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Annotation of OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/todo_parametrize/todo_parametrize-ja.texi, Revision 1.3

1.3     ! takayama    1: @comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/todo_parametrize/todo_parametrize-ja.texi,v 1.2 2017/03/30 06:16:37 takayama Exp $
1.1       takayama    2: @comment    Copyright (c)  2005, Shuhei Todo,
                      3: @comment    Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
                      4: @comment    under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1
                      5: @comment    or any later version published by the Free Software Foundation;
                      6: @comment    with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the
                      7: @comment    Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.
                      8: @comment    A copy of the license is included in the section entitled "GNU
                      9: @comment    Free Documentation License".
                     10: @comment
                     11: \input texinfo
                     12: @comment \input texinfo
                     13: @iftex
                     14: @catcode`@#=6
                     15: @def@fref#1{@xrefX[#1,,@code{#1},,,]}
1.3     ! takayama   16: @def@b#1{{@bf #1}}
1.1       takayama   17: @catcode`@#=@other
                     18: @end iftex
                     19: @overfullrule=0pt
                     20: @c -*-texinfo-*-
                     21: @comment %**start of header
1.2       takayama   22: @comment --- おまじない終り ---
1.1       takayama   23:
1.2       takayama   24: @comment --- GNU info ファイルの名前 ---
1.1       takayama   25: @setfilename asir-contrib-todo_parametrize_ja
                     26:
1.2       takayama   27: @comment --- タイトル ---
                     28: @settitle Risa/Asir 代数曲線論用パッケージ
1.1       takayama   29:
                     30: @comment %**end of header
                     31: @comment %@setchapternewpage odd
                     32:
1.2       takayama   33: @comment --- おまじない ---
1.1       takayama   34: @ifinfo
                     35: @macro fref{name}
                     36: @ref{\name\,,@code{\name\}}
                     37: @end macro
                     38: @end ifinfo
                     39:
                     40: @iftex
                     41: @comment @finalout
                     42: @end iftex
                     43:
                     44: @titlepage
1.2       takayama   45: @comment --- おまじない終り ---
1.1       takayama   46:
1.2       takayama   47: @comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 ---
                     48: @title Risa/Asir 代数曲線論用パッケージ説明書
                     49: @subtitle 利用説明書
                     50: @subtitle 1.0 版
                     51: @subtitle 2004 年 8 月
1.1       takayama   52:
                     53: @author  by Shuhei Todo
                     54: @page
                     55: @vskip 0pt plus 1filll
                     56: Copyright @copyright{} Risa/Asir committers
                     57: 2001. All rights reserved.
                     58: @end titlepage
                     59:
1.2       takayama   60: @comment --- おまじない ---
1.1       takayama   61: @synindex vr fn
1.2       takayama   62: @comment --- おまじない終り ---
1.1       takayama   63:
1.2       takayama   64: @comment --- @node は GNU info, HTML 用 ---
                     65: @comment --- @node  の引数は node-name,  next,  previous,  up ---
1.1       takayama   66: @node Top,, (dir), (dir)
                     67:
                     68: @menu
1.2       takayama   69: * 関数簡易マニュアル::
1.1       takayama   70: * Index::
                     71: @end menu
                     72:
1.2       takayama   73: @node 関数簡易マニュアル,,, Top
                     74: @chapter 関数簡易マニュアル
1.1       takayama   75:
                     76: @menu
1.2       takayama   77: * 概要::
1.1       takayama   78: * Notation::
1.2       takayama   79: * 主な関数::
                     80: * その他の関数::
1.1       takayama   81: @end menu
                     82:
1.2       takayama   83: @node 概要,,, 関数簡易マニュアル
                     84: @section 概要
1.1       takayama   85:
1.2       takayama   86: @comment --- 書体指定について ---
                     87: @comment --- @code{} はタイプライタ体表示 ---
                     88: @comment --- @var{} は斜字体表示 ---
                     89: @comment --- @b{} はボールド表示 ---
                     90: @comment --- @samp{} はファイル名などの表示 ---
                     91:
                     92: このパッケージには、代数曲線の諸性質を調べるための関数が
                     93: 集められている。主な機能は、代数曲線に対して定義される以下
                     94: の対象を計算できることである:
                     95: @itemize @bullet
                     96: @item 2曲線の交点の座標
                     97: @item 特異点の座標
                     98: @item neighborhood graph(二次変換によって特異点がどのように
                     99: 分解されるかを表すtree)
                    100: @item 既約曲線の種数
                    101: @item 随伴曲線(adjoint curves)
                    102: @item 二次曲線上の有理点
                    103: @item 有理曲線(種数0の曲線)をパラメトライズする有理関数
                    104: @end itemize
                    105: その他、多項式の全次数を計算するといったような予備的な関数群
                    106: が用意されている。ユーザーの入力する代数曲線の定義多項式は必ず
                    107: 有理数体上の変数@var{x,y,z} の@b{斉次}多項式でなければならない。
1.1       takayama  108:
1.2       takayama  109: @node Notation,,,関数簡易マニュアル
1.1       takayama  110: @section Notation
                    111:
1.2       takayama  112: 本書で用いられる記号について、次のような約束をしておく。
1.1       takayama  113: @itemize @bullet
1.2       takayama  114: @item 点@code{[x,y,z]} とは射影平面の点の斉次座標
                    115: @var{(x:y:z)}を意味し、特に断りがなければ、@var{z=0}でない
                    116: ときは必ず@var{z=1}となるように正規化されている。
                    117: @item Q は有理数体、
1.1       takayama  118: @tex $\overline{Q}$ @end tex
1.2       takayama  119: は代数的数全体のなす体を意味する。
1.1       takayama  120: @end itemize
                    121:
1.2       takayama  122: @node 主な関数,,, 関数簡易マニュアル
                    123: @section 主な関数
1.1       takayama  124:
                    125: @menu
                    126: * intersect::
                    127: * sing::
                    128: * nbh::
                    129: * genus::
                    130: * adjoint1,adjoint2::
                    131: * intpt::
                    132: * parametrize::
                    133: @end menu
                    134:
1.2       takayama  135: @node intersect,,, 主な関数
1.1       takayama  136: @subsection @code{intersect}
1.2       takayama  137: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  138: @findex intersect
                    139:
1.2       takayama  140: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  141: @table @t
                    142: @item intersect(@var{F},@var{G})
1.2       takayama  143: :: 2曲線@var{F=0},@var{G=0} の交点の座標からなるリストを返す.
1.1       takayama  144: @end table
                    145:
1.2       takayama  146: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  147: @table @var
                    148: @item return
1.2       takayama  149: リスト
1.1       takayama  150: @item F G
1.2       takayama  151: 変数x,y,z の斉次多項式
1.1       takayama  152: @end table
                    153:
1.2       takayama  154: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  155: @itemize @bullet
1.2       takayama  156: @item 2曲線@var{F=0},@var{G=0} の交点@code{[x,y,z]}からなる
                    157: リストを返す。
                    158: @item @var{F},@var{G}は共通因子を持っていてはいけない。
1.1       takayama  159: @end itemize
                    160:
1.2       takayama  161: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  162: @example
                    163: [1] intersect(y^2-x*z,(x^2+y^2)^3-4*x^2*y^2*z^2);
                    164: [[0,0,1],[(#4),(#5),1]]
                    165: [2] defpoly(alg(4));
                    166: t#4^3+3*t#4^2+3*t#4-3
                    167: [3] defpoly(alg(5));
                    168: t#5^2-t#4
                    169: [4] intersect(x^2-y^2,x^3+y*x^2+(y^2-z^2)*x+y^3-z^2*y);
                    170: ***two curve have common components***
                    171: @end example
                    172:
                    173:
1.2       takayama  174: @node sing,,, 主な関数
1.1       takayama  175: @subsection @code{sing}
1.2       takayama  176: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  177: @findex sing
                    178:
1.2       takayama  179: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  180: @table @t
                    181: @item sing(@var{F})
1.2       takayama  182: :: 曲線@var{F=0} の特異点の座標からなるリストを返す.
1.1       takayama  183: @end table
                    184:
1.2       takayama  185: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  186: @table @var
                    187: @item return
1.2       takayama  188: リスト
1.1       takayama  189: @item F
1.2       takayama  190: 変数x,y,z の斉次多項式
1.1       takayama  191: @end table
                    192:
1.2       takayama  193: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  194: @itemize @bullet
1.2       takayama  195: @item 曲線@var{F=0} の特異点@code{[x,y,z]}(
1.1       takayama  196: @tex
                    197: $F_x(x,y,z)=F_y(x,y,z)=F_z(x,y,z)=0$
                    198: @end tex
1.2       takayama  199: を満たす点)からなるリスト
                    200: を返す。
                    201: @item @var{F}は重複因子を持っていてはいけない(定義より
                    202: 重複因子の零点はすべて特異点である)。
1.1       takayama  203: @end itemize
                    204:
1.2       takayama  205: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  206: @example
                    207: [1] sing(16*x^6-24*z^2*x^4+9*z^4*x^2+4*z^2*y^4-4*z^4*y^2);
                    208: [[0,0,1],[(#4),0,1],[1/2,(#3),1],[-1/2,(#3),1],[0,1,0]]
                    209: [2] defpoly(alg(3));
                    210: 2*t#3^2-1
                    211: [3] defpoly(alg(4));
                    212: 4*t#4^2-3
                    213: [4] sing((x-y)*(y^2-x*z));
                    214: [[1,1,1],[0,0,1]]
                    215: [5] sing((x-y)^2*(y^2-x*z));
                    216: ***Argument has multiple divisor***
                    217: @end example
                    218:
1.2       takayama  219: @comment --- 参照(リンク)を書く ---
1.1       takayama  220: @table @t
1.2       takayama  221: @item 参照
1.1       takayama  222: @ref{nbh}
                    223: @ref{multia}
                    224: @end table
                    225:
                    226:
1.2       takayama  227: @node nbh,,, 主な関数
1.1       takayama  228: @subsection @code{nbh}
                    229: @findex nbh
                    230:
1.2       takayama  231: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  232:
                    233: @table @t
                    234: @item nbh(@var{F})
1.2       takayama  235: :: 曲線@var{F}=0 のneighborhood graph を返す。
1.1       takayama  236: @end table
                    237:
                    238: @table @var
                    239: @item return
1.2       takayama  240: リスト
1.1       takayama  241: @item F
1.2       takayama  242: 変数x,y,z の斉次多項式
1.1       takayama  243: @end table
                    244:
                    245: @itemize @bullet
1.2       takayama  246: @item 曲線@var{F=0} のneigborhood graph を表すリストを返す。
                    247: neighborhood graph とは二次変換によって特異点がどのように
                    248: 分解されるかを表すtreeである。分解によって現れる点のことを
                    249: 隣接点と呼ぶ。特異点、隣接点の情報は、それぞれ次のような
                    250: @b{ベクトル}によって表される。
1.1       takayama  251:
                    252: @table @code
1.2       takayama  253: @item 特異点
                    254: [  点の個数, 点の座標, [重複度, 通常特異点(=1)かそうでない(=-1)か], [この(これらの)特異点から出てくる隣接点の情報(これ以上隣接点が現れない場合は''terminal'')]  ]
                    255: @item 隣接点
                    256: [  点の個数, [重複度, 通常特異点(=1)かそうでないか(=-1)か], [この(これらの)隣接点から出てくる隣接点の情報(これ以上隣接点が現れない場合は''terminal'')]  ]
                    257: @item 一般に、特異点の座標は代数的数になる。この場合、代数的数を共役な代数的数で置き換えて得られる点もまた、特異点になる。この性質を利用して複数の特異点を一度に表示するのであるが、特異点ベクトルの最初の引数「点の個数」はこのような表示によって、いくつの特異点が表されているかを示している。したがって、特異点が有理点ならば、点の個数=1 である。隣接点ベクトルの最初の引数である「点の個数」は親ベクトルの表す各点から、この数だけ同じタイプの隣接点が出てくることを意味する。
1.1       takayama  258: @end table
                    259:
1.2       takayama  260: @item neighborhood graph はこれらのベクトルを入れ子にしたリストによって表現されている。
1.1       takayama  261:
                    262: @example
                    263: [1] F=x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6;
                    264: x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6
                    265: [2] sing(F);
                    266: [[0,0,1],[(#0),1,0]]
                    267: [3] nbh(F);
                    268: [ 1 [0,0,1] [4,-1] [[ 1 [2,1] [terminal] ],[ 1 [2,1] [terminal] ]] ]
                    269: [ 2 [(#0),1,0] [2,-1] [[ 1 [1,1] [terminal] ]] ]
                    270: @end example
1.2       takayama  271: 特異点@code{[0,0,1]} は重複度4 の通常でない特異点であり、
                    272: 2つの隣接点をもつ。それらはどちらとも重複度2 の通常特異点
                    273: である。特異点@code{[(#0),1,0]}の隣接点は単純点である。
                    274: @item @var{F}は重複因子を持っていてはいけない。
1.1       takayama  275: @end itemize
                    276:
                    277: @table @t
1.2       takayama  278: @item 参照
1.1       takayama  279: @ref{sing}
                    280: @end table
                    281:
                    282:
1.2       takayama  283: @node genus,,, 主な関数
1.1       takayama  284: @subsection @code{genus}
                    285: @findex genus
                    286:
                    287: @table @t
                    288: @item genus(@var{F})
1.2       takayama  289: :: 曲線@var{F=0} の特異点の座標からなるリストを返す.
1.1       takayama  290: @end table
                    291:
1.2       takayama  292: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  293: @table @var
                    294: @item return
1.2       takayama  295: 0以上の整数
1.1       takayama  296: @item F
1.2       takayama  297: 変数x,y,z の斉次多項式
1.1       takayama  298: @end table
                    299:
1.2       takayama  300: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  301: @itemize @bullet
1.2       takayama  302: @item 曲線@var{F=0} の種数を返す。
                    303: @item @var{F} は@tex $\overline{Q}[x,y,z]$ @end tex
                    304: において既約でなければならない。この条件の下でしか正確な値が返される保証がない。Q[x,y,z] において既約であったとしても、
1.1       takayama  305: @tex $\overline{Q}[x,y,z]$ @end tex
1.2       takayama  306: で既約とは限らないので注意を要する。入力がこの条件を満たして
                    307: いるかどうかはチェックされない。
1.1       takayama  308: @end itemize
                    309:
1.2       takayama  310: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  311: @example
                    312: [1] genus(x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6);
                    313: 0
                    314: [2] genus(y^2*z-x^3-z^3);
                    315: 1
                    316: [3] genus(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
                    317: -1
                    318: [4] fctr(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
                    319: [[1,1],[x^2+(-y-z)*x+y^2-z*y+z^2,1]]
                    320: [5] irr_conic(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
                    321: reducible
                    322: @end example
                    323:
                    324: @table @t
1.2       takayama  325: @item 参照
1.1       takayama  326: @ref{irr_conic}
                    327: @end table
                    328:
1.2       takayama  329: @node adjoint1 adjoint2,,, 主な関数
1.1       takayama  330: @subsection @code{adjoint1},@code{adjoint2}
                    331: @findex adjoint1
                    332: @findex adjoint2
                    333:
                    334: @table @t
                    335: @item adjoint1(@var{F})
                    336: @itemx adjoint2(@var{F})
1.2       takayama  337: :: それぞれ曲線@var{F=0}のn-1次,n-2次の随伴曲線(adjoint
                    338:  curve)を返す(n=deg(F))。
1.1       takayama  339: @end table
                    340:
                    341: @table @var
                    342: @item return
1.2       takayama  343: 線形のパラメーターを含む変数x,y,z の斉次多項式
1.1       takayama  344: @item F
1.2       takayama  345: 変数x,y,z の斉次多項式
1.1       takayama  346: @end table
                    347:
                    348: @itemize @bullet
1.2       takayama  349: @item n-2 次の曲線@var{G=0}が曲線@var{F=0} の重複度r の点を少なくとも重複度r-1 にもつとき、曲線@var{G=0}を曲線@var{F=0} のn-2 次の随伴曲線(adjoint curve)と呼ぶ。n-1 個の随伴曲線
1.1       takayama  350: @tex
                    351: $G_0=0,G_1=0, \ldots ,G_{n-2}=0$
                    352: @end tex
1.2       takayama  353: が存在して、n-2 次の随伴曲線の定義多項式全体は
1.1       takayama  354: @tex
1.2       takayama  355: $c_0G_0+c_1G_1+ \ldots +c_{n-2}G_{n-2}$ ($c_{i}$ は係数体の元)
1.1       takayama  356: @end tex
1.2       takayama  357: と表される。@code{adjoint2}(@var{F}) は、このn-1 個の線形のパラメーターを含んだ斉次多項式を返す。n-1 次の随伴曲線も同様に定義される。n-1 次の随伴曲線の定義多項式全体も上と同様に、2n-1 個の線形パラメーターを含んだn-1 次の斉次多項式で表される。@code{adjoint1}(@var{F}) はこの多項式を返す。
                    358: @item 最初にパラメーターのリストと、その長さが表示される。
                    359: @item @var{F}は重複因子を持っていてはいけない。
1.1       takayama  360: @end itemize
                    361:
                    362: @example
                    363: [1] adjoint2(x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6);
                    364: [c2,c3,c4,c6,c7] 5
                    365: (c2-c4)*x^4+c3*y*x^3+(c2*y^2+c6*z*y)*x^2+(c3*y^3+c7*z*y^2)*x+c4*y^4
                    366: [2] adjoint1(F);
                    367: [c1,c7,c11,c12,c13,c15,c16,c17,c18,c19,c20] 11
                    368: (c1*y+(c11-c15+c18-c20)*z)*x^4+(c13*y^2+c7*z*y+c11*z^2)*x^3+(c17*z*y^2+c12*z^2*y
                    369: +c15*z^3)*x^2+(c13*z^2*y^2+c16*z^3*y+c18*z^4)*x+c17*z^3*y^2+c19*z^4*y+c20*z^5
                    370: @end example
                    371:
                    372: @table @t
1.2       takayama  373: @item 参照
1.1       takayama  374: @ref{restriction}
                    375: @end table
                    376:
                    377:
1.2       takayama  378: @node intpt,,, 主な関数
1.1       takayama  379: @subsection @code{intpt}
1.2       takayama  380: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  381: @findex intpt
                    382:
1.2       takayama  383: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  384: @table @t
                    385: @item intpt(@var{F})
1.2       takayama  386: :: 二次曲線@var{F=0} 上の整数点@code{[x,y,z]} をひとつ見つけて返す。整数点が存在しなければ、文字列@code{no integer solution}を返す。
1.1       takayama  387: @end table
                    388:
1.2       takayama  389: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  390: @table @var
                    391: @item return
1.2       takayama  392: リスト、あるいは文字列@code{no integer solution}.
1.1       takayama  393: @item F
1.2       takayama  394: 変数x,y,z の二次の斉次多項式
1.1       takayama  395: @end table
                    396:
1.2       takayama  397: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  398: @itemize @bullet
1.2       takayama  399: @item 二次曲線@var{F=0} 上に整数点(affineでいう有理点)が
                    400: あれば、その座標@code{[x,y,z]}を返す。@code{x},@code{y},
                    401: @code{z} はすべて整数である。整数点が存在しないときは
                    402: 文字列@code{no integer solution} を返す。
                    403: @item 三元二次形式の整数解を求める古典的なLegendreの方法を用いている。サブルーチンで二次の合同方程式を解く際、単に総当り法を用いているだけので、@var{F} の係数が大きくなると非常に時間がかかる。
1.1       takayama  404: @end itemize
                    405:
                    406: @example
                    407: [1] intpt(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+13*y*x-z*x);
                    408: [71,-121,473]
                    409: [2] intpt(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+12*y*x-z*x);
                    410: no integer solution
                    411: @end example
                    412:
                    413:
1.2       takayama  414: @node parametrize,,, 主な関数
1.1       takayama  415: @subsection @code{parametrize}
1.2       takayama  416: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  417: @findex parametrize
                    418:
1.2       takayama  419: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  420: @table @t
                    421: @item parametrize(@var{F})
1.2       takayama  422: :: 有理曲線@var{F=0} をパラメトライズする多項式の組を返す。
1.1       takayama  423: @end table
                    424:
1.2       takayama  425: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  426: @table @var
                    427: @item return
1.2       takayama  428: リスト
1.1       takayama  429: @item F
1.2       takayama  430: 有理曲線の定義多項式(変数x,y,z の斉次多項式)
1.1       takayama  431: @end table
                    432:
1.2       takayama  433: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  434: @itemize @bullet
1.2       takayama  435: @item 有理曲線@var{F=0}(種数が0の曲線)は、変数t の多項式P(t),Q(t),R(t) およびx,y,zの斉次多項式S(x,y,z),T(x,y,z)を用いて(x:y:z)=(P(t):Q(t):R(t)), t=T(x,y,z)/S(x,y,z) とパラメーター表示される。@code{parametrize}(@var{F}) はこれらの多項式からなるリスト@code{[P(t),Q(t),R(t),T(x,y,z)/S(x,y,z)]} を返す(GCD(@code{P(t)},@code{Q(t)},@code{R(t)})=1 である)。一般にはP(t),Q(t),R(t) は係数に有理数の平方根を含む多項式となるが、有理数係数の多項式で曲線をパラメトライズできる場合は、@b{常に}有理数係数の多項式の組を返す(例えば曲線の次数が奇数の場合)。
                    436: @item @var{F} は@tex $\overline{Q}[x,y,z]$ @end tex
                    437: において既約で、かつ種数が0でなければならないが、これらの条件が満たされているかどうかのチェックはなされない。
1.1       takayama  438: @end itemize
                    439:
                    440: @example
                    441: [1] parametrize(x^4+(2*y^2-z^2)*x^2+y^4+z^2*y^2);
                    442: [-t^3-t,t^3-t,t^4+1,(-x^2-y^2)/(z*x+z*y)]
                    443: [2] parametrize((x^2+y^2)^3-4*x^2*y^2*z^2);
                    444: heuristic2 failed...
                    445: heuristic3 succeed
                    446: [32256*t^6-133120*t^5-129024*t^4+1064960*t^3-516096*t^2
                    447: -2129920*t+2064384,-127008*t^6+1048320*t^5-2671232*t^4
                    448: +10684928*t^2-16773120*t+8128512,274625*t^6-3194100*t^5
                    449: +15678780*t^4-41555808*t^3+62715120*t^2-51105600*t+17576000,
                    450: (-126*x^4+1040*y*x^3-382*y^2*x^2+1040*y^3*x-256*y^4)
                    451: /(-65*x^4+520*y*x^3+(-65*y^2-32*z*y)*x^2+(520*y^3+256*z*y^2)*x)]
                    452: [3] parametrize(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+12*y*x-z*x);
                    453: [(220*#6-10)*t^2+(-22*#6+1),(374*#6-17)*t^2+(-22*#6-43)*t,
                    454: (220*#6+210)*t^2+(-374*#6+17)*t+22,(-y)/((22*#6-1)*x+z)]
                    455: @end example
                    456:
                    457: @table @t
1.2       takayama  458: @item 参照
1.1       takayama  459: @ref{genus}
                    460: @end table
                    461:
                    462:
1.2       takayama  463: @node その他の関数,,, 関数簡易マニュアル
                    464: @section その他の関数
1.1       takayama  465:
                    466: @menu
                    467: * tdeg::
                    468: * homzation::
                    469: * random_line::
                    470: * multia::
                    471: * irr_conic::
                    472: * lissajou::
                    473: * restriction::
                    474: @end menu
                    475:
1.2       takayama  476: @node tdeg,,, その他の関数
1.1       takayama  477: @subsection @code{tdeg}
1.2       takayama  478: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  479: @findex tdeg
                    480:
1.2       takayama  481: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  482: @table @t
                    483: @item tdeg(Poly)
1.2       takayama  484: :: 多項式@var{Poly}の全次数を返す。
1.1       takayama  485: @end table
                    486:
1.2       takayama  487: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  488: @table @var
                    489: @item return
1.2       takayama  490: 0以上の整数
1.1       takayama  491: @item Poly
1.2       takayama  492: 多項式
1.1       takayama  493: @end table
                    494:
1.2       takayama  495: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  496: @itemize @bullet
1.2       takayama  497: @item 多項式@var{Poly}の全次数を返す。
1.1       takayama  498: @end itemize
                    499:
1.2       takayama  500: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  501: @example
                    502: [1] tdeg(u^3+v^3-x*y*z*w);
                    503: 4
                    504: [956] tdeg((x^3+y^2+z)*(a^2+b+1));
                    505: 5
                    506: @end example
                    507:
                    508:
1.2       takayama  509: @node homzation,,, その他の関数
1.1       takayama  510: @subsection @code{homzation}
1.2       takayama  511: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  512: @findex homzation
                    513:
1.2       takayama  514: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  515: @table @t
                    516: @item homzation(AF)
1.2       takayama  517: :: 変数x,yの多項式を斉次化してx,y,zの斉次多項式にする。
1.1       takayama  518: @end table
                    519:
1.2       takayama  520: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  521: @table @var
                    522: @item return
1.2       takayama  523: 変数x,y,zの斉次多項式
1.1       takayama  524: @item F
1.2       takayama  525: 変数x,yの多項式
1.1       takayama  526: @end table
                    527:
1.2       takayama  528: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  529: @itemize @bullet
1.2       takayama  530: @item 変数x,yの多項式を斉次化してx,y,zの斉次多項式にする。入力する多項式の変数はx,yでなければならない。
1.1       takayama  531: @end itemize
                    532:
1.2       takayama  533: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  534: @example
                    535: [1] homzation((x^2+4*x^3+6*x^4)-4*x^4*y
                    536: +(-2*x-4*x^2-2*x^3)*y^2+y^4);
                    537: (-4*y+6*z)*x^4+(-2*y^2+4*z^2)*x^3
                    538: +(-4*z*y^2+z^3)*x^2-2*z^2*y^2*x+z*y^4
                    539: [958] homzation(u*v+1);
                    540: Input must be polynomial of variable x,y
                    541: @end example
                    542:
                    543:
1.2       takayama  544: @node random_line,,, その他の関数
1.1       takayama  545: @subsection @code{random_line}
1.2       takayama  546: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  547: @findex random_line
                    548:
1.2       takayama  549: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  550: @table @t
                    551: @item random_line(@var{Pt},B[,@var{Seed}])
1.2       takayama  552: :: 点@var{Pt}(=@code{[x,y,z]})を通る直線をひとつランダムに
                    553: 返す。
1.1       takayama  554: @end table
                    555:
1.2       takayama  556: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  557: @table @var
                    558: @item return
1.2       takayama  559: 変数x,y,zの一次式
1.1       takayama  560: @item Pt
1.2       takayama  561: 点を表すリスト
1.1       takayama  562: @item B
1.2       takayama  563: 自然数
1.1       takayama  564: @item Seed
1.2       takayama  565: 自然数
1.1       takayama  566: @end table
                    567:
1.2       takayama  568: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  569: @itemize @bullet
1.2       takayama  570: @item 点@var{Pt}(=@code{[x,y,z]})を通る直線の方程式で
                    571: 各係数の値が-B以上B未満のものを、ひとつランダムに返す。
                    572: @item Seedはサブルーチンでrandom([Seed])を用いる際に使用
                    573: される。
1.1       takayama  574: @end itemize
                    575:
1.2       takayama  576: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  577: @example
                    578: [1] random_line([0,0,1],1);
                    579: x-8*y
                    580: @end example
                    581:
                    582:
1.2       takayama  583: @node multia,,, その他の関数
1.1       takayama  584: @subsection @code{multia}
1.2       takayama  585: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  586: @findex multia
                    587:
1.2       takayama  588: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  589: @table @t
                    590: @item multia(F,Pt)
1.2       takayama  591: :: 曲線@var{F=0} の点@var{Pt}(=@code{[x,y,z]})における
                    592: 重複度を返す。
1.1       takayama  593: @end table
                    594:
1.2       takayama  595: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  596: @table @var
                    597: @item return
1.2       takayama  598: 0以上の自然数
1.1       takayama  599: @item F
1.2       takayama  600: 変数x,y,z の斉次多項式
1.1       takayama  601: @item Pt
1.2       takayama  602: 点を表すリスト
1.1       takayama  603: @end table
                    604:
1.2       takayama  605: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  606: @itemize @bullet
1.2       takayama  607: @item 曲線@var{F=0} の点@var{Pt}(=@code{[x,y,z]})における
                    608: 重複度を返す。FをN 階偏微分して得られる多項式が初めて点Ptで
                    609: 0にならないとき、整数Nを曲線@var{F=0}の点Ptにおける重複度
                    610: という。
1.1       takayama  611: @end itemize
                    612:
1.2       takayama  613: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  614: @example
                    615: [1] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
                    616: 4*z^4*y^2-4*z^6,[0,0,1]);
                    617: 0
                    618: [2] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
                    619: 4*z^4*y^2-4*z^6,[0,1,0]);
                    620: 4
                    621: [3] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
                    622: 4*z^4*y^2-4*z^6,[1,0,0]);
                    623: 2
                    624: @end example
                    625:
1.2       takayama  626: @comment --- 参照(リンク)を書く ---
1.1       takayama  627: @table @t
1.2       takayama  628: @item 参照
1.1       takayama  629: @ref{sing}
                    630: @ref{nbh}
                    631: @end table
                    632:
                    633:
1.2       takayama  634: @node irr_conic,,, その他の関数
1.1       takayama  635: @subsection @code{irr_conic}
1.2       takayama  636: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  637: @findex irr_conic
                    638:
1.2       takayama  639: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  640: @table @t
                    641: @item irr_conic(@var{F})
1.2       takayama  642: :: 三元二次形式@var{F}が
1.1       takayama  643: @tex
                    644: $\overline{Q}[x,y,z]$
                    645: @end tex
1.2       takayama  646: で既約かどうかを判定する。
1.1       takayama  647: @end table
                    648:
1.2       takayama  649: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  650: @table @var
                    651: @item return
1.2       takayama  652: 文字列
1.1       takayama  653: @item F
1.2       takayama  654: 変数x,y,z の二次の斉次多項式
1.1       takayama  655: @end table
                    656:
1.2       takayama  657: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  658: @itemize @bullet
1.2       takayama  659: @item 三元二次形式@var{F}が
1.1       takayama  660: @tex
                    661: $\overline{Q}[x,y,z]$
                    662: @end tex
1.2       takayama  663: で既約ならば@code{irreducible}を、可約ならば@code{reducible}
                    664: を返す。
1.1       takayama  665: @end itemize
                    666:
1.2       takayama  667: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  668: @example
                    669: [1] irr_conic(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
                    670: reducible
                    671: [2] fctr(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
                    672: [[1,1],[x^2+(-y-z)*x+y^2-z*y+z^2,1]]
                    673: @end example
                    674:
                    675:
1.2       takayama  676: @node lissajou,,, その他の関数
1.1       takayama  677: @subsection @code{lissajou}
1.2       takayama  678: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  679: @findex lissajou
                    680:
1.2       takayama  681: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  682: @table @t
                    683: @item lissajou(M,N)
                    684: :: @tex
                    685: $x=\sin(M\theta),y=\cos(N\theta)$
                    686: @end tex
1.2       takayama  687: によって定義されるリサージュ曲線の陰関数表示
1.1       takayama  688: @end table
                    689:
1.2       takayama  690: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  691: @table @var
                    692: @item return
1.2       takayama  693: 変数x,y,zの斉次多項式
1.1       takayama  694: @item M N
1.2       takayama  695: 互いに素な自然数
1.1       takayama  696: @end table
                    697:
1.2       takayama  698: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  699: @itemize @bullet
                    700: @item @tex
                    701: $x=\sin(M\theta),y=\cos(N\theta)$
                    702: @end tex
1.2       takayama  703: によって定義されるリサージュ曲線の陰関数表示(変数x,y,zの
                    704: 斉次多項式)を返す。
1.1       takayama  705: @end itemize
                    706:
1.2       takayama  707: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  708: @example
                    709: [984] lissajou(3,4);
                    710: 64*x^8-128*z^2*x^6+80*z^4*x^4-16*z^6*x^2+16*z^2*y^6
                    711: -24*z^4*y^4+9*z^6*y^2
                    712: [985] lissajou(2,7);
                    713: 4096*x^14-14336*z^2*x^12+19712*z^4*x^10-13440*z^6*x^8
                    714: +4704*z^8*x^6-784*z^10*x^4+49*z^12*x^2+4*z^10*y^4-4*z^12*y^2
                    715: @end example
                    716:
                    717:
1.2       takayama  718: @node restriction,,, その他の関数
1.1       takayama  719: @subsection @code{restriction}
1.2       takayama  720: @comment --- 索引用キーワード---
1.1       takayama  721: @findex restriction
                    722:
1.2       takayama  723: @comment --- 関数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  724: @table @t
                    725: @item restriction(@var{A},@var{List})
1.2       takayama  726: :: 特定の点を通る随伴曲線の定義多項式を計算したいときに用いる。
1.1       takayama  727: @end table
                    728:
1.2       takayama  729: @comment --- 引数の簡単な説明 ---
1.1       takayama  730: @table @var
                    731: @item return
1.2       takayama  732: 線形のパラメーターを含むx,y,zの斉次多項式
1.1       takayama  733: @item A
1.2       takayama  734: @code{adjoint1,adjoint2}から返される形と同様の、線形パラメーター
                    735: つきの変数x,y,zの斉次多項式
1.1       takayama  736: @item List
1.2       takayama  737: 点@code{[x,y,z]}からなるリスト
1.1       takayama  738: @end table
                    739:
1.2       takayama  740: @comment --- ここで関数の詳しい説明 ---
1.1       takayama  741: @itemize @bullet
1.2       takayama  742: @item @code{adjoint1,adjoint2}から返される線形パラメーター付の
                    743: 斉次多項式が、@var{List}に含まれる各点を零点にもつためには、
                    744: 線形パラメーターの間にいくつかの(Q上の)一次関係式が成り立て
                    745: ばよい。この条件を加味して、新たな線形パラメーター付の斉次
                    746: 多項式を作る。
                    747: @item @var{List}に含まれる点は、@code{intersect}や@code{sing}
                    748: から返される点を使うことを想定している。
1.1       takayama  749: @end itemize
                    750:
1.2       takayama  751: @comment --- @example〜@end example は実行例の表示 ---
1.1       takayama  752: @example
                    753: @end example
                    754:
1.2       takayama  755: @comment --- 参照(リンク)を書く ---
1.1       takayama  756: @table @t
1.2       takayama  757: @item 参照
1.1       takayama  758: @ref{adjoint1,adjoint2}
                    759: @end table
                    760:
                    761:
1.2       takayama  762: @comment --- ◯◯◯◯  以下他の関数について真似して記述する. ◯◯◯◯
1.1       takayama  763:
                    764:
1.2       takayama  765: @comment --- おまじない ---
1.1       takayama  766: @node Index,,, Top
                    767: @unnumbered Index
                    768: @printindex fn
                    769: @printindex cp
                    770: @iftex
                    771: @vfill @eject
                    772: @end iftex
                    773: @summarycontents
                    774: @contents
                    775: @bye
1.2       takayama  776: @comment --- おまじない終り ---
1.1       takayama  777:
                    778:
                    779:
                    780:
                    781:
                    782:
                    783:
                    784:
                    785:
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                    788:

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