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1. ring structure variables are changed.
2. new interfaces are introduced.

Example:
yang.define_ring([x1,x2]);
S = dx1+dx2;
L1 = yang.mul(dx1,S+c-1) - x1*yang.mul(dx1+b1,S+a);
L2 = yang.mul(dx2,S+c-1) - x2*yang.mul(dx2+b2,S+a);
G = yang.gr([L1,L2]);

%#!platex
% $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/yang/yang_tutorial-ja.tex,v 1.2 2006/03/20 14:14:04 ohara Exp $
\documentclass{jarticle}
%\usepackage{amsmath}
\title{Yang Tutorial}
\author{金沢大学理学部\ \ \ 小原功任}
\date{}
\topmargin -1.5cm
\textheight 23.5cm
\oddsidemargin  0cm
\evensidemargin 0cm
\textwidth  16.5cm

\begin{document}

\maketitle

\section{yang とは}

yang ではオイラー微分演算子, shift operator, $q$-shift operator からなる環
での計算を行う Risa/Asir のパッケージです.  計算する前に
\verb|yang.define_ring| あるいはその変種を用いて, 必ず環を定義します.
同時に扱える環はひとつだけですが, \verb|yang.define_ring| を呼び出すと,
以前の環の定義はスタックにプッシュされるため, \verb|yang.define_ring| と
\verb|yang.pop_ring| で挟むことで, サブルーチン的な計算を実現することが
できます.

yang でできる計算は,グレブナ基底, 正規形, 0次元イデアルのランク, Pfaff
形式などです.  またグレブナ基底は有理関数体係数で計算します.

\section{Appell's $F_1$ を計算してみる.}

ここでは, オイラー微分演算子からなる環を定義し, 超幾何方程式系 $F_1$ の
グレブナ基底を計算してみます.  実はオイラー微分演算子のみを含む場合には,
\verb|yang_D.rr| を使ったほうが高速になります.

\begin{verbatim}
ohara:~> asir
[1] load("yang.rr");
[2] yang.define_ring([x1,x2]);
{[euler,[x1,x2]],[x1,x2],[0,0],[0,0],[dx1,dx2]}
\end{verbatim}

環として, $R=K(x_1,x_2)\langle \theta_1, \theta_2\rangle$ が定義
されました($\theta_i = x_i\partial_i$).
\verb|yang.define_ring| の出力に示されているように,
\verb|x1| に対応するオイラー微分演算子 $\theta_1$ は \verb|dx1| で表されます.
環の元を定義しましょう.

\begin{verbatim}
[3] S=dx1+dx2;
\end{verbatim}

$S = \theta_1 + \theta_2$ です.
$R$ における和は, 通常の $+$ で書くことができます.
また, $K(x_1,x_2)$ の元の掛け算は, 通常の $*$ で書くことができます.

\begin{verbatim}
[4] L1 = yang.mul(dx1,S+c-1) - x1*yang.mul(dx1+b1,S+a);
((-x1+1)*dx1-b1*x1)*dx2+(-x1+1)*dx1^2+((-a-b1)*x1+c-1)*dx1-b1*a*x1
[5] L2 = yang.mul(dx2,S+c-1) - x2*yang.mul(dx2+b2,S+a);
(-x2+1)*dx2^2+((-x2+1)*dx1+(-a-b2)*x2+c-1)*dx2-b2*x2*dx1-b2*a*x2
\end{verbatim}

$L_1 = \theta_1 (S + c-1) - x_1 (\theta_1 + b_1)(S+a)$ です.
$R'=K[x_1,x_2]\langle \theta_1, \theta_2\rangle$ における演算子
の積は \verb|yang.mul| で計算します.  ただし, $K[x_1,x_2]$ の元はそのま
まかけても構いません.  いまのところ, \verb|yang.mul| の引数に使えるの
は$R'$ の元のみです.

\begin{verbatim}
[6] G = yang.gr([L1,L2]);
[((-x2^2+(x1+1)*x2-x1)*dx2^2+((-a-b2)*x2^2+((a-b1+b2)*x1+c-1)*x2+(-c+b1+1)*x1)*dx2
+(b2*x1-b2)*x2*dx1-b2*a*x2^2+b2*a*x1*x2)/(-x2^2+(x1+1)*x2-x1),
(((-x2+x1)*dx1+b1*x1)*dx2-b2*x2*dx1)/(-x2+x1),
((-b1*x1*x2+b1*x1)*dx2+((-x1+1)*x2+x1^2-x1)*dx1^2+(((-a-b1+b2)*x1+c-b2-1)*x2
+(a+b1)*x1^2+(-c+1)*x1)*dx1-b1*a*x1*x2+b1*a*x1^2)/((-x1+1)*x2+x1^2-x1)]
\end{verbatim}

$R$ のイデアル $I=\langle L_1, L_2 \rangle$ のグレブナ基底 $G$ を計算します.
計算結果は
\begin{eqnarray*}
G = &\biggl\{
&
\frac{t_1 \theta_2^2+(b_2 x_1-b_2) x_2 \theta_1
+ t_2 \theta_2
+(-b_2 a x_2^2+b_2 a x_1 x_2)}{-x_2^2+(x_1+1) x_2-x_1},\\
&&\frac{(-x_2+x_1) \theta_1 \theta_2 + (-b_2 x_2) \theta_1 + b_1 x_1 \theta_2}{-x_2+x_1},\\
&&\frac{t_3 \theta_1^2 +t_4 \theta_1
+ (-b_1 x_1 x_2+b_1 x_1 ) \theta_2
+ (-b_1 a x_1 x_2+b_1 a x_1^2)}{(-x_1+1) x_2+x_1^2-x_1}
\biggr\}
\end{eqnarray*}
を意味します.
ここで,
\begin{eqnarray*}
t_1 &=& -x_2^2+(x_1+1) x_2-x_1 \\
t_2 &=& (-a-b_2) x_2^2+((a-b_1+b_2) x_1+c-1) x_2+(-c+1+b_1) x_1 \\
t_3 &=& (-x_1+1) x_2+x_1^2-x_1 \\
t_4 &=& ((-a-b_1+b_2) x_1+c-b_2-1) x_2+(a+b_1) x_1^2+(-c+1) x_1
\end{eqnarray*}
つまり, 計算結果は $R$ の元のリストです.

% 演算子の内部表現を知るには \verb|yang.op| 関数を,
% 内部表現から多項式表現を知るには \verb|yang.opr| 関数を使います.

% \begin{verbatim}
% [5] yang.op(dx1);
% (1)*<<1,0>>
% [6] yang.opr(<<1,0>>);
% dx1
% \end{verbatim}

% このように演算子の内部表現は分散多項式になっています.
% そのままでは $R'$ の元しか表せず, $R$ の
% 元は表現できません.  したがって, $f \in R'$ と $q \in K[x_1,x_2]$ の対
% \verb|[F,Q]| で $R$ の元 $(1/q)f$ を表します.

% さらに, $R$ における項順序は asir の分散多項式の項順序に一致します.  既
% 定値は, 全次数逆辞書式順序です.  順序を変更して Groeber 基底を計算したい
% 場合には, 環の元を定義する前に dp\_ord で順序を変更しておくべきです.

イデアル $I$ のランクを調べましょう.
$G$ の標準単項式は
\begin{verbatim}
[7] yang.stdmon(G);
[dx1,dx2,1]
\end{verbatim}
で求まります.
よって $I$ のランクは 3 です.

グレブナ基底が求まったので, $R$ の元 $t=(x_2-x_1)\theta_1^2$ の
正規形を求めましょう.
これには \verb|yang.nf| を用います.
\begin{verbatim}
[8] yang.nf((x2-x1)*dx1^2,G);
((-b1*x1*x2+b1*x1)*dx2+(((-a-b1+b2)*x1+c-b2-1)*x2+(a+b1)*x1^2+(-c+1)*x1)*dx1
-b1*a*x1*x2+b1*a*x1^2)/(x1-1)
\end{verbatim}
つまり計算結果は $\mathrm{mod}\ I$ で
\begin{eqnarray*}
t &\equiv&
\frac{((-a-b_1+b_2) x_1+c-b_2-1)x_2+(a+b_1)x_1^2+(-c+1) x_1}{x_1-1}\theta_1\\
&& \qquad
+ \frac{-b_1 x_1 x_2+b_1 x_1}{x_1-1}\theta_2
+ \frac{-b_1 a x_1 x_2+b_1 a x_1^2}{x_1-1}
\end{eqnarray*}

次に $F_1$ の Pfaff 形式を計算しましょう.

\begin{verbatim}
[9] Base=[1,dx1,dx2];
[10] Pf=yang.pf(Base,G);
[ [ 0 (1)/(x1) 0 ]
[ (-b1*a)/(x1-1)
(((-a-b1+b2)*x1+c-b2-1)*x2+(a+b1)*x1^2+(-c+1)*x1)/((x1^2-x1)*x2-x1^3+x1^2)
(-b1*x2+b1)/((x1-1)*x2-x1^2+x1) ]
[ 0 (-b2*x2)/(x1*x2-x1^2) (b1)/(x2-x1) ]
[ 0 0 (1)/(x2) ]
[ 0 (-b2)/(x2-x1) (b1*x1)/(x2^2-x1*x2) ]
[ (-b2*a)/(x2-1) (b2*x1-b2)/(x2^2+(-x1-1)*x2+x1)
((-a-b2)*x2^2+((a-b1+b2)*x1+c-1)*x2+(-c+b1+1)*x1)/(x2^3+(-x1-1)*x2^2+x1*x2) ] ]
[11] length(Pf);
2
[12] P1 = Pf[0];
[ 0 (1)/(x1) 0 ]
[ (-b1*a)/(x1-1)
(((-a-b1+b2)*x1+c-b2-1)*x2+(a+b1)*x1^2+(-c+1)*x1)/((x1^2-x1)*x2-x1^3+x1^2)
(-b1*x2+b1)/((x1-1)*x2-x1^2+x1) ]
[ 0 (-b2*x2)/(x1*x2-x1^2) (b1)/(x2-x1) ]
[13] P2 = Pf[1];
[ 0 0 (1)/(x2) ]
[ 0 (-b2)/(x2-x1) (b1*x1)/(x2^2-x1*x2) ]
[ (-b2*a)/(x2-1) (b2*x1-b2)/(x2^2+(-x1-1)*x2+x1)
((-a-b2)*x2^2+((a-b1+b2)*x1+c-1)*x2+(-c+b1+1)*x1)/(x2^3+(-x1-1)*x2^2+x1*x2) ]
\end{verbatim}

計算を説明します.
ランクが 3 であることに注意します.
基底を
\[
F =
\left(
\begin{array}{c}
f \\ S_1f \\ S_2 f
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
f_1 \\ f_2 \\ f_3
\end{array}
\right)
\]
ととり, $S_i f_j$ の正規形を計算することで Pfaff 形式を求めています.
\verb|Pf| は$3\times 3$-行列のリストで長さは $2$ です.
結果は,
\[
\frac{\partial}{\partial x_1}
\left(\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3\end{array}\right)
= P_1
\left(\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3\end{array}\right),
\qquad
\frac{\partial}{\partial x_2}
\left(\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3\end{array}\right)
= P_2
\left(\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3\end{array}\right)
\]
ここで,
\begin{eqnarray*}
P_1 &=&
\pmatrix{
0 & \frac{1}{x_1}& 0 \cr
\frac{-b_1 a}{x_1-1} &
\frac{((-a -b_1+ b_2) x_1+ c -b_2-1)
x_2+ (a+ b_1) x_1^2 + (-c+ 1) x_1}{(x_1^2 -x_1) x_2 -x_1^3 + x_1^2}
& \frac{-b_1 x_2+ b_1}{(x_1-1) x_2 -x_1^2 + x_1} \cr
0& \frac{-b_2 x_2}{x_1 x_2-x_1^2} & \frac{b_1}{x_2-x_1} \cr
}
, \\
P_2 &=&
\pmatrix{
0& 0& \frac{1}{x_2} \cr
0& \frac{-b_2}{x_2-x_1}& \frac{b_1 x_1}{x_2^2 -x_1 x_2} \cr
\frac{-b_2 a}{x_2-1}& \frac{b_2 x_1-
b_2}{x_2^2 + (-x_1-1) x_2+ x_1}
&
\frac{(-a-b_2) x_2^2 + ((a -b_1+b_2) x_1+ c-1) x_2
+ (-c+ b_1+ 1) x_1}{x_2^3 + (-x_1-1) x_2^2 + x_1 x_2} \cr
}
\end{eqnarray*}

\section{$\mathcal{A}$-超幾何微分差分系を計算してみる}

$\mathcal{A}$-超幾何微分差分系については専用の関数が用意されています.
まず行列 $A$ と パラメータベクトル $\beta$ が与えられたとき, オイラー微
分演算子の形で方程式系を求める必要があります.

\begin{verbatim}
[1] load("yang.rr");
[2] A=[[1,1,1],[0,1,2]];
[3] B=[s1,s2];
[4] GKZ=[A,B];
[[[1,1,1],[0,1,2]],[s1,s2]]
[5] yang.define_gkz_ring(GKZ);
[[x1,x2,x3,s1,s2],[0,0,0,1,1],[0,0,0,-1,-1]]
[6] E = yang.gkz(GKZ);
[[(1)*<<1,0,0,0,0>>+(1)*<<0,1,0,0,0>>+(1)*<<0,0,1,0,0>>+(-s1)*<<0,0,0,0,0>>,
(1)*<<0,1,0,0,0>>+(2)*<<0,0,1,0,0>>+(-s2)*<<0,0,0,0,0>>,
(1)*<<1,0,0,0,0>>+(-x1)*<<0,0,0,1,0>>,(-x2)*<<0,0,0,1,1>>+(1)*<<0,1,0,0,0>>,
(-x3)*<<0,0,0,1,2>>+(1)*<<0,0,1,0,0>>],[x1,x2,x3]]
\end{verbatim}
\verb|yang.define_gkz_ring| で微分差分環を定義する.  演算子の分散
多項式表示のうち, 最初の 3 つは$x_i$ に関するオイラー微分演算子, あとの
ふたつは $s_i$ に関するシフト演算子である.

\verb|yang.gkz| は
$\mathcal{A}$-超幾何微分差分系を出力する.
$E$ は $\mathcal{A}$-超幾何微分差分系である.


トーリックイデアルを計算するには次のようにする.
\begin{verbatim}
[7] IA=yang.gkz_toric(GKZ);
[(x1*x3)*<<0,2,0,0,0>>+(-x2^2)*<<1,0,1,0,0>>+(-x1*x3)*<<0,1,0,0,0>>]
\end{verbatim}

$IA$ はトーリックイデアルの生成元をオイラー微分演算子の形で書いたもので
ある.  通常の偏微分演算子による表示を得るには,

\begin{verbatim}
[8] yang.compute_toric_kernel(GKZ);
[[-_x2*_x0+_x1^2],[_x0,_x1,_x2,_t1,_t2]]
\end{verbatim}

あるいは \verb|yang.gkz_toric_partial| も使える.

\section{APIリファレンス}

yang.define\_ring(Ring)

環を定義し、yang の内部データ構造を初期化する。
以前の定義はスタックに積まれる。
環定義における変数の並び順によって、変数順序が定まるので注意すること。

Ring の 定義
\begin{verbatim}
Ring := '[' ( Vars | RingDef )  ']'
Vars := Variable [ , Variable ]*
RingDef := RingEl [ , RingEl ]*
RingEl := Keyword , '[' ( Vars | Pairs ) ']'
Keyword := "euler" | "differential" | "difference"
Pairs := Pair [ , Pair ]*
Pair := '[' Variable , ( Number | Variable ) ']'
\end{verbatim}

yang.pop\_ring()

以前の環定義を取り出す。現在の環定義は破棄される。

yang.operator(Variable)

Variable に対応する演算子を取り出す。
演算子は分散表現単項式で与えられる。

yang.constant(Number)

Number の環における表現を取り出す。この関数は yang.pfaffian で与える基底
を生成するのに有用である。

yang.multi(DPolynomial, DPolynomial)

演算子同士の積を計算する。

yang.nf(RDPolynomial, Ideal)
(別名: yang.reduction)

RDPolynomial を Ideal で簡約する。Ideal が グレブナ基底になっている場合には、
正規形になる。

\begin{verbatim}
RDPolynomial := DPolynomial | '[' DPolynomial , Polynomial ']'
\end{verbatim}

yang.buchberger(Ideal)

\begin{verbatim}
Ideal := '[' RDPolynomial [ , RDPolynomial ]* ']'
\end{verbatim}

イデアル Ideal のグレブナ基底を計算する。変数順序は
環定義で定まり、項順序は分散表現多項式の表現に依存している。
したがって、入力 Ideal をつくるまえに項順序を定めておく必要がある。

yang.stdmon(Ideal)

グレブナ基底 Ideal の標準単項式を計算する。

yang.pfaffian(Base, Ideal)

グレブナ基底 Ideal の生成するイデアルの定める微分方程式系に対応する、
Pfaff 方程式系を求める。Pfaff 方程式系の解の基底には Base を用いる。
(この関数は要改良である!!)

\begin{verbatim}
Base := '[' DMonomial [ , DMonomial ]* ']'
\end{verbatim}

\end{document}