Annotation of OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/yang/yang_tutorial-ja.tex, Revision 1.2
1.1 ohara 1: %#!platex
1.2 ! ohara 2: % $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/yang/yang_tutorial-ja.tex,v 1.1 2005/11/12 01:23:06 ohara Exp $
1.1 ohara 3: \documentclass{jarticle}
4: %\usepackage{amsmath}
5: \title{Yang Tutorial}
1.2 ! ohara 6: \author{金沢大学理学部\ \ \ 小原功任}
! 7: \date{}
! 8: \topmargin -1.5cm
! 9: \textheight 23.5cm
! 10: \oddsidemargin 0cm
! 11: \evensidemargin 0cm
! 12: \textwidth 16.5cm
! 13:
1.1 ohara 14: \begin{document}
15:
16: \maketitle
17:
18: \section{yang とは}
19:
1.2 ! ohara 20: yang ではオイラー微分演算子, shift operator, $q$-shift operator からなる環
1.1 ohara 21: での計算を行う Risa/Asir のパッケージです. 計算する前に
1.2 ! ohara 22: \verb|yang.define_ring| あるいはその変種を用いて, 必ず環を定義します.
! 23: 同時に扱える環はひとつだけですが, \verb|yang.define_ring| を呼び出すと,
! 24: 以前の環の定義はスタックにプッシュされるため, \verb|yang.define_ring| と
1.1 ohara 25: \verb|yang.pop_ring| で挟むことで, サブルーチン的な計算を実現することが
26: できます.
27:
1.2 ! ohara 28: yang でできる計算は,グレブナ基底, 正規形, 0次元イデアルのランク, Pfaff
1.1 ohara 29: 形式などです. またグレブナ基底は有理関数体係数で計算します.
30:
31: \section{Appell's $F_1$ を計算してみる.}
32:
1.2 ! ohara 33: ここでは, オイラー微分演算子からなる環を定義し, 超幾何方程式系 $F_1$ の
1.1 ohara 34: グレブナ基底を計算してみます. 実はオイラー微分演算子のみを含む場合には,
35: \verb|yang_D.rr| を使ったほうが高速になります.
36:
37: \begin{verbatim}
38: ohara:~> asir
39: [1] load("yang.rr");
40: [2] yang.define_ring([x1,x2]);
1.2 ! ohara 41: {[euler,[x1,x2]],[x1,x2],[0,0],[0,0],[dx1,dx2]}
1.1 ohara 42: \end{verbatim}
43:
44: 環として, $R=K(x_1,x_2)\langle \theta_1, \theta_2\rangle$ が定義
1.2 ! ohara 45: されました($\theta_i = x_i\partial_i$).
! 46: \verb|yang.define_ring| の出力に示されているように,
! 47: \verb|x1| に対応するオイラー微分演算子 $\theta_1$ は \verb|dx1| で表されます.
! 48: 環の元を定義しましょう.
1.1 ohara 49:
50: \begin{verbatim}
1.2 ! ohara 51: [3] S=dx1+dx2;
1.1 ohara 52: \end{verbatim}
53:
1.2 ! ohara 54: $S = \theta_1 + \theta_2$ です.
! 55: $R$ における和は, 通常の $+$ で書くことができます.
! 56: また, $K(x_1,x_2)$ の元の掛け算は, 通常の $*$ で書くことができます.
1.1 ohara 57:
58: \begin{verbatim}
1.2 ! ohara 59: [4] L1 = yang.mul(dx1,S+c-1) - x1*yang.mul(dx1+b1,S+a);
! 60: ((-x1+1)*dx1-b1*x1)*dx2+(-x1+1)*dx1^2+((-a-b1)*x1+c-1)*dx1-b1*a*x1
! 61: [5] L2 = yang.mul(dx2,S+c-1) - x2*yang.mul(dx2+b2,S+a);
! 62: (-x2+1)*dx2^2+((-x2+1)*dx1+(-a-b2)*x2+c-1)*dx2-b2*x2*dx1-b2*a*x2
1.1 ohara 63: \end{verbatim}
64:
1.2 ! ohara 65: $L_1 = \theta_1 (S + c-1) - x_1 (\theta_1 + b_1)(S+a)$ です.
! 66: $R'=K[x_1,x_2]\langle \theta_1, \theta_2\rangle$ における演算子
! 67: の積は \verb|yang.mul| で計算します. ただし, $K[x_1,x_2]$ の元はそのま
! 68: まかけても構いません. いまのところ, \verb|yang.mul| の引数に使えるの
1.1 ohara 69: は$R'$ の元のみです.
70:
71: \begin{verbatim}
1.2 ! ohara 72: [6] G = yang.gr([L1,L2]);
! 73: [((-x2^2+(x1+1)*x2-x1)*dx2^2+((-a-b2)*x2^2+((a-b1+b2)*x1+c-1)*x2+(-c+b1+1)*x1)*dx2
! 74: +(b2*x1-b2)*x2*dx1-b2*a*x2^2+b2*a*x1*x2)/(-x2^2+(x1+1)*x2-x1),
! 75: (((-x2+x1)*dx1+b1*x1)*dx2-b2*x2*dx1)/(-x2+x1),
! 76: ((-b1*x1*x2+b1*x1)*dx2+((-x1+1)*x2+x1^2-x1)*dx1^2+(((-a-b1+b2)*x1+c-b2-1)*x2
! 77: +(a+b1)*x1^2+(-c+1)*x1)*dx1-b1*a*x1*x2+b1*a*x1^2)/((-x1+1)*x2+x1^2-x1)]
1.1 ohara 78: \end{verbatim}
79:
1.2 ! ohara 80: $R$ のイデアル $I=\langle L_1, L_2 \rangle$ のグレブナ基底 $G$ を計算します.
! 81: 計算結果は
1.1 ohara 82: \begin{eqnarray*}
83: G = &\biggl\{
84: &
1.2 ! ohara 85: \frac{t_1 \theta_2^2+(b_2 x_1-b_2) x_2 \theta_1
! 86: + t_2 \theta_2
1.1 ohara 87: +(-b_2 a x_2^2+b_2 a x_1 x_2)}{-x_2^2+(x_1+1) x_2-x_1},\\
1.2 ! ohara 88: &&\frac{(-x_2+x_1) \theta_1 \theta_2 + (-b_2 x_2) \theta_1 + b_1 x_1 \theta_2}{-x_2+x_1},\\
! 89: &&\frac{t_3 \theta_1^2 +t_4 \theta_1
! 90: + (-b_1 x_1 x_2+b_1 x_1 ) \theta_2
1.1 ohara 91: + (-b_1 a x_1 x_2+b_1 a x_1^2)}{(-x_1+1) x_2+x_1^2-x_1}
92: \biggr\}
93: \end{eqnarray*}
94: を意味します.
1.2 ! ohara 95: ここで,
1.1 ohara 96: \begin{eqnarray*}
97: t_1 &=& -x_2^2+(x_1+1) x_2-x_1 \\
98: t_2 &=& (-a-b_2) x_2^2+((a-b_1+b_2) x_1+c-1) x_2+(-c+1+b_1) x_1 \\
99: t_3 &=& (-x_1+1) x_2+x_1^2-x_1 \\
1.2 ! ohara 100: t_4 &=& ((-a-b_1+b_2) x_1+c-b_2-1) x_2+(a+b_1) x_1^2+(-c+1) x_1
1.1 ohara 101: \end{eqnarray*}
102: つまり, 計算結果は $R$ の元のリストです.
1.2 ! ohara 103:
! 104: % 演算子の内部表現を知るには \verb|yang.op| 関数を,
! 105: % 内部表現から多項式表現を知るには \verb|yang.opr| 関数を使います.
! 106:
! 107: % \begin{verbatim}
! 108: % [5] yang.op(dx1);
! 109: % (1)*<<1,0>>
! 110: % [6] yang.opr(<<1,0>>);
! 111: % dx1
! 112: % \end{verbatim}
! 113:
! 114: % このように演算子の内部表現は分散多項式になっています.
! 115: % そのままでは $R'$ の元しか表せず, $R$ の
! 116: % 元は表現できません. したがって, $f \in R'$ と $q \in K[x_1,x_2]$ の対
! 117: % \verb|[F,Q]| で $R$ の元 $(1/q)f$ を表します.
! 118:
! 119: % さらに, $R$ における項順序は asir の分散多項式の項順序に一致します. 既
! 120: % 定値は, 全次数逆辞書式順序です. 順序を変更して Groeber 基底を計算したい
! 121: % 場合には, 環の元を定義する前に dp\_ord で順序を変更しておくべきです.
! 122:
! 123: イデアル $I$ のランクを調べましょう.
! 124: $G$ の標準単項式は
1.1 ohara 125: \begin{verbatim}
1.2 ! ohara 126: [7] yang.stdmon(G);
! 127: [dx1,dx2,1]
1.1 ohara 128: \end{verbatim}
129: で求まります.
130: よって $I$ のランクは 3 です.
131:
132: グレブナ基底が求まったので, $R$ の元 $t=(x_2-x_1)\theta_1^2$ の
133: 正規形を求めましょう.
134: これには \verb|yang.nf| を用います.
135: \begin{verbatim}
1.2 ! ohara 136: [8] yang.nf((x2-x1)*dx1^2,G);
! 137: ((-b1*x1*x2+b1*x1)*dx2+(((-a-b1+b2)*x1+c-b2-1)*x2+(a+b1)*x1^2+(-c+1)*x1)*dx1
! 138: -b1*a*x1*x2+b1*a*x1^2)/(x1-1)
1.1 ohara 139: \end{verbatim}
140: つまり計算結果は $\mathrm{mod}\ I$ で
141: \begin{eqnarray*}
142: t &\equiv&
143: \frac{((-a-b_1+b_2) x_1+c-b_2-1)x_2+(a+b_1)x_1^2+(-c+1) x_1}{x_1-1}\theta_1\\
144: && \qquad
145: + \frac{-b_1 x_1 x_2+b_1 x_1}{x_1-1}\theta_2
146: + \frac{-b_1 a x_1 x_2+b_1 a x_1^2}{x_1-1}
147: \end{eqnarray*}
148:
149: 次に $F_1$ の Pfaff 形式を計算しましょう.
150:
151: \begin{verbatim}
1.2 ! ohara 152: [9] Base=[1,dx1,dx2];
! 153: [10] Pf=yang.pf(Base,G);
1.1 ohara 154: [ [ 0 (1)/(x1) 0 ]
1.2 ! ohara 155: [ (-b1*a)/(x1-1)
! 156: (((-a-b1+b2)*x1+c-b2-1)*x2+(a+b1)*x1^2+(-c+1)*x1)/((x1^2-x1)*x2-x1^3+x1^2)
1.1 ohara 157: (-b1*x2+b1)/((x1-1)*x2-x1^2+x1) ]
1.2 ! ohara 158: [ 0 (-b2*x2)/(x1*x2-x1^2) (b1)/(x2-x1) ]
1.1 ohara 159: [ 0 0 (1)/(x2) ]
160: [ 0 (-b2)/(x2-x1) (b1*x1)/(x2^2-x1*x2) ]
1.2 ! ohara 161: [ (-b2*a)/(x2-1) (b2*x1-b2)/(x2^2+(-x1-1)*x2+x1)
1.1 ohara 162: ((-a-b2)*x2^2+((a-b1+b2)*x1+c-1)*x2+(-c+b1+1)*x1)/(x2^3+(-x1-1)*x2^2+x1*x2) ] ]
1.2 ! ohara 163: [11] length(Pf);
1.1 ohara 164: 2
1.2 ! ohara 165: [12] P1 = Pf[0];
1.1 ohara 166: [ 0 (1)/(x1) 0 ]
1.2 ! ohara 167: [ (-b1*a)/(x1-1)
! 168: (((-a-b1+b2)*x1+c-b2-1)*x2+(a+b1)*x1^2+(-c+1)*x1)/((x1^2-x1)*x2-x1^3+x1^2)
1.1 ohara 169: (-b1*x2+b1)/((x1-1)*x2-x1^2+x1) ]
170: [ 0 (-b2*x2)/(x1*x2-x1^2) (b1)/(x2-x1) ]
1.2 ! ohara 171: [13] P2 = Pf[1];
1.1 ohara 172: [ 0 0 (1)/(x2) ]
173: [ 0 (-b2)/(x2-x1) (b1*x1)/(x2^2-x1*x2) ]
1.2 ! ohara 174: [ (-b2*a)/(x2-1) (b2*x1-b2)/(x2^2+(-x1-1)*x2+x1)
1.1 ohara 175: ((-a-b2)*x2^2+((a-b1+b2)*x1+c-1)*x2+(-c+b1+1)*x1)/(x2^3+(-x1-1)*x2^2+x1*x2) ]
176: \end{verbatim}
177:
1.2 ! ohara 178: 計算を説明します.
1.1 ohara 179: ランクが 3 であることに注意します.
1.2 ! ohara 180: 基底を
1.1 ohara 181: \[
1.2 ! ohara 182: F =
1.1 ohara 183: \left(
184: \begin{array}{c}
185: f \\ S_1f \\ S_2 f
186: \end{array}
187: \right)
1.2 ! ohara 188: =
1.1 ohara 189: \left(
190: \begin{array}{c}
191: f_1 \\ f_2 \\ f_3
192: \end{array}
193: \right)
194: \]
1.2 ! ohara 195: ととり, $S_i f_j$ の正規形を計算することで Pfaff 形式を求めています.
1.1 ohara 196: \verb|Pf| は$3\times 3$-行列のリストで長さは $2$ です.
197: 結果は,
198: \[
1.2 ! ohara 199: \frac{\partial}{\partial x_1}
1.1 ohara 200: \left(\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3\end{array}\right)
1.2 ! ohara 201: = P_1
! 202: \left(\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3\end{array}\right),
1.1 ohara 203: \qquad
1.2 ! ohara 204: \frac{\partial}{\partial x_2}
1.1 ohara 205: \left(\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3\end{array}\right)
206: = P_2
207: \left(\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3\end{array}\right)
208: \]
209: ここで,
210: \begin{eqnarray*}
211: P_1 &=&
212: \pmatrix{
213: 0 & \frac{1}{x_1}& 0 \cr
214: \frac{-b_1 a}{x_1-1} &
215: \frac{((-a -b_1+ b_2) x_1+ c -b_2-1)
216: x_2+ (a+ b_1) x_1^2 + (-c+ 1) x_1}{(x_1^2 -x_1) x_2 -x_1^3 + x_1^2}
217: & \frac{-b_1 x_2+ b_1}{(x_1-1) x_2 -x_1^2 + x_1} \cr
218: 0& \frac{-b_2 x_2}{x_1 x_2-x_1^2} & \frac{b_1}{x_2-x_1} \cr
219: }
220: , \\
221: P_2 &=&
222: \pmatrix{
223: 0& 0& \frac{1}{x_2} \cr
224: 0& \frac{-b_2}{x_2-x_1}& \frac{b_1 x_1}{x_2^2 -x_1 x_2} \cr
225: \frac{-b_2 a}{x_2-1}& \frac{b_2 x_1-
226: b_2}{x_2^2 + (-x_1-1) x_2+ x_1}
1.2 ! ohara 227: &
1.1 ohara 228: \frac{(-a-b_2) x_2^2 + ((a -b_1+b_2) x_1+ c-1) x_2
229: + (-c+ b_1+ 1) x_1}{x_2^3 + (-x_1-1) x_2^2 + x_1 x_2} \cr
230: }
231: \end{eqnarray*}
232:
233: \section{$\mathcal{A}$-超幾何微分差分系を計算してみる}
234:
1.2 ! ohara 235: $\mathcal{A}$-超幾何微分差分系については専用の関数が用意されています.
1.1 ohara 236: まず行列 $A$ と パラメータベクトル $\beta$ が与えられたとき, オイラー微
237: 分演算子の形で方程式系を求める必要があります.
238:
239: \begin{verbatim}
240: [1] load("yang.rr");
241: [2] A=[[1,1,1],[0,1,2]];
242: [3] B=[s1,s2];
243: [4] GKZ=[A,B];
244: [[[1,1,1],[0,1,2]],[s1,s2]]
245: [5] yang.define_gkz_ring(GKZ);
246: [[x1,x2,x3,s1,s2],[0,0,0,1,1],[0,0,0,-1,-1]]
247: [6] E = yang.gkz(GKZ);
248: [[(1)*<<1,0,0,0,0>>+(1)*<<0,1,0,0,0>>+(1)*<<0,0,1,0,0>>+(-s1)*<<0,0,0,0,0>>,
249: (1)*<<0,1,0,0,0>>+(2)*<<0,0,1,0,0>>+(-s2)*<<0,0,0,0,0>>,
250: (1)*<<1,0,0,0,0>>+(-x1)*<<0,0,0,1,0>>,(-x2)*<<0,0,0,1,1>>+(1)*<<0,1,0,0,0>>,
251: (-x3)*<<0,0,0,1,2>>+(1)*<<0,0,1,0,0>>],[x1,x2,x3]]
252: \end{verbatim}
253: \verb|yang.define_gkz_ring| で微分差分環を定義する. 演算子の分散
254: 多項式表示のうち, 最初の 3 つは$x_i$ に関するオイラー微分演算子, あとの
255: ふたつは $s_i$ に関するシフト演算子である.
256:
257: \verb|yang.gkz| は
258: $\mathcal{A}$-超幾何微分差分系を出力する.
259: $E$ は $\mathcal{A}$-超幾何微分差分系である.
260:
261:
262: トーリックイデアルを計算するには次のようにする.
263: \begin{verbatim}
264: [7] IA=yang.gkz_toric(GKZ);
265: [(x1*x3)*<<0,2,0,0,0>>+(-x2^2)*<<1,0,1,0,0>>+(-x1*x3)*<<0,1,0,0,0>>]
266: \end{verbatim}
267:
268: $IA$ はトーリックイデアルの生成元をオイラー微分演算子の形で書いたもので
269: ある. 通常の偏微分演算子による表示を得るには,
270:
271: \begin{verbatim}
272: [8] yang.compute_toric_kernel(GKZ);
273: [[-_x2*_x0+_x1^2],[_x0,_x1,_x2,_t1,_t2]]
274: \end{verbatim}
275:
276: あるいは \verb|yang.gkz_toric_partial| も使える.
277:
278: \section{APIリファレンス}
279:
280: yang.define\_ring(Ring)
281:
282: 環を定義し、yang の内部データ構造を初期化する。
283: 以前の定義はスタックに積まれる。
284: 環定義における変数の並び順によって、変数順序が定まるので注意すること。
285:
286: Ring の 定義
287: \begin{verbatim}
288: Ring := '[' ( Vars | RingDef ) ']'
289: Vars := Variable [ , Variable ]*
290: RingDef := RingEl [ , RingEl ]*
1.2 ! ohara 291: RingEl := Keyword , '[' ( Vars | Pairs ) ']'
1.1 ohara 292: Keyword := "euler" | "differential" | "difference"
1.2 ! ohara 293: Pairs := Pair [ , Pair ]*
1.1 ohara 294: Pair := '[' Variable , ( Number | Variable ) ']'
295: \end{verbatim}
296:
297: yang.pop\_ring()
298:
299: 以前の環定義を取り出す。現在の環定義は破棄される。
300:
301: yang.operator(Variable)
302:
303: Variable に対応する演算子を取り出す。
304: 演算子は分散表現単項式で与えられる。
305:
306: yang.constant(Number)
307:
308: Number の環における表現を取り出す。この関数は yang.pfaffian で与える基底
309: を生成するのに有用である。
310:
311: yang.multi(DPolynomial, DPolynomial)
312:
313: 演算子同士の積を計算する。
314:
315: yang.nf(RDPolynomial, Ideal)
316: (別名: yang.reduction)
317:
318: RDPolynomial を Ideal で簡約する。Ideal が グレブナ基底になっている場合には、
319: 正規形になる。
320:
321: \begin{verbatim}
322: RDPolynomial := DPolynomial | '[' DPolynomial , Polynomial ']'
323: \end{verbatim}
324:
325: yang.buchberger(Ideal)
326:
327: \begin{verbatim}
328: Ideal := '[' RDPolynomial [ , RDPolynomial ]* ']'
329: \end{verbatim}
330:
331: イデアル Ideal のグレブナ基底を計算する。変数順序は
332: 環定義で定まり、項順序は分散表現多項式の表現に依存している。
333: したがって、入力 Ideal をつくるまえに項順序を定めておく必要がある。
334:
335: yang.stdmon(Ideal)
336:
337: グレブナ基底 Ideal の標準単項式を計算する。
338:
339: yang.pfaffian(Base, Ideal)
340:
341: グレブナ基底 Ideal の生成するイデアルの定める微分方程式系に対応する、
342: Pfaff 方程式系を求める。Pfaff 方程式系の解の基底には Base を用いる。
343: (この関数は要改良である!!)
344:
345: \begin{verbatim}
346: Base := '[' DMonomial [ , DMonomial ]* ']'
347: \end{verbatim}
348:
349: \end{document}
350:
351:
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