=================================================================== RCS file: /home/cvs/OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi,v retrieving revision 1.4 retrieving revision 1.5 diff -u -p -r1.4 -r1.5 --- OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi 2017/08/31 06:31:47 1.4 +++ OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi 2020/09/08 09:16:57 1.5 @@ -1,4 +1,4 @@ -%comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi,v 1.3 2017/03/30 06:16:36 takayama Exp $ +%comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi,v 1.4 2017/08/31 06:31:47 takayama Exp $ %comment --- おまじない --- \input texinfo-ja @iftex @@ -39,8 +39,8 @@ @comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 --- @title noro_module_syz @subtitle noro_module_syz User's Manual -@subtitle Edition 1.0 -@subtitle Aug 2016 +@subtitle Edition 2.0 +@subtitle Sep 2020 @author by Masayuki Noro @page @@ -70,6 +70,7 @@ Copyright @copyright{} Masayuki Noro @chapter noro_module_syz.rr @comment --- section 名を正確に並べる --- @menu +* 多項式環上の加群:: * 加群の syzygy:: * 加群の自由分解:: @end menu @@ -91,6 +92,44 @@ Copyright @copyright{} Masayuki Noro @comment --- @b{} はボールド表示 --- @comment --- @samp{} はファイル名などの表示 --- +@node 多項式環上の加群,,, noro_module_syz.rr +@section 多項式環上の加群 + +多項式環上の自由加群の元は, 加群単項式 te_i の線型和として内部表現される. +ここで t は多項式環の単項式, e_i は自由加群の標準基底である. 加群単項式は, 多項式環の単項式 +に位置 i を追加した @code{<>} で表す. 加群多項式, すなわち加群単項式の線型和は, +設定されている加群項順序にしたがって降順に整列される. 加群項順序には以下の3種類がある. + +@table @code +@item TOP 順序 + +これは, te_i > se_j となるのは t>s または (t=s かつ i se_j となるのは is) となるような項順序である. ここで, +t, s の比較は多項式環に設定されている順序で行う. +この型の順序は, @code{dp_ord([1,Ord])} に +より設定する. ここで, @code{Ord} は多項式環の順序型である. + +@item Schreyer 型順序 + +各標準基底 e_i に対し, 別の自由加群の加群単項式 T_i が与えられていて, te_i > se_j となるのは +tT_i > sT_j または (tT_i=sT_j かつ i>} なる形式で直接入力する他に, +多項式リストを作り, @code{dpm_ltod()} により変換する方法もある. + @node 加群の syzygy,,, noro_module_syz.rr @section 加群の syzygy @@ -104,13 +143,13 @@ Copyright @copyright{} Masayuki Noro @findex newsyz.module_syz @table @t -@item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|@var{weyl=1}]) +@item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1,dp=1,f4=1]) syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算する. @end table @table @var @item return -または多項式リストのリスト +要素が3つのリスト, 各要素は多項式リストまたは加群多項式のリスト @item f 多項式リスト, または多項式リストのリスト @@ -129,32 +168,81 @@ syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算 満たす多項式ベクトル @var{(h1,...,hm)} 全体のなす加群のグレブナー基底を 計算する. @item @var{fi} が多項式リストの場合, 自然に多項式ベクトルと見なす. -@item 与えられた項順序 @var{O} に対し, 加群の項順序 @var{[1,O]} すなわち -@var{O} で定まる POT (position over term) 項順序でのグレブナー基底を -結果として返す. +@item 返される結果は @var{[S,G,C]} の形のリストである. ここで +@var{S}は, +与えられた項順序 @var{O} に対し, 加群の項順序 @var{[1,O]} すなわち +@var{O} で定まる POT (position over term) 項順序でのグレブナー基底である. +@var{G}は, 入力加群のPOT 項順序でのグレブナー基底である. +@var{C}は, 入力生成系から@var{G}の各元を生成する係数リストのリストである. + @item @var{h} が 0 のとき有理数体上で trace アルゴリズムにより計算する. @var{h} が 1 のとき有理数体上で斉次化 trace アルゴリズムにより計算する. @var{h} が 2 以上の素数のとき有限体上で計算する. -オプション @var{weyl} が 1 のとき Weyl 代数上で, 左イデアル (左加群) として計算する. + +@item オプション @var{f4} が 1 のとき, F4 アルゴリズムにより計算する. +@item オプション @var{weyl} が 1 のとき Weyl 代数上で, 左イデアル (左加群) として計算する. +@item オプション @var{dp}l が 1 のとき, 返される結果は, 加群の要素を表す +多項式リストの代わりに加群単項式が用いられる. @end itemize @example -afo +[0] load("noro_module_syz.rr")$ +[43] load("cyclic")$ +[53] F=cyclic(4); +[c3*c2*c1*c0-1,((c2+c3)*c1+c3*c2)*c0+c3*c2*c1,(c1+c3)*c0+c2*c1+c3*c2, +c0+c1+c2+c3] +[54] V=[c0,c1,c2,c3]$ +[55] L=newsyz.module_syz(F,V,0,0)$ +[56] L[0]; +[[(-c2^2+c3^2)*c1-c3*c2^2+c3^3,-c3^2*c2^2+1,(c3*c2^3-c3^3*c2)*c1+...], +...,[0,0,c0+c1+c2+c3,(-c1-c3)*c0-c2*c1-c3*c2]] +[57] L[1]; +[[(-c2+c3)*c1-c3^4*c2^2-c3*c2+2*c3^2],[-c3^2*c2^3-c3^3*c2^2+c2+c3], +...,[c1^2+2*c3*c1+c3^2],[c0+c1+c2+c3]] +[58] L[2]; +[[(c2-c3)*c1+c3*c2-2*c3^2,c3^2*c2,(-c3*c2^2+c3^2*c2)*c1-c3*c2^3,...], +...,[0,0,-1,c1+c3],[0,0,0,1]] +[59] C0=L[2][0]; +[(c2-c3)*c1+c3*c2-2*c3^2,c3^2*c2,(-c3*c2^2+c3^2*c2)*c1-c3*c2^3, +(c3*c2^3-c3^2*c2^2)*c1+c3^2*c2^3-c3^3*c2^2] +[60] L[1][0][0]-(C0[0]*F[0]+C0[1]*F[1]+C0[2]*F[2]+C0[3]*F[3]); +0 +[61] M=newsuz.modules_syz(F,V,0,0dp=1)$ +[62] M[0]; +[(-1)*<<0,1,2,0:1>>+(-1)*<<0,0,2,1:1>>+(1)*<<0,1,0,2:1>>+..., +...,(1)*<<1,0,0,0:3>>+(1)*<<0,1,0,0:3>>+(1)*<<0,0,1,0:3>>+ +...+(-1)*<<0,1,1,0:4>>+(-1)*<<1,0,0,1:4>>+(-1)*<<0,0,1,1:4>>] @end example @node 加群の自由分解,,, noro_module_syz.rr @section 加群の自由分解 @menu -* newsyz.module_minres:: +* newsyz.fres newsyz.minres:: +* newsyz.lres newsyz.sres newsyz.minsres:: @end menu -@node newsyz.module_minres,,,加群の自由分解 -@subsection @code{newsyz.module_minres} -@findex newsyz.module_minres +R を多項式環とし. F_i を R 上の自由加群, n_i を F_i のランクとする. +本節の関数は, F_0 の部分加群 I に対し, F_0/I の自由分解 +@iftex +@tex +$$0\to F_l\to \cdots \to F_0 \to F_0/I \to 0$$ +@end tex +@end iftex +@ifnottex +0->F_l->...->F_0->F_0/I->0 +@end ifnottex +を与える関数について解説する. +この自由分解において phi_i:F_i->F_(i-1) とする. +@node newsyz.fres newsyz.minres,,,加群の自由分解 +@subsection @code{newsyz.fres}, @code{newsyz.minres} +@findex newsyz.fres +@findex newsyz.minres + @table @t -@item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|@var{weyl=1}]) +@item newsyz.fres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1]) +@itemx newsyz.minres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1]) 加群の自由分解を計算する. @end table @@ -174,23 +262,91 @@ afo @itemize @bullet -@item @var{R} を多項式環とする. @var{f=[f1,...,fm]} は @var{R} のイデアルまたは @var{R^k} の部分加群 (いずれも @var{M}と -する) の生成系とする. -この関数は, @var{M} の自由分解, すなわち完全列 @var{0->F(l)->F(l-1)->...->F(0)->M->0} を計算する. -@var{F(i)=R^(ni)} とする. -@item 結果は @var{[fl,...,f0]} なるリストで, @var{fi} は @var{F(i)->F(i-1)} -(ただし @var{F(-1)=M}) なる写像を表すベクトル列である. -@var{fi=[g(1),...,g(n(i))]} のとき, 各 @var{gj} はサイズ @var{n(i-1)} のリストで, @var{F(i)} の @var{j} 番目の -標準基底ベクトルの像を表す. -@item @code{newsyz.module_syz} を実行し, 得られた syzygy の生成系のうち, 定数を成分に持つものがある限り簡約を行う, -という操作を単に繰り返すアルゴリズムを実装している. -@item 前項により, @var{f} が斉次の場合, 極小自由分解を得る. @var{f} が斉次でない場合, 前項の簡約は単に @var{F(i)} の -ランクを小さくする簡単化となる. -@item @var{h}, @var{O}, オプション @var{weyl} については @code{newsyz.module_syz} と同様である. +f=[f_1,...,f_m] を部分加群 I の生成系とするとき, +の生成系とする. この関数は, F_0/I の自由分解を計算する. +@item 結果は [M_1,...,M_l] なるリストで, M_i は [phi_i(e_1),...,phi_i(e_(n_i)] +なるベクトルのリストで, syz M_(i-1) の, O 上の POT 順序に関するグレブナー基底である. +@item @code{newsyz.module_syz} を逐次的に実行する. +@code{newsyz.minres} では, 得られた syzygy の生成系のうち, 定数を成分に持つものがある限り簡約を行う. +@item @code{newsyz.minres} は, f が斉次の場合, 極小自由分解を得る. +@item h, O, オプション weyl については @code{newsyz.module_syz} と同様である. @end itemize @example -afo +[0] load("noro_module_syz.rr")$ +[43] load("katsura")$ +[47] F=hkatsura(4)$ +[48] V=[t,u0,u1,u2,u3,u4]$ +[49] R=newsyz.fres(F,V,0,0)$ +[51] map(length,R); +[5,22,28,12,2] +[52] S=newsyz.minres(F,V,0,0)$ +[5,10,10,5,1] +@end example + +@node newsyz.lres newsyz.sres newsyz.minsres,,,加群の自由分解 +@subsection @code{newsyz.lres}, @code{newsyz.sres}, @code{newsyz.minsres}, +@findex newsyz.lres +@findex newsyz.sres +@findex newsyz.minsres + +@table @t +@item newsyz.lres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1,top=1]) +@itemx newsyz.sres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1]) +@itemx newsyz.minsres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1]) +加群の自由分解を計算する. +@end table + +@table @var +@item return +多項式リストのリストのリスト + +@item f +多項式リスト, または多項式リストのリスト +@item v +変数リスト +@item h +0 または 1 +@item O +項順序 +@end table + +@itemize @bullet +@item +f=[f_1,...,f_m] を部分加群 I の生成系とするとき, +@code{newsyz.lres} は F_0/I の自由分解を La Scala-Stillman アルゴリズムにより計算する. +@code{newsyz.sres}, @code{newsyz.minsres} は F_0/I の自由分解を Schreyer アルゴリズムにより計算する. +@item +有理数体上の多項式環上の加群に対してのみ実装されている. +@item 結果は [M_1,...,M_l] なるリストで, M_i は syz M_(i-1) の, Schreyer 順序に関する +グレブナー基底である. +@item h=1 のとき, 最初のグレブナー基底計算が斉次化経由で行われる. +@item dp=1 のとき, 結果を加群多項式で返す. +@item @code{newsyz.lres} において top=1 のとき, S-多項式の剰余計算は, 先頭項が簡約できなかった時点で修了する. +@item f が斉次の場合, @code{newsyz.lres} および @code{newsyz.minsres} は極小自由分解を得る. +@end itemize + +@example +[0] load("noro_module_syz.rr")$ +[43] F=[x00*x11-x01*x10,x01*x12-x02*x11,x02*x13-x03*x12,-x11*x20+x21*x10, +-x21*x12+x22*x11,-x22*x13+x23*x12,x31*x20-x30*x21,x32*x21-x31*x22,x33*x22-x32*x23]$ +[44] V=[x00,x01,x02,x03,x10,x11,x12,x13,x20,x21,x22,x23,x30,x31,x32,x33]$ +[45] cputime(1)$ +1.8e-05sec(1.502e-05sec) +[46] R=newsyz.minres(F,V,0,0)$ +333.4sec(339.6sec) +[47] S=newsyz.lres(F,V,0,0)$ +85.34sec(85.56sec) +[48] T=newsyz.minsres(F,V,0,0)$ +241.2sec(250.3sec) +[49] cputime(0)$ +[50] map(length,R); +[9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6] +[51] map(length,S); +[9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6,0] +[52] map(length,T); +[9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6,0] + @end example @comment --- おまじない ---