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texinfo version 6.x is used to generate documents.

%comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/nn_ndbf/nn_ndbf.texi,v 1.8 2017/08/31 06:31:46 takayama Exp $
%comment --- おまじない ---
\EG \input texinfo
\JP \input texinfo-ja
@iftex
@catcode`@#=6
@def@fref#1{@xrefX[#1,,@code{#1},,,]}
\JP @def@b#1{{@bf #1}}
\EG @def@b#1{{@bf #1}}
@catcode`@#=@other
@end iftex
@overfullrule=0pt
\JP @documentlanguage ja
@c -*-texinfo-*-
@comment %**start of header
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- GNU info ファイルの名前 ---
@setfilename asir-contrib-nn_ndbf
@comment @documentlanguage ja

@comment --- タイトル ---
@settitle nn_ndbf

@comment %**end of header
@comment %@setchapternewpage odd

@comment --- おまじない ---
@ifinfo
@macro fref{name}
@ref{\name\,,@code{\name\}}
@end macro
@end ifinfo

@iftex
@comment @finalout
@end iftex

@titlepage
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 ---
@title nn_ndbf
@subtitle nn_ndbf User's Manual
@subtitle Edition 1.0
@subtitle Nov 2009

@author  by Masayuki Noro and Kenta Nishiyama
@page
@vskip 0pt plus 1filll
Copyright @copyright{} Masayuki Noro and Kenta Nishiyama
2009. All rights reserved.
@end titlepage

@comment --- おまじない ---
@synindex vr fn
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- @node は GNU info, HTML 用 ---
@comment --- @node  の引数は node-name,  next,  previous,  up --- 
@node Top,, (dir), (dir)

@comment --- @menu は GNU info, HTML 用 ---
@comment --- chapter 名を正確に並べる ---
@menu
\JP * 新 b 関数パッケージ nn_ndbf.rr::
\EG * New b-function package nn_ndbf.rr::
* Index::
@end menu

@comment --- chapter の開始 ---
@comment --- 親 chapter 名を正確に ---
\JP @node 新 b 関数パッケージ nn_ndbf.rr,,, Top
\EG @node New b-function package nn_ndbf.rr,,, Top
\JP @chapter New b-function package nn_ndbf.rr

@comment --- section 名を正確に並べる ---
@menu
\JP * b 関数計算::
\EG * Computation of b-function::
\JP * Annihilator イデアル計算::
\EG * Computation of annihilator ideal::
@end menu

\BJP
このマニュアルでは, asir-contrib パッケージに収録されている,
新 b 関数パッケージ @samp{nn_ndbf.rr} について解説する.
このパッケージを使うには, まず @samp{nn_ndbf.rr} をロードする.
\E
\BEG
In this manual we explain about a new b-function package @samp{nn_ndbf.rr}
in asir-contrib. To use this package one has to load @samp{nn_ndbf.rr}.
\E
@example
[...] load("nn_ndbf.rr");
@end example
\BJP
このパッケージの函数を呼び出すには, 全て @code{ndbf.} を先頭につける.
このマニュアルでは, 関連する組込み関数についても解説する.
\E
\BEG
A prefix @code{ndbf.} is necessary to call the functions in this package. 
In this manual we also explain about some related built-in functions.
\E
@comment --- section の開始 ---
@comment --- 書体指定について ---
@comment --- @code{} はタイプライタ体表示 ---
@comment --- @var{} は斜字体表示 ---
@comment --- @b{} はボールド表示 ---
@comment --- @samp{} はファイル名などの表示 ---

\JP @node b 関数計算,,, 新 b 関数パッケージ nn_ndbf.rr
\EG @node Computation of b-function,,, New b-function package nn_ndbf.rr
\JP @section b 関数計算
\EG @section Computation of b-function

@menu
* ndbf.bfunction::
* ndbf.bf_local::
* ndbf.bf_strat::
* ndbf.action_on_gfs::
@end menu

\JP @node ndbf.bfunction,,, b 関数計算
\EG @node ndbf.bfunction,,, Computation of b-function
@subsection @code{ndbf.bfunction}
@findex ndbf.bfunction

@table @t
\JP @item ndbf.bfunction(@var{f}[|weight=@var{w},heruristic=@var{yesno},vord=@var{v},op=@var{yesno}]) :: 多項式 @var{f} の大域 b 関数を計算する.
\EG @item ndbf.bfunction(@var{f}[|weight=@var{w},heruristic=@var{yesno},vord=@var{v},op=@var{yesno}]) :: computes the global b-function of a polynomial @var{f}
@end table

@table @var
@item return
\JP 多項式
\EG a polynomial
@item f
\JP 多項式
\EG a polynomial
@item w
\JP @code{[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} なるリスト
\EG a list @code{[@var{v1,w1,...,vn,wn}]}
@item yesno
\JP 0 または 1
\EG 0 or 1
@item v
\JP 変数のリスト
\EG a list of variables
@end table

@itemize @bullet
\BJP
@item
この関数は asir-contrib のパッケージ @samp{nn_ndbf.rr} で定義されている.
@item
多項式 @var{f} の大域 b 関数 (global b-function) を計算する. 
デフォルトでは大域 b 関数のみが出力されるが, オプション @code{op=1} が指定
された場合, 大域 b 関数 @var{b}, および
微分作用素 @var{P} の組 @var{[b,P]} を返す. これらは 
@var{Pf^(s+1)=b(s)f^s} を満たす.
微分作用素は @var{v1,...,vn,dv1,...,dvn} の可換多項式として
表現されている. この表現においては, 微分を表す d のついた変数も単なる
不定元として扱われているため, 係数多項式環の変数の前に表示されることも
ありうるが, 多項式係数を左に置く正規表現として理解する必要がある.
@item
オプション @code{weight=[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} が指定された場合, 
変数リスト @var{(v1,...,vn)} に対して weight @var{(w1,...,wn)}
を設定して計算が行われる. このオプションは, @var{f} が @var{(w1,...,wn)}
に関して weighted homogeneous の場合に有効に働く.
@item
オプション @code{heuristic=1} が指定された場合, あるイデアルのグレブナー
基底を別の項順序に変換してから消去計算を行う. この方法により全体の計算が
高速化する場合がある.
@item
デフォルトでは, 内部で用いられる変数順序は自動的に決定されるが, 
オプション @code{vord=@var{v}} が指定された場合その変数順序が使われる.
\E
\BEG
@item
This function is defined in an asir-contrib package @samp{nn_ndbf.rr}.
@item
This function computes the global b-function of a polynomial @var{f}.
By default only the global b-function is returned. 
If an option @code{op=1} is given,
a pair @var{[b,P]} of the global b-function and 
a differential operator satisfying @var{Pf^(s+1)=b(s)f^s}. 
The operator P is represented as a commutative polynomial
of variables @var{v1,...,vn,dv1,...,dvn}. The d-variables 
are treated as commutative indeterminates in this representation and
the polynomial should be regarded as a canonical representation with each polynomial coefficient
placed at the left of d-variables.
@item
If an option @code{weight=[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} is given,
the computation is done with a weight @var{(w1,...,wn)} for @var{(v1,...,vn)}.
This option is useful when @var{f} is weighted homogeneous with respect to @var{(w1,...,wn)}.
@item
If an option @code{heuristic=1} is given
a change of ordering is done before entering elimination.
In some cases this improves the total efficiencty.
@item
The variable order used in the whole computation is automatically set by default.
If an option @code{vord=@var{v}} is given, a variable order @var{v} is used istead.
\E
@end itemize
@example
[...] load("nn_ndbf.rr");
[...] ndbf.bfunction(x^3-y^2*z^2);
-11664*s^7-93312*s^6-316872*s^5-592272*s^4-658233*s^3-435060*s^2
-158375*s-24500
[...] ndbf.bfunction(x^3-y^2*z^2|op=1);
[-11664*s^7-93312*s^6-316872*s^5-592272*s^4-658233*s^3-435060*s^2
-158375*s-24500,(108*z^3*x*dz^3+756*z^2*x*dz^2+1080*z*x*dz+216*x)*dx^4
...
+(729/8*z^3*dz^5+9477/8*z^2*dz^4+5103/2*z*dz^3+2025/2*dz^2)*dy^2]
[...] F=256*u1^3-128*u3^2*u1^2+(144*u3*u2^2+16*u3^4)*u1-27*u2^4
-4*u3^3*u2^2$
[...] ndbf.bfunction(F|weight=[u3,2,u2,3,u1,4]);
576*s^6+3456*s^5+8588*s^4+11312*s^3+8329*s^2+3250*s+525
@end example

\JP @node ndbf.bf_local,,, b 関数計算
\EG @node ndbf.bf_local,,, Computation of b-function
@subsection @code{ndbf.bf_local}
@findex ndbf.bf_local

@table @t
\JP @item ndbf.bf_local(@var{f},@var{p}[|weight=@var{w},heruristic=@var{yesno},vord=@var{v},op=@var{yesno}]) :: 多項式 @var{f} の点 @var{p} における局所 b 関数を計算する.
\EG @item ndbf.bf_local(@var{f},@var{p}[|weight=@var{w},heruristic=@var{yesno},vord=@var{v},op=@var{yesno}]) :: computes the local b-function of a polynomial @var{f} at @var{p}.
@end table

@table @var
@item return
\JP リスト
\EG a list
@item f
\JP 多項式
\EG a polynomail
@item p
\JP @code{[@var{v1,a1,...,vn,an}]} なるリスト
\EG a list @code{[@var{v1,a1,...,vn,an}]}
@item w
\JP @code{[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} なるリスト
\EG a list @code{[@var{v1,w1,...,vn,wn}]}
@item yesno
\JP 0 または 1
\EG 0 or 1
@item v
\JP 変数のリスト
\EG a list of variables
@end table

\BJP
@itemize @bullet
@item
この関数は asir-contrib のパッケージ @samp{nn_ndbf.rr} で定義されている.
@item
多項式 @var{f} の @var{(v1,...,vn)=(a1,...,an)} における
局所 b 関数 (local b-function) を計算する. 出力は局所 $b$ 関数の因子, 重複度のペアのリストである. 
@item
デフォルトでは局所 b 関数のみが出力されるが, オプション @code{op=1} が指定
された場合, 局所 b 関数 @var{b}, 微分作用素の共通分母 $a(x)$ および
微分作用素 @var{P} の組 @var{[b,a(x),P]} を返す. これらは 
@var{a(x)Pf^(s+1)=b(s)f^s} を満たす. 
微分作用素は @var{v1,...,vn,dv1,...,dvn} の可換多項式として
表現されている. この表現においては, 微分を表す d のついた変数も単なる
不定元として扱われているため, 係数多項式環の変数の前に表示されることも
ありうるが, 多項式係数を左に置く正規表現として理解する必要がある.

@item
オプション @code{weight=[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} が指定された場合, 
変数リスト @var{(v1,...,vn)} に対して weight @var{(w1,...,wn)}
を設定して計算が行われる. このオプションは, @var{f} が @var{(w1,...,wn)}
に関して weighted homogeneous の場合に有効に働く.
@item
オプション @code{heuristic=1} が指定された場合, あるイデアルのグレブナー
基底を別の項順序に変換してから消去計算を行う. この方法により全体の計算が
高速化する場合がある.
@item
デフォルトでは, 内部で用いられる変数順序は自動的に決定されるが, 
オプション @code{vord=@var{v}} が指定された場合その変数順序が使われる.
@end itemize
\E

\BEG
@itemize @bullet
@item
This function is defined in an asir-contrib package @samp{nn_ndbf.rr}.
@item
This function computes the local b-function of a polynomial @var{f} at a point @var{(v1,...,vn)=(a1,...,an)}.
The output is a list of pairs of each factor of the local b-function and its multiplicity.
@item
By default only the local b-function is returned. 
If an option @code{op=1} is given,
a triple @var{[b,a,P]} of the local b-function, a polynomial and 
a differential operator satisfying @var{Pf^(s+1)=ab(s)f^s}. 
The operator P is represented as a commutative polynomial
of variables @var{v1,...,vn,dv1,...,dvn}. The d-variables 
are treated as commutative indeterminates in this representation,
the polynomial should be regarded as a canonical representation with each polynomial coefficient
placed at the left of d-variables.
@item
If an option @code{weight=[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} is given,
the computation is done with a weight @var{(w1,...,wn)} for @var{(v1,...,vn)}.
This option is useful when @var{f} is weighted homogeneous with respect to @var{
(w1,...,wn)}.
@item
If an option @code{heuristic=1} is given
a change of ordering is done before entering elimination.
In some cases this improves the total efficiencty.
@item
The variable order used in the whole computation is automatically set by default.
If an option @code{vord=@var{v}} is given, a variable order @var{v} is used istead.
@end itemize
\E

@example
[...] load("nn_ndbf.rr");
[...] ndbf.bf_local(y*((x+1)*x^3-y^2),[x,-1,y,0]);
[[-s-1,2]]
[...] ndbf.bf_local(y*((x+1)*x^3-y^2),[x,-1,y,0]|op=1);
[[[-s-1,2]],12*x^3+36*y^2*x-36*y^2,(32*y*x^2+56*y*x)*dx^2
+((-8*x^3-2*x^2+(128*y^2-6)*x+112*y^2)*dy+288*y*x+(-240*s-128)*y)*dx
+(32*y*x^2-6*y*x+128*y^3-9*y)*dy^2+(32*x^2+6*s*x+640*y^2+39*s+30)*dy
+(-1152*s^2-3840*s-2688)*y]
@end example

\JP @node ndbf.bf_strat,,, b 関数計算
\EG @node ndbf.bf_strat,,, Computation of b-function
@subsection @code{ndbf.bf_strat}
@findex ndbf.bf_strat

@table @t
@item ndbf.bf_strat(@var{f}[|weight=@var{w},heruristic=@var{h},vord=@var{v}]) 
\JP :: 多項式 @var{f} の, 局所 b 関数に付随する滑層分割 (stratification) を計算する.
\EG :: computes a stratification associated with local b-function of a polynomial @var{f}.
@end table

@table @var
@item return
\JP リスト
\EG a list
@item f
\JP 多項式
\EG a polynomial
@item w
\JP @code{[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} なるリスト
\EG a list @code{[@var{v1,w1,...,vn,wn}]}
@item h
\JP 0 または 1
\EG 0 or 1
@item v
\JP 変数のリスト
\EG li ist of variables
@end table

\BJP
@itemize @bullet
@item
この関数は asir-contrib のパッケージ @samp{nn_ndbf.rr} で定義されている.
@item
多項式 @var{f} の大域 b 関数 (global b-function) を計算する. 出力は
変数 @var{s} の多項式である. 
@item
オプション @code{weight=[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} が指定された場合, 
変数リスト @var{(v1,...,vn)} に対して weight @var{(w1,...,wn)}
を設定して計算が行われる. このオプションは, @var{f} が @var{(w1,...,wn)}
に関して weighted homogeneous の場合に有効に働く.
@item
オプション @code{heuristic=1} が指定された場合, あるイデアルのグレブナー
基底を別の項順序に変換してから消去計算を行う. この方法により全体の計算が
高速化する場合がある.
@item
デフォルトでは, 内部で用いられる変数順序は自動的に決定されるが, 
オプション @code{vord=@var{v}} が指定された場合その変数順序が使われる.
@end itemize
\E

\BEG
@itemize @bullet
@item
This function is defined in an asir-contrib package @samp{nn_ndbf.rr}.
@item
This function computes a stratification assoficated with local b-function of a polynomial @var{f}.
The output is a list @var{[s1,...sl]} where each @var{si} is a list @var{[l1,l2,bi]}.
In this list, @var{l1} and @var{l2} is generators of ideals and they represents
the local b-function is @var{bi} over V(@var{l1})-V(@var{l2}).
@item
If an option @code{weight=[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} is given,
the computation is done with a weight @var{(w1,...,wn)} for @var{(v1,...,vn)}.
This option is useful when @var{f} is weighted homogeneous with respect to @var{
(w1,...,wn)}.
@item
If an option @code{heuristic=1} is given
a change of ordering is done before entering elimination.
In some cases this improves the total efficiencty.
@item
The variable order used in the whole computation is automatically set by default.
If an option @code{vord=@var{v}} is given, a variable order @var{v} is used istead.
@end itemize
\E

@example
[...] load("nn_ndbf.rr");
[...] F=256*u1^3-128*u3^2*u1^2+(144*u3*u2^2+16*u3^4)*u1-27*u2^4
-4*u3^3*u2^2$
[...] ndbf.bf_strat(F);
[[[u3^2,-u1,-u2],[-1],[[-s-1,2],[16*s^2+32*s+15,1],[36*s^2+72*s+35,1]]],
[[-4*u1+u3^2,-u2],[96*u1^2+40*u3^2*u1-9*u3*u2^2,...],[[-s-1,2]]],
[[-2048*u1^3-...],[-u3*u2,u2*u1,...],[[-s-1,1],...]]],
[[-256*u1^3+128*u3^2*u1^2+...],[...],[[-s-1,1]]],
[[],[-256*u1^3+128*u3^2*u1^2+...],[]]]
@end example

\JP @node ndbf.action_on_gfs,,, b 関数計算
\EG @node ndbf.action_on_gfs,,, Computation of b-function
@subsection @code{ndbf.action_on_gfs}
@findex ndbf.action_on_gfs

@table @t
@item ndbf.action_on_gfs(@var{op},@var{v},@var{gfs})
\JP :: 微分作用素 @var{op} の @var{gf^(s+a)} への作用を計算する.
\EG :: computes the action of an operatior @var{op} on @var{gf^(s+a)}
@end table

@table @var
@item return
\JP リスト
\EG a list
@item op
\JP 微分作用素
\EG a differential operator
@item gfs
\JP @var{[g,f,s+a]} なるリスト
\EG a list @var{[g,f,s+a]}
@item v 
\JP @var{f} の変数のリスト (@var{v=[v1,...,vn]})
\EG list of variables of @var{f} (@var{v=[v1,...,vn]})
@end table

\BJP
@itemize @bullet
@item 微分作用素 @var{op} を @var{gf^(s+a)} に作用させた結果を計算する.
@item @var{g} は @var{v1,...,vn} を変数とする多項式である.
@item @var{op} は @var{[v1,...,vn,dv1,...,dvn]} を変数とする多項式で表現する.
@item 入力リスト @var{[g,f,s+a]} は @var{gf^(s+a)} を表す.
@item 結果は @var{[h,f,s+c]} なるリストで, @var{hf^(s+b)} を
意味する. ここで @var{c} は整数である.
@var{op} が b-関数 @var{b(s)} を与える作用素なら, 
@var{a=1} に対し @var{c=0} で, @var{h=b(s)} (global case) または
@var{h=d(v)b(s)} (local case) である.
@end itemize
\E

\BEG
@itemize @bullet
@item This function computes the action of a differential operator
@var{op} on @var{gf^(s+a)}.
@item @var{g} is a polynomial with variables @var{v1,...,vn}.
@item @var{op} is represented by a polynonmial with @var{[v1,...,vn,dv1,...,dvn]}.
@item The input list @var{[g,f,s+a]} represents @var{gf^(s+a)}.
@item The result is a list @var{[h,f,s+c]} and it means @var{hf^(s+c)},
where @var{c} is an integer. If @var{op} is an operator giving b-function 
@var{b(s)},
then @var{c=0} for @var{a=1} and @var{h=b(s)} (global case)
or @var{h=b(s)d(v)} (local case).
@end itemize
\E

@example
[...] load("nn_ndbf.rr");
[...] F=x^5-y^2*z^2$
[...] B=ndbf.bfunction(F|op=1)$
[...] ndbf.action_on_gfs(B[1],[x,y,z],[1,F,s+1]);
[-62500000000*s^13-...-2985505717194*s-245434132944,x^5-z^2*y^2,s]
[...] L=ndbf.bf_local(F,[x,0,y,0,z,1]|op=1)$     
[...] ndbf.action_on_gfs(L[2],[x,y,z],[1,F,s+1]);
[(-100000*s^5-500000*s^4-990000*s^3-970000*s^2-470090*s-90090)*z^2,
x^5-z^2*y^2,s]
@end example

\JP @node Annihilator イデアル計算,,, 新 b 関数パッケージ nn_ndbf.rr
\EG @node Computation of annihilator ideal,,, New b-function package nn_ndbf.rr
\JP @section Annihilator イデアル計算
\EG @section Computation of annihilator ideal

@menu
* ndbf.ann::
@end menu

\JP @node ndbf.ann,,, Annihilator イデアル計算
\EG @node ndbf.ann,,, Computation of annihilator ideal
@subsection @code{ndbf.ann}
@findex ndbf.ann

@table @t
\JP @item ndbf.ann(@var{f}[|weight=@var{w}]) :: 多項式 @var{f} に対し @var{f^s} の annihilator ideal を計算する.
\EG @item ndbf.ann(@var{f}[|weight=@var{w}]) :: computes the annihilator ideal of @var{f^s} for a polynomial @var{f}.
@end table

@table @var
@item return
\JP 微分作用素のリスト
\EG a list of differential operators
@item f
\JP 多項式
\EG a polynomial
@item w
\JP @code{[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} なるリスト
\EG a list @code{[@var{v0,w1,...,vn,wn}]}
@end table

\BJP
@itemize @bullet
@item
この関数は asir-contrib のパッケージ @samp{nn_ndbf.rr} で定義されている.
@item
多項式 @var{f} に対し, @var{f^s} の annihilator ideal を計算する.
出力は, @var{s} を係数に含む微分作用素のリストである. 微分作用素の
表現方法は, @code{ndbf.bf_local} と同様である.
@item
オプション @code{weight=[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} が指定された場合, 
変数リスト @var{(v1,...,vn)} に対して weight @var{(w1,...,wn)}
を設定して計算が行われる. このオプションは, @var{f} が @var{(w1,...,wn)}
に関して weighted homogeneous の場合に有効に働く.
@end itemize
\E
\BEG
@itemize @bullet
@item
This function is defined in an asir-contrib package @samp{nn_ndbf.rr}.
@item
This function computes the annihilator ideal of @var{f^s} for @var{f}.
The output is a list of defferential operators containing @var{s} in thier coefficients.
The differential operators are represented in the same manner as @code{ndbf.bf_local}.
@item
If an option @code{weight=[@var{v1,w1,...,vn,wn}]} is given,
the computation is done with a weight @var{(w1,...,wn)} for @var{(v1,...,vn)}.
This option is useful when @var{f} is weighted homogeneous with respect to @var{(w1,...,wn)}.
@end itemize
\E

@example
[...] load("nn_ndbf.rr");
[...] ndbf.ann(x*y*z*(x^3-y^2*z^2));
[(-x^4*dy^2+3*z^4*x*dz^2+12*z^3*x*dz+6*z^2*x)*dx+4*z*x^3*dz*dy^2
-z^5*dz^3-6*z^4*dz^2-6*z^3*dz,
(x^4*dy-3*z^3*y*x*dz-6*z^2*y*x)*dx-4*z*x^3*dz*dy+z^4*y*dz^2+3*z^3*y*dz,
(-x^4+3*z^2*y^2*x)*dx+(4*z*x^3-z^3*y^2)*dz,2*x*dx+3*z*dz-11*s,
-y*dy+z*dz]
@end example

@comment --- おまじない ---
@node Index,,, Top
@unnumbered Index
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@comment --- おまじない終り ---