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version 1.4, 2017/08/31 06:31:47 version 1.5, 2020/09/08 09:16:57
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 %comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi,v 1.3 2017/03/30 06:16:36 takayama Exp $  %comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi,v 1.4 2017/08/31 06:31:47 takayama Exp $
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 \input texinfo-ja  \input texinfo-ja
 @iftex  @iftex
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 @comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 ---  @comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 ---
 @title noro_module_syz  @title noro_module_syz
 @subtitle noro_module_syz User's Manual  @subtitle noro_module_syz User's Manual
 @subtitle Edition 1.0  @subtitle Edition 2.0
 @subtitle Aug 2016  @subtitle Sep 2020
   
 @author  by Masayuki Noro  @author  by Masayuki Noro
 @page  @page
Line 70  Copyright @copyright{} Masayuki Noro
Line 70  Copyright @copyright{} Masayuki Noro
 @chapter noro_module_syz.rr  @chapter noro_module_syz.rr
 @comment --- section 名を正確に並べる ---  @comment --- section 名を正確に並べる ---
 @menu  @menu
   * 多項式環上の加群::
 * 加群の syzygy::  * 加群の syzygy::
 * 加群の自由分解::  * 加群の自由分解::
 @end menu  @end menu
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Line 92  Copyright @copyright{} Masayuki Noro
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 @comment --- @samp{} はファイル名などの表示 ---  @comment --- @samp{} はファイル名などの表示 ---
   
   @node 多項式環上の加群,,, noro_module_syz.rr
   @section 多項式環上の加群
   
   多項式環上の自由加群の元は, 加群単項式 te_i の線型和として内部表現される.
   ここで t は多項式環の単項式, e_i は自由加群の標準基底である. 加群単項式は, 多項式環の単項式
   に位置 i を追加した @code{<<a,b,...,c:i>>} で表す. 加群多項式, すなわち加群単項式の線型和は,
   設定されている加群項順序にしたがって降順に整列される. 加群項順序には以下の3種類がある.
   
   @table @code
   @item TOP 順序
   
   これは, te_i > se_j となるのは t>s または (t=s かつ i<j) となるような項順序である. ここで,
   t, s の比較は多項式環に設定されている順序で行う.
   この型の順序は, @code{dp_ord([0,Ord])} に
   より設定する. ここで, @code{Ord} は多項式環の順序型である.
   
   @item POT 順序
   
   これは, te_i > se_j となるのは i<j または (i=j かつ t>s) となるような項順序である. ここで,
   t, s の比較は多項式環に設定されている順序で行う.
   この型の順序は, @code{dp_ord([1,Ord])} に
   より設定する. ここで, @code{Ord} は多項式環の順序型である.
   
   @item Schreyer 型順序
   
   各標準基底 e_i に対し, 別の自由加群の加群単項式 T_i が与えられていて, te_i > se_j となるのは
   tT_i > sT_j または (tT_i=sT_j かつ i<j) となるような項順序である. ここで tT_i, sT_j の
   比較は, これらが所属する自由加群に設定されている順序で行う.
   この型の順序は, 通常再帰的に設定される. すなわち, T_i が所属する自由加群の順序も Schreyer 型
   であるか, またはボトムとなる TOP, POT などの項順序となる.
   この型の順序は @code{dpm_set_schreyer([H_1,H_2,...])} により指定する. ここで,
   @code{H_i=[T_1,T_2,...]} は加群単項式のリストで, @code{[H_2,...]} で定義される Schreyer 型項順序を
   @code{tT_i} らに適用するという意味である.
   @end table
   
   加群多項式を入力する方法としては, @code{<<a,b,...:i>>} なる形式で直接入力する他に,
   多項式リストを作り, @code{dpm_ltod()} により変換する方法もある.
   
 @node 加群の syzygy,,, noro_module_syz.rr  @node 加群の syzygy,,, noro_module_syz.rr
 @section 加群の syzygy  @section 加群の syzygy
   
Line 104  Copyright @copyright{} Masayuki Noro
Line 143  Copyright @copyright{} Masayuki Noro
 @findex newsyz.module_syz  @findex newsyz.module_syz
   
 @table @t  @table @t
 @item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|@var{weyl=1}])  @item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1,dp=1,f4=1])
 syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算する.  syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算する.
 @end table  @end table
   
 @table @var  @table @var
 @item return  @item return
 または多項式リストのリスト  要素が3つのリスト, 各要素は多項式リストまたは加群多項式のリスト
   
 @item f  @item f
 多項式リスト, または多項式リストのリスト  多項式リスト, または多項式リストのリスト
Line 129  syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算
Line 168  syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算
 満たす多項式ベクトル @var{(h1,...,hm)} 全体のなす加群のグレブナー基底を  満たす多項式ベクトル @var{(h1,...,hm)} 全体のなす加群のグレブナー基底を
 計算する.  計算する.
 @item @var{fi} が多項式リストの場合, 自然に多項式ベクトルと見なす.  @item @var{fi} が多項式リストの場合, 自然に多項式ベクトルと見なす.
 @item 与えられた項順序 @var{O} に対し, 加群の項順序 @var{[1,O]} すなわち  @item 返される結果は @var{[S,G,C]} の形のリストである. ここで
 @var{O} で定まる POT (position over term) 項順序でのグレブナー基底を  @var{S}は,
 結果として返す.  与えられた項順序 @var{O} に対し, 加群の項順序 @var{[1,O]} すなわち
   @var{O} で定まる POT (position over term) 項順序でのグレブナー基底である.
   @var{G}は, 入力加群のPOT 項順序でのグレブナー基底である.
   @var{C}は, 入力生成系から@var{G}の各元を生成する係数リストのリストである.
   
 @item @var{h} が 0 のとき有理数体上で trace アルゴリズムにより計算する.  @item @var{h} が 0 のとき有理数体上で trace アルゴリズムにより計算する.
 @var{h} が 1 のとき有理数体上で斉次化 trace アルゴリズムにより計算する.  @var{h} が 1 のとき有理数体上で斉次化 trace アルゴリズムにより計算する.
 @var{h} が 2 以上の素数のとき有限体上で計算する.  @var{h} が 2 以上の素数のとき有限体上で計算する.
 オプション @var{weyl} が 1 のとき Weyl 代数上で, 左イデアル (左加群) として計算する.  
   @item オプション @var{f4} が 1 のとき, F4 アルゴリズムにより計算する.
   @item オプション @var{weyl} が 1 のとき Weyl 代数上で, 左イデアル (左加群) として計算する.
   @item オプション @var{dp}l が 1 のとき, 返される結果は, 加群の要素を表す
   多項式リストの代わりに加群単項式が用いられる.
 @end itemize  @end itemize
   
 @example  @example
 afo  [0] load("noro_module_syz.rr")$
   [43] load("cyclic")$
   [53] F=cyclic(4);
   [c3*c2*c1*c0-1,((c2+c3)*c1+c3*c2)*c0+c3*c2*c1,(c1+c3)*c0+c2*c1+c3*c2,
   c0+c1+c2+c3]
   [54] V=[c0,c1,c2,c3]$
   [55] L=newsyz.module_syz(F,V,0,0)$
   [56] L[0];
   [[(-c2^2+c3^2)*c1-c3*c2^2+c3^3,-c3^2*c2^2+1,(c3*c2^3-c3^3*c2)*c1+...],
   ...,[0,0,c0+c1+c2+c3,(-c1-c3)*c0-c2*c1-c3*c2]]
   [57] L[1];
   [[(-c2+c3)*c1-c3^4*c2^2-c3*c2+2*c3^2],[-c3^2*c2^3-c3^3*c2^2+c2+c3],
   ...,[c1^2+2*c3*c1+c3^2],[c0+c1+c2+c3]]
   [58] L[2];
   [[(c2-c3)*c1+c3*c2-2*c3^2,c3^2*c2,(-c3*c2^2+c3^2*c2)*c1-c3*c2^3,...],
   ...,[0,0,-1,c1+c3],[0,0,0,1]]
   [59] C0=L[2][0];
   [(c2-c3)*c1+c3*c2-2*c3^2,c3^2*c2,(-c3*c2^2+c3^2*c2)*c1-c3*c2^3,
   (c3*c2^3-c3^2*c2^2)*c1+c3^2*c2^3-c3^3*c2^2]
   [60] L[1][0][0]-(C0[0]*F[0]+C0[1]*F[1]+C0[2]*F[2]+C0[3]*F[3]);
   0
   [61] M=newsuz.modules_syz(F,V,0,0dp=1)$
   [62] M[0];
   [(-1)*<<0,1,2,0:1>>+(-1)*<<0,0,2,1:1>>+(1)*<<0,1,0,2:1>>+...,
   ...,(1)*<<1,0,0,0:3>>+(1)*<<0,1,0,0:3>>+(1)*<<0,0,1,0:3>>+
   ...+(-1)*<<0,1,1,0:4>>+(-1)*<<1,0,0,1:4>>+(-1)*<<0,0,1,1:4>>]
 @end example  @end example
   
 @node 加群の自由分解,,, noro_module_syz.rr  @node 加群の自由分解,,, noro_module_syz.rr
 @section 加群の自由分解  @section 加群の自由分解
   
 @menu  @menu
 * newsyz.module_minres::  * newsyz.fres newsyz.minres::
   * newsyz.lres newsyz.sres newsyz.minsres::
 @end menu  @end menu
   
 @node newsyz.module_minres,,,加群の自由分解  R を多項式環とし. F_i を R 上の自由加群, n_i を F_i のランクとする.
 @subsection @code{newsyz.module_minres}  本節の関数は, F_0 の部分加群 I に対し, F_0/I の自由分解
 @findex newsyz.module_minres  @iftex
   @tex
   $$0\to F_l\to \cdots \to F_0 \to F_0/I \to 0$$
   @end tex
   @end iftex
   @ifnottex
   0->F_l->...->F_0->F_0/I->0
   @end ifnottex
   を与える関数について解説する.
   この自由分解において phi_i:F_i->F_(i-1) とする.
   
   @node newsyz.fres newsyz.minres,,,加群の自由分解
   @subsection @code{newsyz.fres}, @code{newsyz.minres}
   @findex newsyz.fres
   @findex newsyz.minres
   
 @table @t  @table @t
 @item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|@var{weyl=1}])  @item newsyz.fres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1])
   @itemx newsyz.minres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1])
 加群の自由分解を計算する.  加群の自由分解を計算する.
 @end table  @end table
   
Line 174  afo
Line 262  afo
   
   
 @itemize @bullet  @itemize @bullet
 @item @var{R} を多項式環とする. @var{f=[f1,...,fm]} は @var{R} のイデアルまたは @var{R^k} の部分加群 (いずれも @var{M}と  f=[f_1,...,f_m] を部分加群 I の生成系とするとき,
 する) の生成系とする.  の生成系とする.  この関数は, F_0/I の自由分解を計算する.
 この関数は, @var{M} の自由分解, すなわち完全列 @var{0->F(l)->F(l-1)->...->F(0)->M->0} を計算する.  @item 結果は [M_1,...,M_l] なるリストで, M_i は [phi_i(e_1),...,phi_i(e_(n_i)]
 @var{F(i)=R^(ni)} とする.  なるベクトルのリストで, syz M_(i-1) の, O 上の POT 順序に関するグレブナー基底である.
 @item 結果は @var{[fl,...,f0]} なるリストで, @var{fi} は @var{F(i)->F(i-1)}  @item @code{newsyz.module_syz} を逐次的に実行する.
 (ただし @var{F(-1)=M}) なる写像を表すベクトル列である.  @code{newsyz.minres} では, 得られた syzygy の生成系のうち, 定数を成分に持つものがある限り簡約を行う.
 @var{fi=[g(1),...,g(n(i))]} のとき, 各 @var{gj} はサイズ @var{n(i-1)} のリストで, @var{F(i)} の @var{j} 番目の  @item @code{newsyz.minres} は, f が斉次の場合, 極小自由分解を得る.
 標準基底ベクトルの像を表す.  @item h, O, オプション weyl については @code{newsyz.module_syz} と同様である.
 @item @code{newsyz.module_syz} を実行し, 得られた syzygy の生成系のうち, 定数を成分に持つものがある限り簡約を行う,  
 という操作を単に繰り返すアルゴリズムを実装している.  
 @item 前項により, @var{f} が斉次の場合, 極小自由分解を得る. @var{f} が斉次でない場合, 前項の簡約は単に @var{F(i)} の  
 ランクを小さくする簡単化となる.  
 @item @var{h}, @var{O}, オプション @var{weyl} については @code{newsyz.module_syz} と同様である.  
 @end itemize  @end itemize
   
 @example  @example
 afo  [0] load("noro_module_syz.rr")$
   [43] load("katsura")$
   [47] F=hkatsura(4)$
   [48] V=[t,u0,u1,u2,u3,u4]$
   [49] R=newsyz.fres(F,V,0,0)$
   [51] map(length,R);
   [5,22,28,12,2]
   [52] S=newsyz.minres(F,V,0,0)$
   [5,10,10,5,1]
   @end example
   
   @node newsyz.lres newsyz.sres newsyz.minsres,,,加群の自由分解
   @subsection @code{newsyz.lres}, @code{newsyz.sres}, @code{newsyz.minsres},
   @findex newsyz.lres
   @findex newsyz.sres
   @findex newsyz.minsres
   
   @table @t
   @item newsyz.lres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1,top=1])
   @itemx newsyz.sres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1])
   @itemx newsyz.minsres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1])
   加群の自由分解を計算する.
   @end table
   
   @table @var
   @item return
   多項式リストのリストのリスト
   
   @item f
   多項式リスト, または多項式リストのリスト
   @item v
   変数リスト
   @item h
   0 または 1
   @item O
   項順序
   @end table
   
   @itemize @bullet
   @item
   f=[f_1,...,f_m] を部分加群 I の生成系とするとき,
   @code{newsyz.lres} は F_0/I の自由分解を La Scala-Stillman アルゴリズムにより計算する.
   @code{newsyz.sres}, @code{newsyz.minsres} は F_0/I の自由分解を Schreyer アルゴリズムにより計算する.
   @item
   有理数体上の多項式環上の加群に対してのみ実装されている.
   @item 結果は [M_1,...,M_l] なるリストで, M_i は syz M_(i-1) の, Schreyer 順序に関する
   グレブナー基底である.
   @item h=1 のとき, 最初のグレブナー基底計算が斉次化経由で行われる.
   @item dp=1 のとき, 結果を加群多項式で返す.
   @item @code{newsyz.lres} において top=1 のとき, S-多項式の剰余計算は, 先頭項が簡約できなかった時点で修了する.
   @item f が斉次の場合, @code{newsyz.lres} および @code{newsyz.minsres} は極小自由分解を得る.
   @end itemize
   
   @example
   [0] load("noro_module_syz.rr")$
   [43] F=[x00*x11-x01*x10,x01*x12-x02*x11,x02*x13-x03*x12,-x11*x20+x21*x10,
   -x21*x12+x22*x11,-x22*x13+x23*x12,x31*x20-x30*x21,x32*x21-x31*x22,x33*x22-x32*x23]$
   [44] V=[x00,x01,x02,x03,x10,x11,x12,x13,x20,x21,x22,x23,x30,x31,x32,x33]$
   [45] cputime(1)$
   1.8e-05sec(1.502e-05sec)
   [46] R=newsyz.minres(F,V,0,0)$
   333.4sec(339.6sec)
   [47] S=newsyz.lres(F,V,0,0)$
   85.34sec(85.56sec)
   [48] T=newsyz.minsres(F,V,0,0)$
   241.2sec(250.3sec)
   [49] cputime(0)$
   [50] map(length,R);
   [9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6]
   [51] map(length,S);
   [9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6,0]
   [52] map(length,T);
   [9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6,0]
   
 @end example  @end example
   
 @comment --- おまじない ---  @comment --- おまじない ---
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