Annotation of OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi, Revision 1.5
1.5 ! noro 1: %comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/noro_module_syz/noro_module_syz-ja.texi,v 1.4 2017/08/31 06:31:47 takayama Exp $
1.3 takayama 2: %comment --- おまじない ---
1.4 takayama 3: \input texinfo-ja
1.1 noro 4: @iftex
5: @catcode`@#=6
6: @def@fref#1{@xrefX[#1,,@code{#1},,,]}
7: @def@b#1{{@bf@gt #1}}
8: @catcode`@#=@other
9: @end iftex
10: @overfullrule=0pt
1.4 takayama 11: @documentlanguage ja
1.1 noro 12: @c -*-texinfo-*-
13: @comment %**start of header
1.3 takayama 14: @comment --- おまじない終り ---
1.1 noro 15:
1.3 takayama 16: @comment --- GNU info ファイルの名前 ---
1.1 noro 17: @setfilename asir-contrib-noro_module_syz
18:
1.3 takayama 19: @comment --- タイトル ---
1.1 noro 20: @settitle noro_module_syz
21:
22: @comment %**end of header
23: @comment %@setchapternewpage odd
24:
1.3 takayama 25: @comment --- おまじない ---
1.1 noro 26: @ifinfo
27: @macro fref{name}
28: @ref{\name\,,@code{\name\}}
29: @end macro
30: @end ifinfo
31:
32: @iftex
33: @comment @finalout
34: @end iftex
35:
36: @titlepage
1.3 takayama 37: @comment --- おまじない終り ---
1.1 noro 38:
1.3 takayama 39: @comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 ---
1.1 noro 40: @title noro_module_syz
41: @subtitle noro_module_syz User's Manual
1.5 ! noro 42: @subtitle Edition 2.0
! 43: @subtitle Sep 2020
1.1 noro 44:
45: @author by Masayuki Noro
46: @page
47: @vskip 0pt plus 1filll
48: Copyright @copyright{} Masayuki Noro
49: 2016. All rights reserved.
50: @end titlepage
51:
1.3 takayama 52: @comment --- おまじない ---
1.1 noro 53: @synindex vr fn
1.3 takayama 54: @comment --- おまじない終り ---
1.1 noro 55:
1.3 takayama 56: @comment --- @node は GNU info, HTML 用 ---
57: @comment --- @node の引数は node-name, next, previous, up ---
1.1 noro 58: @node Top,, (dir), (dir)
59:
1.3 takayama 60: @comment --- @menu は GNU info, HTML 用 ---
61: @comment --- chapter 名を正確に並べる ---
1.1 noro 62: @menu
63: * noro_module_syz.rr ::
64: * Index::
65: @end menu
66:
1.3 takayama 67: @comment --- chapter の開始 ---
68: @comment --- 親 chapter 名を正確に ---
1.1 noro 69: @node noro_module_syz.rr ,,, Top
70: @chapter noro_module_syz.rr
1.3 takayama 71: @comment --- section 名を正確に並べる ---
1.1 noro 72: @menu
1.5 ! noro 73: * 多項式環上の加群::
1.3 takayama 74: * 加群の syzygy::
75: * 加群の自由分解::
1.1 noro 76: @end menu
77:
1.3 takayama 78: このマニュアルでは, asir-contrib パッケージに収録されている,
79: 加群の syzygy および自由分解を計算するパッケージ
80: @samp{noro_module_syz.rr} について解説する.
81: このパッケージを使うには, まず @samp{noro_module_syz.rr} をロードする.
1.1 noro 82: @example
83: [...] load("noro_module_syz.rr");
84: @end example
85: @noindent
1.3 takayama 86: このパッケージの函数を呼び出すには, 全て @code{newsyz.} を先頭につける.
1.1 noro 87:
1.3 takayama 88: @comment --- section の開始 ---
89: @comment --- 書体指定について ---
90: @comment --- @code{} はタイプライタ体表示 ---
91: @comment --- @var{} は斜字体表示 ---
92: @comment --- @b{} はボールド表示 ---
93: @comment --- @samp{} はファイル名などの表示 ---
1.1 noro 94:
1.5 ! noro 95: @node 多項式環上の加群,,, noro_module_syz.rr
! 96: @section 多項式環上の加群
! 97:
! 98: 多項式環上の自由加群の元は, 加群単項式 te_i の線型和として内部表現される.
! 99: ここで t は多項式環の単項式, e_i は自由加群の標準基底である. 加群単項式は, 多項式環の単項式
! 100: に位置 i を追加した @code{<<a,b,...,c:i>>} で表す. 加群多項式, すなわち加群単項式の線型和は,
! 101: 設定されている加群項順序にしたがって降順に整列される. 加群項順序には以下の3種類がある.
! 102:
! 103: @table @code
! 104: @item TOP 順序
! 105:
! 106: これは, te_i > se_j となるのは t>s または (t=s かつ i<j) となるような項順序である. ここで,
! 107: t, s の比較は多項式環に設定されている順序で行う.
! 108: この型の順序は, @code{dp_ord([0,Ord])} に
! 109: より設定する. ここで, @code{Ord} は多項式環の順序型である.
! 110:
! 111: @item POT 順序
! 112:
! 113: これは, te_i > se_j となるのは i<j または (i=j かつ t>s) となるような項順序である. ここで,
! 114: t, s の比較は多項式環に設定されている順序で行う.
! 115: この型の順序は, @code{dp_ord([1,Ord])} に
! 116: より設定する. ここで, @code{Ord} は多項式環の順序型である.
! 117:
! 118: @item Schreyer 型順序
! 119:
! 120: 各標準基底 e_i に対し, 別の自由加群の加群単項式 T_i が与えられていて, te_i > se_j となるのは
! 121: tT_i > sT_j または (tT_i=sT_j かつ i<j) となるような項順序である. ここで tT_i, sT_j の
! 122: 比較は, これらが所属する自由加群に設定されている順序で行う.
! 123: この型の順序は, 通常再帰的に設定される. すなわち, T_i が所属する自由加群の順序も Schreyer 型
! 124: であるか, またはボトムとなる TOP, POT などの項順序となる.
! 125: この型の順序は @code{dpm_set_schreyer([H_1,H_2,...])} により指定する. ここで,
! 126: @code{H_i=[T_1,T_2,...]} は加群単項式のリストで, @code{[H_2,...]} で定義される Schreyer 型項順序を
! 127: @code{tT_i} らに適用するという意味である.
! 128: @end table
! 129:
! 130: 加群多項式を入力する方法としては, @code{<<a,b,...:i>>} なる形式で直接入力する他に,
! 131: 多項式リストを作り, @code{dpm_ltod()} により変換する方法もある.
! 132:
1.3 takayama 133: @node 加群の syzygy,,, noro_module_syz.rr
134: @section 加群の syzygy
1.1 noro 135:
136: @menu
137: * noro_module_syz.modue_syz::
138: @end menu
139:
1.3 takayama 140: @node newsyz.module_syz,,, 加群の syzygy
1.1 noro 141:
142: @subsection @code{newsyz.module_syz}
143: @findex newsyz.module_syz
144:
145: @table @t
1.5 ! noro 146: @item newsyz.module_syz(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1,dp=1,f4=1])
1.3 takayama 147: syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算する.
1.1 noro 148: @end table
149:
150: @table @var
151: @item return
1.5 ! noro 152: 要素が3つのリスト, 各要素は多項式リストまたは加群多項式のリスト
1.1 noro 153:
154: @item f
1.3 takayama 155: 多項式リスト, または多項式リストのリスト
1.1 noro 156: @item v
1.3 takayama 157: 変数リスト
1.1 noro 158: @item h
1.3 takayama 159: 非負整数
1.1 noro 160: @item O
1.3 takayama 161: 項順序
1.1 noro 162: @end table
163:
164: @itemize @bullet
1.3 takayama 165: @item 多項式
166: 多項式列またが多項式ベクトル列に対する syzygy 加群のグレブナー基底を計算する.
167: @item @var{f=[f1,...,fm]} に対し, @var{h1*f1+...+hm*fm=0}を
168: 満たす多項式ベクトル @var{(h1,...,hm)} 全体のなす加群のグレブナー基底を
169: 計算する.
170: @item @var{fi} が多項式リストの場合, 自然に多項式ベクトルと見なす.
1.5 ! noro 171: @item 返される結果は @var{[S,G,C]} の形のリストである. ここで
! 172: @var{S}は,
! 173: 与えられた項順序 @var{O} に対し, 加群の項順序 @var{[1,O]} すなわち
! 174: @var{O} で定まる POT (position over term) 項順序でのグレブナー基底である.
! 175: @var{G}は, 入力加群のPOT 項順序でのグレブナー基底である.
! 176: @var{C}は, 入力生成系から@var{G}の各元を生成する係数リストのリストである.
! 177:
1.3 takayama 178: @item @var{h} が 0 のとき有理数体上で trace アルゴリズムにより計算する.
179: @var{h} が 1 のとき有理数体上で斉次化 trace アルゴリズムにより計算する.
180: @var{h} が 2 以上の素数のとき有限体上で計算する.
1.5 ! noro 181:
! 182: @item オプション @var{f4} が 1 のとき, F4 アルゴリズムにより計算する.
! 183: @item オプション @var{weyl} が 1 のとき Weyl 代数上で, 左イデアル (左加群) として計算する.
! 184: @item オプション @var{dp}l が 1 のとき, 返される結果は, 加群の要素を表す
! 185: 多項式リストの代わりに加群単項式が用いられる.
1.1 noro 186: @end itemize
187:
188: @example
1.5 ! noro 189: [0] load("noro_module_syz.rr")$
! 190: [43] load("cyclic")$
! 191: [53] F=cyclic(4);
! 192: [c3*c2*c1*c0-1,((c2+c3)*c1+c3*c2)*c0+c3*c2*c1,(c1+c3)*c0+c2*c1+c3*c2,
! 193: c0+c1+c2+c3]
! 194: [54] V=[c0,c1,c2,c3]$
! 195: [55] L=newsyz.module_syz(F,V,0,0)$
! 196: [56] L[0];
! 197: [[(-c2^2+c3^2)*c1-c3*c2^2+c3^3,-c3^2*c2^2+1,(c3*c2^3-c3^3*c2)*c1+...],
! 198: ...,[0,0,c0+c1+c2+c3,(-c1-c3)*c0-c2*c1-c3*c2]]
! 199: [57] L[1];
! 200: [[(-c2+c3)*c1-c3^4*c2^2-c3*c2+2*c3^2],[-c3^2*c2^3-c3^3*c2^2+c2+c3],
! 201: ...,[c1^2+2*c3*c1+c3^2],[c0+c1+c2+c3]]
! 202: [58] L[2];
! 203: [[(c2-c3)*c1+c3*c2-2*c3^2,c3^2*c2,(-c3*c2^2+c3^2*c2)*c1-c3*c2^3,...],
! 204: ...,[0,0,-1,c1+c3],[0,0,0,1]]
! 205: [59] C0=L[2][0];
! 206: [(c2-c3)*c1+c3*c2-2*c3^2,c3^2*c2,(-c3*c2^2+c3^2*c2)*c1-c3*c2^3,
! 207: (c3*c2^3-c3^2*c2^2)*c1+c3^2*c2^3-c3^3*c2^2]
! 208: [60] L[1][0][0]-(C0[0]*F[0]+C0[1]*F[1]+C0[2]*F[2]+C0[3]*F[3]);
! 209: 0
! 210: [61] M=newsuz.modules_syz(F,V,0,0dp=1)$
! 211: [62] M[0];
! 212: [(-1)*<<0,1,2,0:1>>+(-1)*<<0,0,2,1:1>>+(1)*<<0,1,0,2:1>>+...,
! 213: ...,(1)*<<1,0,0,0:3>>+(1)*<<0,1,0,0:3>>+(1)*<<0,0,1,0:3>>+
! 214: ...+(-1)*<<0,1,1,0:4>>+(-1)*<<1,0,0,1:4>>+(-1)*<<0,0,1,1:4>>]
1.1 noro 215: @end example
216:
1.3 takayama 217: @node 加群の自由分解,,, noro_module_syz.rr
218: @section 加群の自由分解
1.1 noro 219:
220: @menu
1.5 ! noro 221: * newsyz.fres newsyz.minres::
! 222: * newsyz.lres newsyz.sres newsyz.minsres::
1.1 noro 223: @end menu
224:
1.5 ! noro 225: R を多項式環とし. F_i を R 上の自由加群, n_i を F_i のランクとする.
! 226: 本節の関数は, F_0 の部分加群 I に対し, F_0/I の自由分解
! 227: @iftex
! 228: @tex
! 229: $$0\to F_l\to \cdots \to F_0 \to F_0/I \to 0$$
! 230: @end tex
! 231: @end iftex
! 232: @ifnottex
! 233: 0->F_l->...->F_0->F_0/I->0
! 234: @end ifnottex
! 235: を与える関数について解説する.
! 236: この自由分解において phi_i:F_i->F_(i-1) とする.
! 237:
! 238: @node newsyz.fres newsyz.minres,,,加群の自由分解
! 239: @subsection @code{newsyz.fres}, @code{newsyz.minres}
! 240: @findex newsyz.fres
! 241: @findex newsyz.minres
1.1 noro 242:
243: @table @t
1.5 ! noro 244: @item newsyz.fres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1])
! 245: @itemx newsyz.minres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|weyl=1])
1.3 takayama 246: 加群の自由分解を計算する.
1.1 noro 247: @end table
248:
249: @table @var
250: @item return
1.3 takayama 251: 多項式リストのリストのリスト
1.1 noro 252:
1.2 noro 253: @item f
1.3 takayama 254: 多項式リスト, または多項式リストのリスト
1.1 noro 255: @item v
1.3 takayama 256: 変数リスト
1.2 noro 257: @item h
1.3 takayama 258: 非負整数
1.2 noro 259: @item O
1.3 takayama 260: 項順序
1.1 noro 261: @end table
262:
263:
264: @itemize @bullet
1.5 ! noro 265: f=[f_1,...,f_m] を部分加群 I の生成系とするとき,
! 266: の生成系とする. この関数は, F_0/I の自由分解を計算する.
! 267: @item 結果は [M_1,...,M_l] なるリストで, M_i は [phi_i(e_1),...,phi_i(e_(n_i)]
! 268: なるベクトルのリストで, syz M_(i-1) の, O 上の POT 順序に関するグレブナー基底である.
! 269: @item @code{newsyz.module_syz} を逐次的に実行する.
! 270: @code{newsyz.minres} では, 得られた syzygy の生成系のうち, 定数を成分に持つものがある限り簡約を行う.
! 271: @item @code{newsyz.minres} は, f が斉次の場合, 極小自由分解を得る.
! 272: @item h, O, オプション weyl については @code{newsyz.module_syz} と同様である.
1.1 noro 273: @end itemize
274:
275: @example
1.5 ! noro 276: [0] load("noro_module_syz.rr")$
! 277: [43] load("katsura")$
! 278: [47] F=hkatsura(4)$
! 279: [48] V=[t,u0,u1,u2,u3,u4]$
! 280: [49] R=newsyz.fres(F,V,0,0)$
! 281: [51] map(length,R);
! 282: [5,22,28,12,2]
! 283: [52] S=newsyz.minres(F,V,0,0)$
! 284: [5,10,10,5,1]
! 285: @end example
! 286:
! 287: @node newsyz.lres newsyz.sres newsyz.minsres,,,加群の自由分解
! 288: @subsection @code{newsyz.lres}, @code{newsyz.sres}, @code{newsyz.minsres},
! 289: @findex newsyz.lres
! 290: @findex newsyz.sres
! 291: @findex newsyz.minsres
! 292:
! 293: @table @t
! 294: @item newsyz.lres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1,top=1])
! 295: @itemx newsyz.sres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1])
! 296: @itemx newsyz.minsres(@var{f},@var{v},@var{h},@var{O}[|dp=1])
! 297: 加群の自由分解を計算する.
! 298: @end table
! 299:
! 300: @table @var
! 301: @item return
! 302: 多項式リストのリストのリスト
! 303:
! 304: @item f
! 305: 多項式リスト, または多項式リストのリスト
! 306: @item v
! 307: 変数リスト
! 308: @item h
! 309: 0 または 1
! 310: @item O
! 311: 項順序
! 312: @end table
! 313:
! 314: @itemize @bullet
! 315: @item
! 316: f=[f_1,...,f_m] を部分加群 I の生成系とするとき,
! 317: @code{newsyz.lres} は F_0/I の自由分解を La Scala-Stillman アルゴリズムにより計算する.
! 318: @code{newsyz.sres}, @code{newsyz.minsres} は F_0/I の自由分解を Schreyer アルゴリズムにより計算する.
! 319: @item
! 320: 有理数体上の多項式環上の加群に対してのみ実装されている.
! 321: @item 結果は [M_1,...,M_l] なるリストで, M_i は syz M_(i-1) の, Schreyer 順序に関する
! 322: グレブナー基底である.
! 323: @item h=1 のとき, 最初のグレブナー基底計算が斉次化経由で行われる.
! 324: @item dp=1 のとき, 結果を加群多項式で返す.
! 325: @item @code{newsyz.lres} において top=1 のとき, S-多項式の剰余計算は, 先頭項が簡約できなかった時点で修了する.
! 326: @item f が斉次の場合, @code{newsyz.lres} および @code{newsyz.minsres} は極小自由分解を得る.
! 327: @end itemize
! 328:
! 329: @example
! 330: [0] load("noro_module_syz.rr")$
! 331: [43] F=[x00*x11-x01*x10,x01*x12-x02*x11,x02*x13-x03*x12,-x11*x20+x21*x10,
! 332: -x21*x12+x22*x11,-x22*x13+x23*x12,x31*x20-x30*x21,x32*x21-x31*x22,x33*x22-x32*x23]$
! 333: [44] V=[x00,x01,x02,x03,x10,x11,x12,x13,x20,x21,x22,x23,x30,x31,x32,x33]$
! 334: [45] cputime(1)$
! 335: 1.8e-05sec(1.502e-05sec)
! 336: [46] R=newsyz.minres(F,V,0,0)$
! 337: 333.4sec(339.6sec)
! 338: [47] S=newsyz.lres(F,V,0,0)$
! 339: 85.34sec(85.56sec)
! 340: [48] T=newsyz.minsres(F,V,0,0)$
! 341: 241.2sec(250.3sec)
! 342: [49] cputime(0)$
! 343: [50] map(length,R);
! 344: [9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6]
! 345: [51] map(length,S);
! 346: [9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6,0]
! 347: [52] map(length,T);
! 348: [9,75,456,1602,3391,4680,4388,2849,1290,393,72,6,0]
! 349:
1.1 noro 350: @end example
351:
1.3 takayama 352: @comment --- おまじない ---
1.1 noro 353: @node Index,,, Top
354: @unnumbered Index
355: @printindex fn
356: @printindex cp
357: @iftex
358: @vfill @eject
359: @end iftex
360: @summarycontents
361: @contents
362: @bye
1.3 takayama 363: @comment --- おまじない終り ---
1.1 noro 364:
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