Annotation of OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/taji_alc/taji_alc-ja.texi, Revision 1.4
1.4 ! takayama 1: \input texinfo-ja
1.1 takayama 2: @iftex
3: @catcode`@#=6
4: @def@fref#1{@xrefX[#1,,@code{#1},,,]}
5: @def@b#1{{@bf@gt #1}}
6: @catcode`@#=@other
7: @end iftex
8: @overfullrule=0pt
1.4 ! takayama 9: @documentlanguage ja
1.1 takayama 10: @c -*-texinfo-*-
1.4 ! takayama 11: @comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/taji_alc/taji_alc-ja.texi,v 1.3 2017/03/30 06:16:37 takayama Exp $
1.1 takayama 12: @comment %**start of header
1.3 takayama 13: @comment --- おまじない終り ---
1.1 takayama 14:
1.3 takayama 15: @comment --- GNU info ファイルの名前 --- euc code で記述すること.
1.1 takayama 16: @setfilename asir-contrib-taji_alc_ja
17:
1.3 takayama 18: @comment --- タイトル ---
19: @settitle 1変数代数的局所コホモロジー類用パッケージ taji_alc
1.1 takayama 20:
21: @comment %**end of header
22: @comment %@setchapternewpage odd
23:
1.3 takayama 24: @comment --- おまじない ---
1.1 takayama 25: @ifinfo
26: @macro fref{name}
27: @ref{\name\,,@code{\name\}}
28: @end macro
29: @end ifinfo
30:
31: @iftex
32: @comment @finalout
33: @end iftex
34:
35: @titlepage
1.3 takayama 36: @comment --- おまじない終り ---
1.1 takayama 37:
1.3 takayama 38: @comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 ---
39: @title 1変数代数的局所コホモロジー類用パッケージ taji_alc
40: @subtitle 1変数代数的局所コホモロジー類用パッケージ taji_alc
41: @subtitle 1.0 版
42: @subtitle 2007 年 11 月
1.1 takayama 43:
1.3 takayama 44: @author 庄司卓夢, 田島慎一
1.1 takayama 45: @page
46: @vskip 0pt plus 1filll
47: Copyright @copyright{} Takumu Shoji, Shinichi Tajima.
48: 2007. All rights reserved. Licensed by GPL.
49: @end titlepage
50:
1.3 takayama 51: @comment --- おまじない ---
1.1 takayama 52: @synindex vr fn
1.3 takayama 53: @comment --- おまじない終り ---
1.1 takayama 54:
1.3 takayama 55: @comment --- @node は GNU info, HTML 用 ---
56: @comment --- @node の引数は node-name, next, previous, up ---
1.1 takayama 57: @node Top,, (dir), (dir)
58:
1.3 takayama 59: @comment --- @menu は GNU info, HTML 用 ---
60: @comment --- chapter 名を正確に並べる ---
61: @comment --- この文書では chapter XYZ, Chapter Index がある.
62: @comment --- Chapter XYZ には section XYZについて, section XYZに関する関数がある.
1.1 takayama 63: @menu
1.3 takayama 64: * 1変数代数的局所コホモロジー類::
1.1 takayama 65: * Index::
66: @end menu
67:
1.3 takayama 68: @comment --- chapter の開始 ---
69: @comment --- 親 chapter 名を正確に. 親がない場合は Top ---
70: @node 1変数代数的局所コホモロジー類,,, Top
71: @chapter 1変数代数的局所コホモロジー類
1.1 takayama 72:
1.3 takayama 73: @comment --- section 名を正確に並べる. ---
1.1 takayama 74: @menu
1.3 takayama 75: * 1変数代数的局所コホモロジー類用のパッケージ taji_alc について::
76: * 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数::
1.1 takayama 77: @end menu
78:
1.3 takayama 79: @comment --- section ``XYZについて'' の開始 --- section XYZについての親は chapter XYZ
80: @node 1変数代数的局所コホモロジー類用のパッケージ taji_alc について,,, 1変数代数的局所コホモロジー類
81: @section 1変数代数的局所コホモロジー類用のパッケージ taji_alc について
82:
83: @comment --- 書体指定について ---
84: @comment --- @code{} はタイプライタ体表示 ---
85: @comment --- @var{} は斜字体表示 ---
86: @comment --- @b{} はボールド表示 ---
87: @comment --- @samp{} はファイル名などの表示 ---
88:
89: この説明書では
90: 1変数代数的局所コホモロジー類用のパッケージ taji_alc について説明する.
91: 数学的解説や背景については, 解説記事
92: ``1変数代数的局所コホモロジー類用に対する Risa/Asir 用パッケージ taji_alc''
1.1 takayama 93: (Risa/Asir Journal (2007))
1.3 takayama 94: およびその参考文献を参照.
1.1 takayama 95:
96:
1.3 takayama 97: @comment --- section ``実験的関数'' の開始 ---
98: @node 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数,,, 1変数代数的局所コホモロジー類
99: @section 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 100:
1.3 takayama 101: @comment --- section ``実験的関数'' の subsection xyz_abc
102: @comment --- subsection xyz_pqr xyz_stu がある.
1.1 takayama 103: @menu
104: * taji_alc.cpfd::
105: * taji_alc.snoether::
106: * taji_alc.laurent_expansion::
107: * taji_alc.residue::
108: * taji_alc.invpow::
109: * taji_alc.rem_formula::
110: * taji_alc.solve_ode_cp::
111: * taji_alc.solve_ode_cp_ps::
112: * taji_alc.fbt::
113: * taji_alc.inv::
114: @end menu
115:
1.3 takayama 116: 本セクションの関数を呼び出すには,
1.1 takayama 117: @example
118: import("taji_alc.rr")$
119: @end example
1.3 takayama 120: を実行してプログラムをロードする.
1.1 takayama 121:
122:
123: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 124: @node taji_alc.cpfd,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 125: @subsection @code{taji_alc.cpfd}
126: @findex taji_alc.cpfd
127:
128: @table @t
129: @item taji_alc.cpfd(@var{num},@var{den})
1.3 takayama 130: :: 有理関数@var{num}/@var{den}の部分分数分解を求める.
1.1 takayama 131: @end table
132:
133: @table @var
134: @item return
1.3 takayama 135: @var{switch}が0か1ならば, [[[分子,[分母の因子,重複度]],...],...] なるリスト.
1.1 takayama 136:
1.3 takayama 137: @var{switch}が10か11ならば, [[分子,[分母の因子,重複度]],...] なるリスト.
1.1 takayama 138:
139: @item num
1.3 takayama 140: (有理関数の分子の) 多項式
1.1 takayama 141: @item den
1.3 takayama 142: (有理関数の分母の) 多項式
1.1 takayama 143:
1.3 takayama 144: または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
1.1 takayama 145: @item switch
1.3 takayama 146: オプション指定
1.1 takayama 147:
1.3 takayama 148: case 0 : completeな部分分数分解を返す. (分子は有理数係数多項式)
1.1 takayama 149:
1.3 takayama 150: case 1 : completeな部分分数分解を返す. (分子は整数係数化リスト)
1.1 takayama 151:
1.3 takayama 152: case 10 : 分母を冪展開しない部分分数分解を返す. (分子は有理数係数多項式)
1.1 takayama 153:
1.3 takayama 154: case 11 : 分母を冪展開しない部分分数分解を返す. (分子は整数係数化リスト)
1.1 takayama 155:
156: default : case 0
157: @end table
158:
159: @itemize @bullet
1.3 takayama 160: @item taji_alc.cpfd()は, properな有理関数を対象とする.
161: 入力値がproperでない場合でも正常に動作するが, 多項式として出てくる部分は表示しない.
162: @item 部分分数分解は, 冪展開をするcompleteなタイプと, 冪展開をしないタイプの2つのタイプがある.
163: taji_alc.cpfd()で採用しているアルゴリズムでは, 前者が先に求まる.
164: 後者は, 前者のデータをホーナー法で足し上げて求める.
165: @item @var{den}は, リストでの入力が望ましい.
166: (多項式で入力すると, 簡約化の処理が生じるため重くなる.)
167: ただしその場合には, 既約チェック, 有理式の約分, 整数係数化は行わないので注意する.
168: 入力値はユーザ側が責任をもつ.
1.1 takayama 169: @end itemize
170:
171: @example
172: [235] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1);
173: [[[1/2*x-1,[x^2+1,1]]],[[-1/2,[x+1,2]],[1/2,[x+1,1]]]]
174: [236] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=1);
175: [[[[x-2,2],[x^2+1,1]]],[[[-1,2],[x+1,2]],[[1,2],[x+1,1]]]]
176: [237] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=10);
177: [[1/2*x-1,[x^2+1,1]],[1/2*x,[x+1,2]]]
178: [238] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=11);
179: [[[x-2,2],[x^2+1,1]],[[x,2],[x+1,2]]]
180: @end example
181:
182: @table @t
1.3 takayama 183: @item 参照
1.1 takayama 184: @end table
185:
1.3 takayama 186: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
187: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 188: @noindent
189: ChangeLog
190: @itemize @bullet
191: @end itemize
192: @comment ****************************************************************
193:
194:
195: @page
196: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 197: @node taji_alc.snoether,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 198: @subsection @code{taji_alc.snoether}
199: @findex taji_alc.snoether
200:
201: @table @t
202: @item taji_alc.snoether(@var{num},@var{den})
1.3 takayama 203: :: 有理関数@var{num}/@var{den}が定める代数的局所コホモロジー類のネーター作用素を求める.
1.1 takayama 204: @end table
205:
206: @table @var
207: @item return
1.3 takayama 208: [[因子,ネーター作用素],...] なるリスト.
1.1 takayama 209:
1.3 takayama 210: ネーター作用素は, 係数を高階の部分から降順に並べたリスト
1.1 takayama 211:
212: @item num
1.3 takayama 213: (有理関数の分子の)多項式
1.1 takayama 214: @item den
1.3 takayama 215: (有理関数の分母の)多項式
1.1 takayama 216:
1.3 takayama 217: または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト.
1.1 takayama 218: @item switch
1.3 takayama 219: オプション指定
1.1 takayama 220:
1.3 takayama 221: case 0 : ネーター作用素を [有理数係数多項式,...] なるリストで返す.
1.1 takayama 222:
1.3 takayama 223: case 1 : ネーター作用素を [整数係数化リスト,...] なるリストで返す.
1.1 takayama 224:
1.3 takayama 225: case 10 : ネーター作用素を [[整数係数多項式,...],整数] なるリストで返す.
1.1 takayama 226:
1.3 takayama 227: case 20 : ネーター作用素を [[整数係数化リスト,...],整数] なるリストで返す.
1.1 takayama 228:
229: default : case 0
230: @end table
231:
232: @itemize @bullet
1.3 takayama 233: @item taji_alc.snoether()は, @var{den}をQ上で既約分解し,
234: 各因子に対応するネーター作用素を返す.
235: @item @var{den}は, リストでの入力が望ましい.
236: (多項式で入力すると, 簡約化の処理が生じるため重くなる.)
237: ただしその場合には, 既約チェック, 有理式の約分, 整数係数化は行わないので注意する.
238: 入力値はユーザ側が責任をもつ.
239: @item 戻り値の型は@var{switch}で選択できる.
1.1 takayama 240:
1.3 takayama 241: case 10は, ネーター作用素の各係数全体を通分し, その分母部分と階乗の積をリストで分けた表現である.
242: わかりやすいが, 通分値と係数部分とで約分できる部分がある(特に高階の部分に多い)ので, 冗長性をもっている.
1.1 takayama 243:
1.3 takayama 244: case 20は, 階乗の部分で全体をくくり(リストで分け), ネーター作用素の各係数を個別に通分しリスト化する.
245: 階乗の部分と係数部分とで約分できる部分がある(特に低階の部分に多い)ので,
246: 冗長と言えなくもない(case 10よりはまし)が, 数学的な構造が綺麗に見える表現である.
1.1 takayama 247: @end itemize
248:
249: @example
250: [296] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]);
251: [[x^3-x-1,[9/529*x^2-27/1058*x+11/1058,-81/529*x^2-9/529*x+135/529,-49
252: 05/12167*x^2+4563/12167*x+3270/12167]]]
253: [299] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=1);
254: [[x^3-x-1,[[18*x^2-27*x+11,1058],[-81*x^2-9*x+135,529],[-4905*x^2+4563
255: *x+3270,12167]]]]
256: [297] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=10);
257: [[x^3-x-1,[[414*x^2-621*x+253,-3726*x^2-414*x+6210,-9810*x^2+9126*x+65
258: 40],24334]]]
259: [298] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=20);
260: [[x^3-x-1,[[[18*x^2-27*x+11,529],[-162*x^2-18*x+270,529],[-9810*x^2+91
261: 26*x+6540,12167]],2]]]
262:
263: [241] taji_alc.snoether(x^3+1,x^18-2*x^14+x^10-x^8+2*x^4-1|switch=10);
264: [[x^4+x^3+x^2+x+1,[[-2*x^2-x-2],50]],[x^4-x^3+x^2-x+1,[[-2*x^3+4*x^2-x
265: -2],50]],[x^2+1,[[-x+1,8*x+5],32]],[x+1,[[-6,-39],320]],[x-1,[[2,-24,6
266: 7],320]]]
267: @end example
268:
269: @table @t
1.3 takayama 270: @item 参照
1.1 takayama 271: @end table
272:
1.3 takayama 273: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
274: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 275: @noindent
276: ChangeLog
277: @itemize @bullet
278: @end itemize
279: @comment ****************************************************************
280:
281:
282: @page
283: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 284: @node taji_alc.laurent_expansion,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 285: @subsection @code{taji_alc.laurent_expansion}
286: @findex taji_alc.laurent_expansion
287:
288: @table @t
289: @item taji_alc.laurent_expansion(@var{num},@var{den})
1.3 takayama 290: :: 有理関数@var{num}/@var{den}の極におけるローラン展開の主要部の係数を求める.
1.1 takayama 291: @end table
292:
293: @table @var
294: @item return
1.3 takayama 295: [[因子,ローラン展開の係数],...] なるリスト.
1.1 takayama 296:
1.3 takayama 297: ローラン展開の係数は, 高位の係数から順に並べたリスト.
1.1 takayama 298:
299: @item num
1.3 takayama 300: (有理関数の分子の)多項式
1.1 takayama 301: @item den
1.3 takayama 302: (有理関数の分母の)多項式
1.1 takayama 303:
1.3 takayama 304: または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
1.1 takayama 305:
306: @item switch
1.3 takayama 307: オプション指定
1.1 takayama 308:
1.3 takayama 309: case 0 : ローラン展開の係数を [有理数係数多項式,...] なるリストで返す.
1.1 takayama 310:
1.3 takayama 311: case 1 : ローラン展開の係数を [整数係数化リスト,...] なるリストで返す.
1.1 takayama 312:
1.3 takayama 313: case 10 : ローラン展開の係数を [[整数係数多項式,...],整数] なるリストで返す.
1.1 takayama 314:
1.3 takayama 315: case 20 : ローラン展開の係数を [[整数係数化リスト,...],整数] なるリストで返す.
1.1 takayama 316:
317: default : case 0
318: @end table
319:
320: @itemize @bullet
1.3 takayama 321: @item taji_alc.laurent_expansion()は, taji_alc.snoether()を使って, ローラン展開の係数を求める.
322: @item taji_alc.laurent_expansion()では,
323: C上の1点に注目するのではなく, Q上での既約因子自体に注目してローラン展開の係数を求める.
324: 戻り値の係数リストの各成分は, その因子の全ての零点が共通に満たすローラン展開の係数多項式である.
325: 従って, 1点ごとのローラン展開の係数をさらに求めたい場合には,
326: 求めたローラン展開の係数多項式に因子の零点(即ち特異点)の値を代入する必要がある.
1.1 takayama 327: @end itemize
328:
329: @example
330: [354] taji_alc.laurent_expansion(x,(x-1)^3);
331: [[x-1,[1,1,0]]]
332: [356] taji_alc.laurent_expansion(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,(x^4+1)^3);
333: [[x^4+1,[1/64*x^2+1/64*x,1/16*x^3+1/16*x^2-3/128*x-5/128,-5/128*x^3-1/
334: 8*x^2-3/16*x]]]
335: @end example
336:
337: @table @t
1.3 takayama 338: @item 参照
1.1 takayama 339: @ref{taji_alc.snoether}
340: @end table
341:
1.3 takayama 342: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
343: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 344: @noindent
345: ChangeLog
346: @itemize @bullet
347: @end itemize
348: @comment ****************************************************************
349:
350:
351: @page
352: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 353: @node taji_alc.residue,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 354: @subsection @code{taji_alc.residue}
355: @findex taji_alc.residue
356:
357: @table @t
358: @item taji_alc.residue(@var{num},@var{den})
1.3 takayama 359: :: 有理関数@var{num}/@var{den}の極における留数を求める.
1.1 takayama 360: @end table
361:
362: @table @var
363: @item return
1.3 takayama 364: [[因子,留数],...] なるリスト
1.1 takayama 365:
366: @item num
1.3 takayama 367: (有理関数の分子の) 多項式
1.1 takayama 368: @item den
1.3 takayama 369: (有理関数の分母の) 多項式
1.1 takayama 370:
1.3 takayama 371: または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
1.1 takayama 372: @item switch
1.3 takayama 373: オプション指定
1.1 takayama 374:
1.3 takayama 375: case 0 : 留数を有理数係数多項式で返す.
1.1 takayama 376:
1.3 takayama 377: case 1 : 留数を整数係数化リストで返す.
1.1 takayama 378:
379: default : case 0
380:
381: @item pole
1.3 takayama 382: オプション指定
1.1 takayama 383:
1.3 takayama 384: [因子,...] なるオプションリスト
1.1 takayama 385: @end table
386:
387: @itemize @bullet
1.3 takayama 388: @item taji_alc.residue()は, @var{den}をQ上で既約分解し, 各因子の零点(即ち有理関数の極)における留数を返す.
389: @item オプションで@var{pole}を指定すればその因子のみの留数を返す. 指定が不適当だと0を返す.
390: @item taji_alc.residue()で採用しているアルゴリズムでは,
391: C上の1点に注目するのではなく, Q上での既約因子自体に注目して留数を求める.
392: 戻り値の留数は, その因子の全ての零点が共通に満たす留数多項式である.
393: 従って, 1点ごとの留数値をさらに求めたい場合には,
394: 求めた留数多項式に因子の零点(即ち特異点)の値を代入する必要がある.
1.1 takayama 395:
396: @example
397: [219] taji_alc.residue(1,x^4+1);
398: [[x^4+1,-1/4*x]]
399: @end example
400:
1.3 takayama 401: この例で言うと, 求めた留数多項式-1/4*xに, x^4+1の(4つある)零点をそれぞれ代入したものが個別の留数値である.
402: @item @var{den}は, リストでの入力が望ましい.
403: (多項式で入力すると, 簡約化の処理が生じるため重くなる.)
404: ただしその場合には, 既約チェック, 有理式の約分, 整数係数化は行わないので注意する.
405: 入力値はユーザ側が責任をもつ.
1.1 takayama 406: @end itemize
407:
408: @example
409: [221] taji_alc.residue(x^8,[[x^3-x-1,3]]);
410: [[x^3-x-1,-2243/12167*x^2+2801/12167*x+5551/12167]]
411: [222] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]);
412: [[x^2+3*x-1,-284/4563*x-311/1521],[x-1,89/432],[x+1,7/432]]
413: [223] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]|switch=1)
414: ;
415: [[x^2+3*x-1,[-284*x-933,4563]],[x-1,[89,432]],[x+1,[7,432]]]
416: [234] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]|switch=1,
417: pole=[x+1]);
418: [[x+1,[7,432]]]
419: [225] taji_alc.residue(x^3+1,x^18-2*x^14+x^10-x^8+2*x^4-1);
420: [[x^4+x^3+x^2+x+1,-1/25*x^2-1/50*x-1/25],[x^4-x^3+x^2-x+1,-1/25*x^3+2/
421: 25*x^2-1/50*x-1/25],[x^2+1,1/4*x+5/32],[x+1,-39/320],[x-1,67/320]]
422: @end example
423:
424: @table @t
1.3 takayama 425: @item 参照
1.1 takayama 426: @end table
427:
1.3 takayama 428: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
429: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 430: @noindent
431: ChangeLog
432: @itemize @bullet
433: @end itemize
434: @comment ****************************************************************
435:
436:
437: @page
438: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 439: @node taji_alc.invpow,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 440: @subsection @code{taji_alc.invpow}
441: @findex taji_alc.invpow
442:
443: @table @t
444: @item taji_alc.invpow(@var{poly},@var{f},@var{m})
1.3 takayama 445: :: 剰余体Q[x]/<@var{f}>上での@var{poly}の逆元の@var{m}乗を求める.
1.1 takayama 446: @end table
447:
448: @table @var
449: @item return
1.3 takayama 450: 逆冪
1.1 takayama 451:
452: @item poly
1.3 takayama 453: 多項式
1.1 takayama 454: @item f
1.3 takayama 455: Q上で既約な多項式
1.1 takayama 456: @item m
1.3 takayama 457: 自然数
1.1 takayama 458: @item switch
1.3 takayama 459: オプション指定
1.1 takayama 460:
1.3 takayama 461: case 0 : 逆冪を有理数係数多項式で返す.
1.1 takayama 462:
1.3 takayama 463: case 1 : 逆冪を整数係数化リストで返す.
1.1 takayama 464:
465: default : case 0
466: @end table
467:
468: @itemize @bullet
1.3 takayama 469: @item @var{poly}と@var{f}は互いに素でなければならない.
470: @item アルゴリズムの骨格は繰り返し2乗法である. そこに最小多項式の理論を応用して高速化している.
1.1 takayama 471: @end itemize
472:
473: @example
474: [236] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,1);
475: -6/23*x^2+9/23*x+4/23
476: [237] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,1|switch=1);
477: [-6*x^2+9*x+4,23]
478: [238] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,30|switch=1);
479: [1857324483*x^2-2100154824*x-477264412,266635235464391245607]
480: @end example
481:
482: @table @t
1.3 takayama 483: @item 参照
1.1 takayama 484: @end table
485:
1.3 takayama 486: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
487: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 488: @noindent
489: ChangeLog
490: @itemize @bullet
491: @end itemize
492: @comment ****************************************************************
493:
494:
495: @page
496: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 497: @node taji_alc.rem_formula,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 498: @subsection @code{taji_alc.rem_formula}
499: @findex taji_alc.rem_formula
500:
501: @table @t
502: @item taji_alc.rem_formula(@var{polylist})
1.3 takayama 503: :: 多項式f(x)を与えたときの剰余公式を求める.
1.1 takayama 504: @end table
505:
506: @table @var
507: @item return
1.3 takayama 508: @var{switch} および 説明文を参照
1.1 takayama 509:
510: @item polylist
1.3 takayama 511: f(x)をQ上で既約分解した [[因子,重複度,零点の記号],...] なるリスト
1.1 takayama 512:
513: @item switch
1.3 takayama 514: オプション指定
1.1 takayama 515:
1.3 takayama 516: case 0 : xの冪で整理し, リストで返す.
1.1 takayama 517:
1.3 takayama 518: case 10 : f(x)の冪で整理し, リストで返す. (一因子の場合のみ対応)
1.1 takayama 519:
1.3 takayama 520: case 20 : xの冪で整理し, symbolicな表現で返す.
1.1 takayama 521:
522: default : case 0
523: @end table
524:
525: @itemize @bullet
1.3 takayama 526: @item アルゴリズムは, エルミートの補間剰余を用いている.
527: @item 剰余公式の表現方法はいくつか考えられるため, @var{switch}で選択式とした.
528: @item @var{switch}=0 の戻り値の見方を述べる. 例として, f(x)=f1(x)^m1*f2(x)^m2を考える.
529: 入力は [[f1(x),m1,z1],[f2(x),m2,z2]] となる. そのとき戻り値は,
1.1 takayama 530:
531: [r_{f1}(x,z1),r_{f2}(x,z2)]
532:
1.3 takayama 533: なるリストで返される. これは, 剰余公式が
1.1 takayama 534:
535: @tex
536: $r(x)=r_{f1}(x,z1)+r_{f2}(x,z2)$
537: @end tex
538:
1.3 takayama 539: なる形で与えられることを意味している.
540: 各成分のr_{fi}(x,zi)は,
1.1 takayama 541:
1.3 takayama 542: [p^(mi-1)(zi)の係数となるxとziの多項式,...,p^(0)(zi)の係数となるxとziの多項式]
1.1 takayama 543:
1.3 takayama 544: なるリストである.
545: @item @var{switch}=10 の戻り値の見方を述べる. 例として, f(x)=f1(x)^mを考える.
546: 入力は [[f1(x),m,z]] となる. そのとき戻り値は,
1.1 takayama 547:
548: [r_(m-1)(x,z),...,r_0(x,z)]
549:
1.3 takayama 550: なるリストで返される. 各成分は, 剰余公式を
1.1 takayama 551:
552: @tex
553: $r(x)=r_{m-1}(x,z)f_1(x)^{m-1}+\cdots+r_0(x,z)$
554: @end tex
555:
1.3 takayama 556: のようにf1(x)の冪で展開したときの各係数を意味している.
557: 各成分のr_{i}(x,z)は,
1.1 takayama 558:
1.3 takayama 559: [p^(m-1)(z)の係数となるxとzの多項式,...,p^(0)(z)の係数となるxとzの多項式]
1.1 takayama 560:
1.3 takayama 561: なるリストである.
562: @item @var{switch}=20 の戻り値の見方を述べる.
563: symbolicな出力のp^(m)(z)は, p(x)のm階の導関数にzを代入した値という意味である.
564: @item 戻り値は, 与えた因子の全ての零点を代入したものの和として見る.
565: これは因子が2次以上の多項式の場合に関係してくる. 例えば,
1.1 takayama 566:
567: @example
568: [228] taji_alc.rem_formula([[x^2+1,1,z]]);
569: [[-1/2*z*x+1/2]]
570: @end example
571:
1.3 takayama 572: の正しい見方は, x^2+1の零点をa1,a2とおいたときに, zにa1とa2を代入した,
1.1 takayama 573:
574: r(x)=(-1/2*a1*x+1/2)+(-1/2*a2*x+1/2)
1.3 takayama 575: である. しかし出力では, 零点の和の部分を便宜上省略して返す.
1.1 takayama 576: @end itemize
577:
578: @example
579: [583] taji_alc.rem_formula([[x-1,1,z1],[x-2,1,z2]]);
580: [[-x+2],[x-1]]
581: [584] taji_alc.rem_formula([[x-1,1,z1],[x-2,1,z2]]|switch=20);
582: (-p^(0)(z1)+p^(0)(z2))*x+2*p^(0)(z1)-p^(0)(z2)
583:
584: [587] taji_alc.rem_formula([[x-1,2,z1]]);
585: [[x-1,1]]
586: [588] taji_alc.rem_formula([[x-1,2,z1]]|switch=20);
587: p^(1)(z1)*x-p^(1)(z1)+p^(0)(z1)
588:
589: [494] taji_alc.rem_formula([[x-1,3,z1]]|switch=20);
590: 1/2*p^(2)(z1)*x^2+(-p^(2)(z1)+p^(1)(z1))*x+1/2*p^(2)(z1)-p^(1)(z1)+p^(
591: 0)(z1)
592:
593: [229] taji_alc.rem_formula([[x+1,2,z1],[x^3-x-1,1,z2]]);
594: [[-x^4-x^3+x^2+2*x+1,-2*x^4-3*x^3+2*x^2+5*x+3],[(-1/23*z2^2-10/23*z2+1
595: 6/23)*x^4+(-12/23*z2^2-5/23*z2+31/23)*x^3+(-5/23*z2^2+19/23*z2-12/23)*
596: x^2+(22/23*z2^2+13/23*z2-53/23)*x+16/23*z2^2-1/23*z2-26/23]]
597: [230] taji_alc.rem_formula([[x+1,2,z1],[x^3-x-1,1,z2]]|switch=20);
598: (-1/23*p^(0)(z2)*z2^2-10/23*p^(0)(z2)*z2-2*p^(0)(z1)+16/23*p^(0)(z2)-p
599: ^(1)(z1))*x^4+(-12/23*p^(0)(z2)*z2^2-5/23*p^(0)(z2)*z2-3*p^(0)(z1)+31/
600: 23*p^(0)(z2)-p^(1)(z1))*x^3+(-5/23*p^(0)(z2)*z2^2+19/23*p^(0)(z2)*z2+2
601: *p^(0)(z1)-12/23*p^(0)(z2)+p^(1)(z1))*x^2+(22/23*p^(0)(z2)*z2^2+13/23*
602: p^(0)(z2)*z2+5*p^(0)(z1)-53/23*p^(0)(z2)+2*p^(1)(z1))*x+16/23*p^(0)(z2
603: )*z2^2-1/23*p^(0)(z2)*z2+3*p^(0)(z1)-26/23*p^(0)(z2)+p^(1)(z1)
604:
605: [231] taji_alc.rem_formula([[x^3-x-1,2,z]]|switch=10);
606: [[[(3/23*z^2-4/23)*x^2+(-1/23*z+3/23)*x-4/23*z^2+3/23*z+4/23,(162/529*
607: z^2-174/529*z-108/529)*x^2+(-105/529*z^2+54/529*z+70/529)*x-108/529*z^
608: 2+116/529*z+72/529],[(-6/23*z^2+9/23*z+4/23)*x^2+(9/23*z^2-2/23*z-6/23
609: )*x+4/23*z^2-6/23*z+5/23]]]
610: @end example
611:
612: @table @t
1.3 takayama 613: @item 参照
1.1 takayama 614: @end table
615:
1.3 takayama 616: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
617: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 618: @noindent
619: ChangeLog
620: @itemize @bullet
621: @end itemize
622: @comment ****************************************************************
623:
624:
625: @page
626: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 627: @node taji_alc.solve_ode_cp,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 628: @subsection @code{taji_alc.solve_ode_cp}
629: @findex taji_alc.solve_ode_cp
630:
631: @table @t
632: @item taji_alc.solve_ode_cp(@var{poly},@var{var},@var{exppoly})
1.3 takayama 633: :: 有理数係数の線形常微分方程式のコーシー問題
1.1 takayama 634:
635: @tex
636: $Pu(z)=f(z)$, $u^{(0)}(0)=c_0,\ldots,u^{(n-1)}(0)=c_{n-1}$
637: @end tex
638:
1.3 takayama 639: の解を求める.
1.1 takayama 640:
1.3 takayama 641: ただし, Pはn階の有理数係数の線形常微分作用素, f(z)は指数多項式とする.
1.1 takayama 642: @end table
643:
644: @table @var
645: @item return
1.3 takayama 646: 2通りの表現がある.
1.1 takayama 647:
1.3 takayama 648: ・表現1 (コーシーデータで整理した形)
1.1 takayama 649:
1.3 takayama 650: コーシー問題の一般解u(z)は,
1.1 takayama 651:
652: @tex$u(z)=c_0u_0(z)+\cdots+c_{n-1}u_{n-1}(z)+v(z)$@end tex
653:
1.3 takayama 654: なる線形結合の形で与えられる.
1.1 takayama 655: @tex$u_0(z),\ldots,u_{n-1}(z)$@end tex
1.3 takayama 656: をコーシー問題の基本解,
1.1 takayama 657: @tex$v(z)$@end tex
1.3 takayama 658: をコーシー問題の特殊解といい,
1.1 takayama 659:
660: [u_0(z),...,u_(n-1)(z),v(z)]
661:
1.3 takayama 662: なるリストで返す.
663: 基本解と特殊解は, 指数多項式リストである.
1.1 takayama 664:
1.3 takayama 665: ・表現2 (指数関数で整理した形)
1.1 takayama 666:
1.3 takayama 667: @var{data}にコーシーデータを与えると,
668: コーシー問題の一般解u(z)の
1.1 takayama 669: @tex$c_0,\ldots,c_{n-1}$@end tex
1.3 takayama 670: のところにデータを代入し,
671: それを指数関数で整理し直した指数多項式リストを返す.
1.1 takayama 672:
673: @item poly
1.3 takayama 674: 多項式 (Pの特性多項式)
1.1 takayama 675:
1.3 takayama 676: または (Pの特性多項式をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
1.1 takayama 677:
678: @item var
1.3 takayama 679: 不定元 (関数の独立変数)
1.1 takayama 680:
681: @item exppoly
1.3 takayama 682: 斉次形のとき0, 非斉次形のときf(z)の指数多項式リスト.
1.1 takayama 683:
684: @item switch
1.3 takayama 685: オプション指定
1.1 takayama 686:
1.3 takayama 687: case 0 : 指数多項式リストの2番目の成分を有理数係数多項式で返す.
1.1 takayama 688:
1.3 takayama 689: case 1 : 指数多項式リストの2番目の成分を整数係数化リストで返す.
1.1 takayama 690:
691: default : case 0
692: @item data
1.3 takayama 693: オプション指定
1.1 takayama 694:
1.3 takayama 695: コーシーデータを [c_0,...,c_(n-1)] の順に並べたリスト.
1.1 takayama 696: @end table
697:
698: @itemize @bullet
1.3 takayama 699: @item 解法はエルミートの方法(留数計算に帰着させる方法)を採用している.
700: @item 変数は2種類必要(特性多項式の変数と関数の独立変数).
701: @var{poly}の不定元と@var{var}の不定元が衝突しないよう注意.
702: @item 戻り値の特殊解
1.1 takayama 703: @tex
704: $v(z)$
705: @end tex
1.3 takayama 706: は, コーシー条件
1.1 takayama 707: @tex
708: $v(0)=0,\ldots,v^{(n-1)}(0)=0$
709: @end tex
1.3 takayama 710: を満たすコーシー問題の特殊解である.
1.1 takayama 711: @end itemize
712:
713: @example
714: [287] taji_alc.solve_ode_cp(x*(x-3)^2,z,0);
715: [[[x-3,0],[x,1]],[[x-3,-z+2/3],[x,-2/3]],[[x-3,1/3*z-1/9],[x,1/9]]]
716:
717: [289] taji_alc.solve_ode_cp((x^3-x-1)^2,z,0|switch=1);
718: [[[x^3-x-1,[(92*z+200)*x^2+(-69*z-254)*x-92*z+43,529]]],[[x^3-x-1,[(92
719: *z+420)*x^2+(-46*z-216)*x-161*z-280,529]]],[[x^3-x-1,[(-69*z-195)*x^2+
720: (23*z+327)*x+23*z+130,529]]],[[x^3-x-1,[(-161*z-270)*x^2+(69*z+290)*x+
721: 184*z+180,529]]],[[x^3-x-1,[-105*x^2+(-23*z+54)*x+69*z+70,529]]],[[x^3
722: -x-1,[(69*z+162)*x^2-174*x-92*z-108,529]]]]
723:
724: [277] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0);
725: [[[x+2,1/2],[x-2,1/2]],[[x+2,-1/4],[x-2,1/4]]]
726: [278] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0|data=[1,-1]);
727: [[x+2,3/4],[x-2,1/4]]
728: [279] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0|data=[c0,c1]);
729: [[x+2,1/2*c0-1/4*c1],[x-2,1/2*c0+1/4*c1]]
730: @end example
731:
732: @table @t
1.3 takayama 733: @item 参照
1.1 takayama 734: @end table
735:
1.3 takayama 736: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
737: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 738: @noindent
739: ChangeLog
740: @itemize @bullet
741: @end itemize
742: @comment ****************************************************************
743:
744:
745: @page
746: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 747: @node taji_alc.solve_ode_cp_ps,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 748: @subsection @code{taji_alc.solve_ode_cp_ps}
749: @findex taji_alc.solve_ode_cp_ps
750:
751: @table @t
752: @item taji_alc.solve_ode_cp_ps(@var{poly},@var{var},@var{exppoly})
1.3 takayama 753: :: 有理数係数の線形常微分方程式のコーシー問題
1.1 takayama 754:
755: @tex
756: $Pu(z)=f(z)$, $u^{(0)}(0)=c_0,\ldots,u^{(n-1)}(0)=c_{n-1}$
757: @end tex
758:
1.3 takayama 759: の特殊解を求める.
1.1 takayama 760:
1.3 takayama 761: ただし, 非斉次形のみを対象としているので,
1.1 takayama 762: @tex
763: $f(z)\neq0$
764: @end tex
1.3 takayama 765: とする.
1.1 takayama 766:
767: @end table
768:
769: @table @var
770: @item return
1.3 takayama 771: 指数多項式リスト
1.1 takayama 772:
773: @item poly
1.3 takayama 774: 多項式 (Pの特性多項式)
1.1 takayama 775:
1.3 takayama 776: または (Pの特性多項式をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
1.1 takayama 777:
778: @item var
1.3 takayama 779: 不定元 (関数の独立変数)
1.1 takayama 780:
781: @item exppoly
1.3 takayama 782: f(z)の指数多項式リスト
1.1 takayama 783:
784: @item switch
1.3 takayama 785: オプション指定
1.1 takayama 786:
1.3 takayama 787: case 0 : 指数多項式リストの2番目の成分を有理数係数多項式で返す.
1.1 takayama 788:
1.3 takayama 789: case 1 : 指数多項式リストの2番目の成分を整数係数化リストで返す.
1.1 takayama 790:
791: default : case 0
792:
793: @item switch2
1.3 takayama 794: オプション指定
1.1 takayama 795:
1.3 takayama 796: case 0 : コーシー問題の特殊解を返す.
1.1 takayama 797:
1.3 takayama 798: case 1 : 簡単な形の特殊解を返す.
1.1 takayama 799:
800: default : case 0
801: @end table
802:
803: @itemize @bullet
1.3 takayama 804: @item 変数は2種類必要(特性多項式の変数と関数の独立変数).
805: @var{poly}の不定元と@var{var}の不定元が衝突しないよう注意.
1.1 takayama 806: @end itemize
807:
808: @example
809: [345] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-1,1]]);
810: [[x+3,1/20],[x-1,-1/4],[x-2,1/5]]
811: [346] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-1,1]]|switch2=1);
812: [[x-1,-1/4]]
813: [347] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-2,1]]);
814: [[x+3,1/25],[x-2,1/5*z-1/25]]
815: [348] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-2,1]]|switch2=1);
816: [[x-2,1/5*z-1/25]]
817: [349] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x+1,1],[x-2,1]]|switch2
818: =1);
819: [[x+1,-1/6],[x-2,1/5*z+2/75]]
820:
821: [350] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x^3-x-1)*(x-3)^2,z,[[x-3,2],[x-1,3*z^2
822: +1]]);
823: [[x-1,[-6*z^2-36*z-119,8]],[x^3-x-1,[42291*x^2+55504*x+32313,12167]],[
824: x-3,[4232*z^2-4278*z-4295,97336]]]
825: @end example
826:
827: @table @t
1.3 takayama 828: @item 参照
1.1 takayama 829: @end table
830:
1.3 takayama 831: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
832: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 833: @noindent
834: ChangeLog
835: @itemize @bullet
836: @end itemize
837: @comment ****************************************************************
838:
839:
840: @page
841: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 842: @node taji_alc.fbt,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 843: @subsection @code{taji_alc.fbt}
844: @findex taji_alc.fbt
845:
846: @table @t
847: @item taji_alc.fbt(@var{num},@var{den},@var{var})
1.3 takayama 848: :: 有理関数@var{num}/@var{den}が定める代数的局所コホモロジー類のフーリエ・ボレル変換を行う.
1.1 takayama 849: @end table
850:
851: @table @var
852: @item return
1.3 takayama 853: [指数多項式リスト,...] なるリスト
1.1 takayama 854:
855: @item num
1.3 takayama 856: (有理関数の分子の) 多項式
1.1 takayama 857: @item den
1.3 takayama 858: (有理関数の分母の) 多項式
1.1 takayama 859:
1.3 takayama 860: または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
1.1 takayama 861: @item var
1.3 takayama 862: 不定元 (像の独立変数)
1.1 takayama 863: @item switch
1.3 takayama 864: オプション指定
1.1 takayama 865:
1.3 takayama 866: case 0 : 指数多項式リストの2番目の成分を有理数係数多項式で返す.
1.1 takayama 867:
1.3 takayama 868: case 1 : 指数多項式リストの2番目の成分を整数係数化リストで返す.
1.1 takayama 869:
870: default : case 0
871: @end table
872:
873: @itemize @bullet
1.3 takayama 874: @item 変数は2種類必要(代数的局所コホモロジー類の変数と像の独立変数).
875: @var{num/den}の不定元と@var{var}の不定元が衝突しないよう注意.
876: @item taji_alc.fbt()は, Res(Rat*exp(z*x))なる形の有理形関数の留数を求める.
877: この有理形関数の留数は指数多項式となるため, 指数多項式リストで返す.
878: @item 内部のアルゴリズムはtaji_alc.residue()とほぼ同じであり, 実際にtaji_alc.residue()を呼び出して計算を行っている.
1.1 takayama 879: @end itemize
880:
881: @example
882: [235] taji_alc.fbt(1,(x^3-x-1)^3,z);
883: [[x^3-x-1,(9/529*z^2-81/529*z-4905/12167)*x^2+(-27/1058*z^2-9/529*z+45
884: 63/12167)*x+11/1058*z^2+135/529*z+3270/12167]]
885: @end example
886:
887: @table @t
1.3 takayama 888: @item 参照
1.1 takayama 889: @ref{taji_alc.residue, taji_alc.invfbt}
890: @end table
891:
1.3 takayama 892: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
893: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 894: @noindent
895: ChangeLog
896: @itemize @bullet
897: @end itemize
898: @comment ****************************************************************
899:
900:
901: @page
902: @comment ****************************************************************
1.3 takayama 903: @node taji_alc.inv,,, 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数
1.1 takayama 904: @subsection @code{taji_alc.invfbt}
905: @findex taji_alc.invfbt
906:
907: @table @t
908: @item taji_alc.invfbt(@var{exppoly},@var{var})
1.3 takayama 909: :: 指数多項式の逆フーリエ・ボレル変換を行う.
1.1 takayama 910: @end table
911:
912: @table @var
913: @item return
1.3 takayama 914: 有理関数
1.1 takayama 915:
916: @item exppoly
1.3 takayama 917: 指数多項式リスト
1.1 takayama 918: @item var
1.3 takayama 919: 不定元 (指数多項式の独立変数)
1.1 takayama 920:
921: @item switch
1.3 takayama 922: オプション指定
1.1 takayama 923:
1.3 takayama 924: case 0 : 有理関数で返す.
1.1 takayama 925:
1.3 takayama 926: case 1 : 有理関数を[分子,分母をQ上で既約分解したリスト]なるリストで返す.
1.1 takayama 927:
928: default : case 0
929: @end table
930:
931: @itemize @bullet
1.3 takayama 932: @item 変数は2種類必要(代数的数の最小多項式の変数と指数多項式の独立変数).
933: 衝突しないよう注意.
934: @item taji_alc.invfbt()は, exppolyを, Res(Rat*exp(z*x))なる形の留数表示に変換し, Rat部分を返す.
935: @item taji_alc.fbt()の逆演算である.
1.1 takayama 936: @end itemize
937:
938: @example
939: [8] taji_alc.invfbt([[x^3-x-1,2*x^2*z^2+x*z+1],[x^2+1,z*x+z^2]],z|swit
940: ch=1);
941: [3*x^14+14*x^12+39*x^11+33*x^10+179*x^9+206*x^8+350*x^7+223*x^6+126*x^
942: 5+176*x^4+107*x^3+101*x^2+15*x-4,[[x^2+1,3],[x^3-x-1,3]]]
943:
944: [9] taji_alc.fbt(3*x^14+14*x^12+39*x^11+33*x^10+179*x^9+206*x^8+350*x^
945: 7+223*x^6+126*x^5+176*x^4+107*x^3+101*x^2+15*x-4,[[x^2+1,3],[x^3-x-1,3
946: ]],z);
947: [[x^3-x-1,2*z^2*x^2+z*x+1],[x^2+1,z*x+z^2]]
948: @end example
949:
950: @table @t
1.3 takayama 951: @item 参照
1.1 takayama 952: @ref{taji_alc.fbt}
953: @end table
954:
1.3 takayama 955: @comment --- ChangeLog を書く. 動機. ソースコードの位置. 変更日時 など CVSサーバを見るため
956: @comment --- openxm の外部からの寄与も述べる. Credit.
1.1 takayama 957: @noindent
958: ChangeLog
959: @itemize @bullet
960: @end itemize
961: @comment ****************************************************************
962:
963:
964:
965:
966:
967:
1.3 takayama 968: @comment --- おまじない ---
1.1 takayama 969: @node Index,,, Top
970: @unnumbered Index
971: @printindex fn
972: @printindex cp
973: @iftex
974: @vfill @eject
975: @end iftex
976: @summarycontents
977: @contents
978: @bye
1.3 takayama 979: @comment --- おまじない終り ---
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