現単項式 (現
在設定されている項順序で @var{d1>...>dk}) とするとき, 微分作用素
@var{f1*d1+...+fk*dk} が@var{[f1,d1],...[fk,dk]]}で表現される.

@node 部分分数係数の微分作用素の演算,,, 部分分数係数の微分作用素
@subsection 部分分数係数の微分作用素の演算

@menu
* n_wishartd.wsetup::
* n_wishartd.addpf::
* n_wishartd.mulcpf::
* n_wishartd.mulpf::
* n_wishartd.muldpf::
@end menu

@node n_wishartd.wsetup,,, 部分分数係数の微分作用素の演算
@subsubsection @code{n_wishartd.wsetup}
@findex n_wishartd.wsetup

@table @t
@item n_wishartd.wsetup(@var{m})
@end table

@table @var
@item m
自然数
@end table

@itemize @bullet
@item @var{m} 変数の計算環境をセットする. 変数は @var{y0,y1,...,ym}, @var{dy0,...,dym}
で @var{y0, dy0} は中間結果の計算のためのダミー変数である.
@end itemize

@node n_wishartd.addpf,,, 部分分数係数の微分作用素の演算
@subsubsection @code{n_wishartd.addpf}
@findex n_wishartd.addpf
@table @t
@item n_wishartd.addpf(@var{p1},@var{p2})
@end table

@table @var
@item return
部分分数係数の微分作用素
@item p1, p2
部分分数係数の微分作用素
@end table

@itemize @bullet
@item 微分作用素 @var{p1}, @var{p2} の和を求める.
@end itemize

@node n_wishartd.mulcpf,,, 部分分数係数の微分作用素の演算
@subsubsection @code{n_wishartd.mulcpf}
@findex n_wishartd.mulcpf
@table @t
@item n_wishartd.mulcpf(@var{c},@var{p})
@end table

@table @var
@item return
部分分数係数の微分作用素
@item c
部分分数
@item p
部分分数係数の微分作用素
@end table

@itemize @bullet
@item 部分分数 @var{c} と微分作用素 @var{p} の積を計算する.
@end itemize

@node n_wishartd.mulpf,,, 部分分数係数の微分作用素の演算
@subsubsection @code{n_wishartd.mulpf}
@findex n_wishartd.mulpf
@table @t
@item n_wishartd.mulpf(@var{p1},@var{p2})
@end table

@table @var
@item return
部分分数係数の微分作用素
@item p1, p2
部分分数係数の微分作用素
@end table

@itemize @bullet
@item 微分作用素 @var{p1}, @var{p2} の積を計算する.
@end itemize

@node n_wishartd.muldpf,,, 部分分数係数の微分作用素の演算
@subsubsection @code{n_wishartd.muldpf}
@findex n_wishartd.muldpf
@table @t
@item n_wishartd.muldpf(@var{y},@var{p})
@end table

@table @var
@item return
部分分数係数の微分作用素
@item y
変数
@item p
部分分数係数の微分作用素
@end table

@itemize @bullet
@item 変数 @var{y} に対し, 微分作用素 @var{dy} と @var{p} の微分作用素としての
積を計算する.
@end itemize

@example
[...] n_wishartd.wsetup(4)$
[...] P=n_wishartd.wishartpf(4,1);
[[[[1,[]]],(1)*<<0,2,0,0,0>>],[[[1/2,[[y1-y2,1]]],[1/2,[[y1-y3,1]]],
...,[[[-a,[[y1,1]]]],(1)*<<0,0,0,0,0>>]]
[...] Q=n_wishartd.muldpf(y1,P);
[[[[1,[]]],(1)*<<0,3,0,0,0>>],[[[1/2,[[y1-y2,1]]],[1/2,[[y1-y3,1]]],
...,[[[a,[[y1,2]]]],(1)*<<0,0,0,0,0>>]]
@end example

@node Runge-Kutta 法の試験的実装,,, matrix 1F1 の対角領域上への制限パッケージ n_wishartd.rr
@section Runge-Kutta 法の試験的実装

@menu
* rk_ratmat::
@end menu

@node rk_ratmat,,, Runge-Kutta 法の試験的実装

@code{n_wishartd.ps_by_hgm} では, パフィアン行列を計算したあと, 与えられたステップ数で
Runge-Kutta 法を実行して近似解の値を計算する組み込み関数 @code{rk_ratmat} を実行している.
この関数を, 値が与えられた精度で安定するまでステップ数を2倍しながら繰り返して実行する.
@code{rk_ratmat} 自体, ある程度汎用性があるので, ここでその使用法を解説する.

@subsection @code{rk_ratmat}
@findex rk_ratmat

@table @t
@item rk_ratmat(@var{rk45},@var{num},@var{den},@var{x0},@var{x1},@var{s},@var{f0})
有理関数係数のベクトル値一階線形常微分方程式系を Runge-Kutta 法で解く
@end table

@table @var
@item return
実数のリスト

@item rk45
4 または 5
@item num
定数行列の配列
@item den
多項式
@item x0, x1
実数
@item s
自然数
@item f0
実ベクトル
@end table

@itemize @bullet
@item 
配列 @var{num} のサイズを @var{k} とするとき,
@var{P(x)=1/den(num[0]+num[1]x+...+num[k-1]x^(k-1))} に対し @var{dF/dx = P(x)F}, @var{F(x0)=f0} を
Runge-Kutta 法で解く.
@item
@var{rk45} が 4 のとき 4 次 Runge-Kutta, 5 のとき 5 次 Runge-Kutta アルゴリズムを実行する.
実験的実装のため, adaptive アルゴリズムは実装されていない.
@item
@var{s} はステップ数で, 刻み幅は@var{(x1-x0)/s} である.
@item
@var{f0} がサイズ@var{n} のとき, @var{num} の各成分は @var{n} 次正方行列である.
@item
結果は, 長さ @var{s} の実数リスト @var{[r1,...,rs]} で, @var{ri} は @var{i} ステップ目に計算された
解ベクトルの第0成分である. 次のステップに進む前に解ベクトルを @var{ri} で割るので, 最終的に
解 @var{F(x1)} の第 0 成分が @var{rs*r(s-1)*...*r1} となる.
@item 方程式が線形なので, Runge-Kutta の各ステップも線形となることを利用し,
第0成分を1に正規化することで, 途中の解の成分が倍精度浮動小数の
範囲に収まることを期待している. 初期ベクトル @var{f0} の成分が倍精度浮動小数に収まらない場合
は, @var{f0} を正規化してから @code{rk_ratmat} を実行し, 前項の結果に @var{f0} の第 0 成分をかければ
よい.
@end itemize

@example
[...] F=ltov([sin(1/x),cos(1/x),sin(1/x^2),cos(1/x^2)]);
[ sin((1)/(x)) cos((1)/(x)) sin((1)/(x^2)) cos((1)/(x^2)) ]
[...] F0=map(eval,map(subst,F,x,1/10));
[ -0.54402111088937 -0.839071529076452 -0.506365641109759 0.862318872287684 ]
[...] N0=matrix(4,4,[[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,-2],[0,0,2,0]])$
[...] N1=matrix(4,4,[[0,-1,0,0],[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]])$
[...] N=ltov([N0,N1])$
[...] D=x^3$
[...] R=rk_ratmat(5,N,D,1/10,10,10^4,F0)$
[...] for(T=R,A=1;T!=[];T=cdr(T))A *=car(T)[1];
[...] A;
0.0998334
[...] F1=map(eval,map(subst,F,x,10));
[ 0.0998334166468282 0.995004165278026 0.00999983333416666 0.999950000416665 ]
@end example


@comment --- おまじない ---
@node Index,,, Top
@unnumbered Index
@printindex fn
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@bye
@comment --- おまじない終り ---