version 1.3, 2017/03/30 06:16:36 |
version 1.5, 2020/09/08 09:16:57 |
|
|
%comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi,v 1.2 2016/08/31 07:49:37 noro Exp $ |
%comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi,v 1.4 2017/08/31 06:31:47 takayama Exp $ |
%comment --- おまじない --- |
%comment --- おまじない --- |
\input ../../../../asir-doc/texinfo |
\input texinfo-ja |
@iftex |
@iftex |
@catcode`@#=6 |
@catcode`@#=6 |
@def@fref#1{@xrefX[#1,,@code{#1},,,]} |
@def@fref#1{@xrefX[#1,,@code{#1},,,]} |
|
|
@catcode`@#=@other |
@catcode`@#=@other |
@end iftex |
@end iftex |
@overfullrule=0pt |
@overfullrule=0pt |
|
@documentlanguage ja |
@c -*-texinfo-*- |
@c -*-texinfo-*- |
@comment %**start of header |
@comment %**start of header |
@comment --- おまじない終り --- |
@comment --- おまじない終り --- |
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@comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 --- |
@comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 --- |
@title noro_module_syz |
@title noro_module_syz |
@subtitle noro_module_syz User's Manual |
@subtitle noro_module_syz User's Manual |
@subtitle Edition 1.0 |
@subtitle Edition 2.0 |
@subtitle Aug 2016 |
@subtitle Sep 2020 |
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|
@author by Masayuki Noro |
@author by Masayuki Noro |
@page |
@page |
Line 69 Copyright @copyright{} Masayuki Noro |
|
Line 70 Copyright @copyright{} Masayuki Noro |
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@chapter noro_module_syz.rr |
@chapter noro_module_syz.rr |
@comment --- section 名を正確に並べる --- |
@comment --- section 名を正確に並べる --- |
@menu |
@menu |
|
* 多項式環上の加群:: |
* 加群の syzygy:: |
* 加群の syzygy:: |
* 加群の自由分解:: |
* 加群の自由分解:: |
@end menu |
@end menu |
Line 90 Copyright @copyright{} Masayuki Noro |
|
Line 92 Copyright @copyright{} Masayuki Noro |
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@comment --- @b{} はボールド表示 --- |
@comment --- @b{} はボールド表示 --- |
@comment --- @samp{} はファイル名などの表示 --- |
@comment --- @samp{} はファイル名などの表示 --- |
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@node 多項式環上の加群,,, noro_module_syz.rr |
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@section 多項式環上の加群 |
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多項式環上の自由加群の元は, 加群単項式 te_i の線型和として内部表現される. |
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ここで t は多項式環の単項式, e_i は自由加群の標準基底である. 加群単項式は, 多項式環の単項式 |
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に位置 i を追加した @code{<<a,b,...,c:i>>} で表す. 加群多項式, すなわち加群単項式の線型和は, |
|
設定されている加群項順序にしたがって降順に整列される. 加群項順序には以下の3種類がある. |
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@table @code |
|
@item TOP 順序 |
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これは, te_i > se_j となるのは t>s または (t=s かつ i<j) となるような項順序である. ここで, |
|
t, s の比較は多項式環に設定されている順序で行う. |
|
この型の順序は, @code{dp_ord([0,Ord])} に |
|
より設定する. ここで, @code{Ord} は多項式環の順序型である. |
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|
|
@item POT 順序 |
|
|
|
これは, te_i > se_j となるのは i<j または (i=j かつ t>s) となるような項順序である. ここで, |
|
t, s の比較は多項式環に設定されている順序で行う. |
|
この型の順序は, @code{dp_ord([1,Ord])} に |
|
より設定する. ここで, @code{Ord} は多項式環の順序型である. |
|
|
|
@item Schreyer 型順序 |
|
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|
各標準基底 e_i に対し, 別の自由加群の加群単項式 T_i が与えられていて, te_i > se_j となるのは |
|
tT_i > sT_j または (tT_i=sT_j かつ i<j) となるような項順序である. ここで tT_i, sT_j の |
|
比較は, これらが所属する自由加群に設定されている順序で行う. |
|
この型の順序は, 通常再帰的に設定される. すなわち, T_i が所属する自由加群の順序も Schreyer 型 |
|
であるか, またはボトムとなる TOP, POT などの項順序となる. |
|
この型の順序は @code{dpm_set_schreyer([H_1,H_2,...])} により指定する. ここで, |
|
@code{H_i=[T_1,T_2,...]} は加群単項式のリストで, @code{[H_2,...]} で定義される Schreyer 型項順序を |
|
@code{tT_i} らに適用するという意味である. |
|
@end table |
|
|
|
加群多項式を入力する方法としては, @code{<<a,b,...:i>>} なる形式で直接入力する他に, |
|
多項式リストを作り, @code{dpm_ltod()} により変換する方法もある. |
|
|
@node 加群の syzygy,,, noro_module_syz.rr |
@node 加群の syzygy,,, noro_module_syz.rr |
@section 加群の syzygy |
@section 加群の syzygy |
|
|
Line 103 Copyright @copyright{} Masayuki Noro |
|
Line 143 Copyright @copyright{} Masayuki Noro |
|
@findex newsyz.module_syz |
@findex newsyz.module_syz |
|
|
@table @t |
@table @t |
@item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|@var{weyl=1}]) |
@item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1,dp=1,f4=1]) |
syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算する. |
syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算する. |
@end table |
@end table |
|
|
@table @var |
@table @var |
@item return |
@item return |
または多項式リストのリスト |
要素が3つのリスト, 各要素は多項式リストまたは加群多項式のリスト |
|
|
@item f |
@item f |
多項式リスト, または多項式リストのリスト |
多項式リスト, または多項式リストのリスト |
Line 128 syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算 |
|
Line 168 syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算 |
|
満たす多項式ベクトル @var{(h1,...,hm)} 全体のなす加群のグレブナー基底を |
満たす多項式ベクトル @var{(h1,...,hm)} 全体のなす加群のグレブナー基底を |
計算する. |
計算する. |
@item @var{fi} が多項式リストの場合, 自然に多項式ベクトルと見なす. |
@item @var{fi} が多項式リストの場合, 自然に多項式ベクトルと見なす. |
@item 与えられた項順序 @var{O} に対し, 加群の項順序 @var{[1,O]} すなわち |
@item 返される結果は @var{[S,G,C]} の形のリストである. ここで |
@var{O} で定まる POT (position over term) 項順序でのグレブナー基底を |
@var{S}は, |
結果として返す. |
与えられた項順序 @var{O} に対し, 加群の項順序 @var{[1,O]} すなわち |
|
@var{O} で定まる POT (position over term) 項順序でのグレブナー基底である. |
|
@var{G}は, 入力加群のPOT 項順序でのグレブナー基底である. |
|
@var{C}は, 入力生成系から@var{G}の各元を生成する係数リストのリストである. |
|
|
@item @var{h} が 0 のとき有理数体上で trace アルゴリズムにより計算する. |
@item @var{h} が 0 のとき有理数体上で trace アルゴリズムにより計算する. |
@var{h} が 1 のとき有理数体上で斉次化 trace アルゴリズムにより計算する. |
@var{h} が 1 のとき有理数体上で斉次化 trace アルゴリズムにより計算する. |
@var{h} が 2 以上の素数のとき有限体上で計算する. |
@var{h} が 2 以上の素数のとき有限体上で計算する. |
オプション @var{weyl} が 1 のとき Weyl 代数上で, 左イデアル (左加群) として計算する. |
|
|
@item オプション @var{f4} が 1 のとき, F4 アルゴリズムにより計算する. |
|
@item オプション @var{weyl} が 1 のとき Weyl 代数上で, 左イデアル (左加群) として計算する. |
|
@item オプション @var{dp}l が 1 のとき, 返される結果は, 加群の要素を表す |
|
多項式リストの代わりに加群単項式が用いられる. |
@end itemize |
@end itemize |
|
|
@example |
@example |
afo |
[0] load("noro_module_syz.rr")$ |
|
[43] load("cyclic")$ |
|
[53] F=cyclic(4); |
|
[c3*c2*c1*c0-1,((c2+c3)*c1+c3*c2)*c0+c3*c2*c1,(c1+c3)*c0+c2*c1+c3*c2, |
|
c0+c1+c2+c3] |
|
[54] V=[c0,c1,c2,c3]$ |
|
[55] L=newsyz.module_syz(F,V,0,0)$ |
|
[56] L[0]; |
|
[[(-c2^2+c3^2)*c1-c3*c2^2+c3^3,-c3^2*c2^2+1,(c3*c2^3-c3^3*c2)*c1+...], |
|
...,[0,0,c0+c1+c2+c3,(-c1-c3)*c0-c2*c1-c3*c2]] |
|
[57] L[1]; |
|
[[(-c2+c3)*c1-c3^4*c2^2-c3*c2+2*c3^2],[-c3^2*c2^3-c3^3*c2^2+c2+c3], |
|
...,[c1^2+2*c3*c1+c3^2],[c0+c1+c2+c3]] |
|
[58] L[2]; |
|
[[(c2-c3)*c1+c3*c2-2*c3^2,c3^2*c2,(-c3*c2^2+c3^2*c2)*c1-c3*c2^3,...], |
|
...,[0,0,-1,c1+c3],[0,0,0,1]] |
|
[59] C0=L[2][0]; |
|
[(c2-c3)*c1+c3*c2-2*c3^2,c3^2*c2,(-c3*c2^2+c3^2*c2)*c1-c3*c2^3, |
|
(c3*c2^3-c3^2*c2^2)*c1+c3^2*c2^3-c3^3*c2^2] |
|
[60] L[1][0][0]-(C0[0]*F[0]+C0[1]*F[1]+C0[2]*F[2]+C0[3]*F[3]); |
|
0 |
|
[61] M=newsuz.modules_syz(F,V,0,0dp=1)$ |
|
[62] M[0]; |
|
[(-1)*<<0,1,2,0:1>>+(-1)*<<0,0,2,1:1>>+(1)*<<0,1,0,2:1>>+..., |
|
...,(1)*<<1,0,0,0:3>>+(1)*<<0,1,0,0:3>>+(1)*<<0,0,1,0:3>>+ |
|
...+(-1)*<<0,1,1,0:4>>+(-1)*<<1,0,0,1:4>>+(-1)*<<0,0,1,1:4>>] |
@end example |
@end example |
|
|
@node 加群の自由分解,,, noro_module_syz.rr |
@node 加群の自由分解,,, noro_module_syz.rr |
@section 加群の自由分解 |
@section 加群の自由分解 |
|
|
@menu |
@menu |
* newsyz.module_minres:: |
* newsyz.fres newsyz.minres:: |
|
* newsyz.lres newsyz.sres newsyz.minsres:: |
@end menu |
@end menu |
|
|
@node newsyz.module_minres,,,加群の自由分解 |
R を多項式環とし. F_i を R 上の自由加群, n_i を F_i のランクとする. |
@subsection @code{newsyz.module_minres} |
本節の関数は, F_0 の部分加群 I に対し, F_0/I の自由分解 |
@findex newsyz.module_minres |
@iftex |
|
@tex |
|
$$0\to F_l\to \cdots \to F_0 \to F_0/I \to 0$$ |
|
@end tex |
|
@end iftex |
|
@ifnottex |
|
0->F_l->...->F_0->F_0/I->0 |
|
@end ifnottex |
|
を与える関数について解説する. |
|
この自由分解において phi_i:F_i->F_(i-1) とする. |
|
|
|
@node newsyz.fres newsyz.minres,,,加群の自由分解 |
|
@subsection @code{newsyz.fres}, @code{newsyz.minres} |
|
@findex newsyz.fres |
|
@findex newsyz.minres |
|
|
@table @t |
@table @t |
@item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|@var{weyl=1}]) |
@item newsyz.fres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1]) |
|
@itemx newsyz.minres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1]) |
加群の自由分解を計算する. |
加群の自由分解を計算する. |
@end table |
@end table |
|
|
|
|
|
|
|
|
@itemize @bullet |
@itemize @bullet |
@item @var{R} を多項式環とする. @var{f=[f1,...,fm]} は @var{R} のイデアルまたは @var{R^k} の部分加群 (いずれも @var{M}と |
f=[f_1,...,f_m] を部分加群 I の生成系とするとき, |
する) の生成系とする. |
の生成系とする. この関数は, F_0/I の自由分解を計算する. |
この関数は, @var{M} の自由分解, すなわち完全列 @var{0->F(l)->F(l-1)->...->F(0)->M->0} を計算する. |
@item 結果は [M_1,...,M_l] なるリストで, M_i は [phi_i(e_1),...,phi_i(e_(n_i)] |
@var{F(i)=R^(ni)} とする. |
なるベクトルのリストで, syz M_(i-1) の, O 上の POT 順序に関するグレブナー基底である. |
@item 結果は @var{[fl,...,f0]} なるリストで, @var{fi} は @var{F(i)->F(i-1)} |
@item @code{newsyz.module_syz} を逐次的に実行する. |
(ただし @var{F(-1)=M}) なる写像を表すベクトル列である. |
@code{newsyz.minres} では, 得られた syzygy の生成系のうち, 定数を成分に持つものがある限り簡約を行う. |
@var{fi=[g(1),...,g(n(i))]} のとき, 各 @var{gj} はサイズ @var{n(i-1)} のリストで, @var{F(i)} の @var{j} 番目の |
@item @code{newsyz.minres} は, f が斉次の場合, 極小自由分解を得る. |
標準基底ベクトルの像を表す. |
@item h, O, オプション weyl については @code{newsyz.module_syz} と同様である. |
@item @code{newsyz.module_syz} を実行し, 得られた syzygy の生成系のうち, 定数を成分に持つものがある限り簡約を行う, |
|
という操作を単に繰り返すアルゴリズムを実装している. |
|
@item 前項により, @var{f} が斉次の場合, 極小自由分解を得る. @var{f} が斉次でない場合, 前項の簡約は単に @var{F(i)} の |
|
ランクを小さくする簡単化となる. |
|
@item @var{h}, @var{O}, オプション @var{weyl} については @code{newsyz.module_syz} と同様である. |
|
@end itemize |
@end itemize |
|
|
@example |
@example |
afo |
[0] load("noro_module_syz.rr")$ |
|
[43] load("katsura")$ |
|
[47] F=hkatsura(4)$ |
|
[48] V=[t,u0,u1,u2,u3,u4]$ |
|
[49] R=newsyz.fres(F,V,0,0)$ |
|
[51] map(length,R); |
|
[5,22,28,12,2] |
|
[52] S=newsyz.minres(F,V,0,0)$ |
|
[5,10,10,5,1] |
|
@end example |
|
|
|
@node newsyz.lres newsyz.sres newsyz.minsres,,,加群の自由分解 |
|
@subsection @code{newsyz.lres}, @code{newsyz.sres}, @code{newsyz.minsres}, |
|
@findex newsyz.lres |
|
@findex newsyz.sres |
|
@findex newsyz.minsres |
|
|
|
@table @t |
|
@item newsyz.lres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1,top=1]) |
|
@itemx newsyz.sres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1]) |
|
@itemx newsyz.minsres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1]) |
|
加群の自由分解を計算する. |
|
@end table |
|
|
|
@table @var |
|
@item return |
|
多項式リストのリストのリスト |
|
|
|
@item f |
|
多項式リスト, または多項式リストのリスト |
|
@item v |
|
変数リスト |
|
@item h |
|
0 または 1 |
|
@item O |
|
項順序 |
|
@end table |
|
|
|
@itemize @bullet |
|
@item |
|
f=[f_1,...,f_m] を部分加群 I の生成系とするとき, |
|
@code{newsyz.lres} は F_0/I の自由分解を La Scala-Stillman アルゴリズムにより計算する. |
|
@code{newsyz.sres}, @code{newsyz.minsres} は F_0/I の自由分解を Schreyer アルゴリズムにより計算する. |
|
@item |
|
有理数体上の多項式環上の加群に対してのみ実装されている. |
|
@item 結果は [M_1,...,M_l] なるリストで, M_i は syz M_(i-1) の, Schreyer 順序に関する |
|
グレブナー基底である. |
|
@item h=1 のとき, 最初のグレブナー基底計算が斉次化経由で行われる. |
|
@item dp=1 のとき, 結果を加群多項式で返す. |
|
@item @code{newsyz.lres} において top=1 のとき, S-多項式の剰余計算は, 先頭項が簡約できなかった時点で修了する. |
|
@item f が斉次の場合, @code{newsyz.lres} および @code{newsyz.minsres} は極小自由分解を得る. |
|
@end itemize |
|
|
|
@example |
|
[0] load("noro_module_syz.rr")$ |
|
[43] F=[x00*x11-x01*x10,x01*x12-x02*x11,x02*x13-x03*x12,-x11*x20+x21*x10, |
|
-x21*x12+x22*x11,-x22*x13+x23*x12,x31*x20-x30*x21,x32*x21-x31*x22,x33*x22-x32*x23]$ |
|
[44] V=[x00,x01,x02,x03,x10,x11,x12,x13,x20,x21,x22,x23,x30,x31,x32,x33]$ |
|
[45] cputime(1)$ |
|
1.8e-05sec(1.502e-05sec) |
|
[46] R=newsyz.minres(F,V,0,0)$ |
|
333.4sec(339.6sec) |
|
[47] S=newsyz.lres(F,V,0,0)$ |
|
85.34sec(85.56sec) |
|
[48] T=newsyz.minsres(F,V,0,0)$ |
|
241.2sec(250.3sec) |
|
[49] cputime(0)$ |
|
[50] map(length,R); |
|
[9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6] |
|
[51] map(length,S); |
|
[9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6,0] |
|
[52] map(length,T); |
|
[9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6,0] |
|
|
@end example |
@end example |
|
|
@comment --- おまじない --- |
@comment --- おまじない --- |