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Diff for /OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi between version 1.25 and 1.26

version 1.25, 2020/09/07 05:16:41 version 1.26, 2020/09/08 09:16:57
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 @comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.24 2020/09/01 09:25:32 noro Exp $  @comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.25 2020/09/07 05:16:41 noro Exp $
 \BJP  \BJP
 @node グレブナ基底の計算,,, Top  @node グレブナ基底の計算,,, Top
 @chapter グレブナ基底の計算  @chapter グレブナ基底の計算
Line 75  representation, it is called the `recursive representa
Line 75  representation, it is called the `recursive representa
 \EG $(x+y+z)^2 = 1 \cdot x^2 + (2 \cdot y + (2 \cdot z)) \cdot x + ((2 \cdot z) \cdot y + (1 \cdot z^2 ))$  \EG $(x+y+z)^2 = 1 \cdot x^2 + (2 \cdot y + (2 \cdot z)) \cdot x + ((2 \cdot z) \cdot y + (1 \cdot z^2 ))$
 @end tex  @end tex
 @end iftex  @end iftex
 @ifinfo  @ifnottex
 @example  @example
 (x+y+z)^2 = 1 x^2 + (2 y + (2 z)) x + ((2 z) y + (1 z^2 ))  (x+y+z)^2 = 1 x^2 + (2 y + (2 z)) x + ((2 z) y + (1 z^2 ))
 @end example  @end example
 @end ifinfo  @end ifnottex
   
 @noindent  @noindent
 \BJP  \BJP
Line 103  something strange.)
Line 103  something strange.)
 \EG $(x+y+z)^2 = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot xy + 2 \cdot xz + 1 \cdot y^2 + 2 \cdot yz +1 \cdot z^2$  \EG $(x+y+z)^2 = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot xy + 2 \cdot xz + 1 \cdot y^2 + 2 \cdot yz +1 \cdot z^2$
 @end tex  @end tex
 @end iftex  @end iftex
 @ifinfo  @ifnottex
 @example  @example
 (x+y+z)^2 = 1 x^2 + 2 xy + 2 xz + 1 y^2 + 2 yz +1 z^2$  (x+y+z)^2 = 1 x^2 + 2 xy + 2 xz + 1 y^2 + 2 yz +1 z^2$
 @end example  @end example
 @end ifinfo  @end ifnottex
   
 @noindent  @noindent
 \BJP  \BJP
Line 4509  The result is a Groebner basis with respect to a Schre
Line 4509  The result is a Groebner basis with respect to a Schre
 @var{G} の先頭項からスタートして, Schreyer フレーム, すなわち Schreyer の自由分解に現れるグレブナー基底の,  @var{G} の先頭項からスタートして, Schreyer フレーム, すなわち Schreyer の自由分解に現れるグレブナー基底の,
 Schreyer 順序に関する先頭単項式を計算する.  Schreyer 順序に関する先頭単項式を計算する.
 @item  @item
 得られる結果は, 自由分解における F_i の標準基底の像の先頭単項式のリスト M_i のリスト  得られる結果は, 自由分解における @var{F}_i の標準基底の像の先頭単項式のリスト @var{M}_i のリスト
 [M_m,...,M_1] である.  [@var{M}_m,...,@var{M}_1] である.
 @item  @item
 副作用として, 各レベルにおける Schreyer 順序を設定するためのデータが作られる. このデータは  副作用として, 各レベルにおける Schreyer 順序を設定するためのデータが作られる. このデータは
 @code{dpm_set_schreyer_level} により, 各レベルの Schreyer 順序を設定する際に用いられる.  @code{dpm_set_schreyer_level} により, 各レベルの Schreyer 順序を設定する際に用いられる.
Line 4520  Schreyer 順序に関する先頭単項式を計算す
Line 4520  Schreyer 順序に関する先頭単項式を計算す
 This function computes the Schreyer frame starting from a Groebner basis @var{G}, that is the lists of leading monomials of Groebner bases  This function computes the Schreyer frame starting from a Groebner basis @var{G}, that is the lists of leading monomials of Groebner bases
 of syzygy modules with respect to Schreyer orderings in the Schreyer free resolution.  of syzygy modules with respect to Schreyer orderings in the Schreyer free resolution.
 @item  @item
 The result is a list @var{[Mm,...,M1]}, where @var{Mi} is the list of leading monomials of  The result is a list [@var{M}_m,...,@var{M}_1], where @var{M}_i is the list of leading monomials of
 the images of standard bases of the free module @var{Fi} in the Schreyer free resolution.  the images of standard bases of the free module @var{F}_i in the Schreyer free resolution.
 @item  @item
 As a by-product, data for setting a Schreyer order in each level are created. The date are  As a by-product, data for setting a Schreyer order in each level are created. The date are
 used by @code{dpm_set_schreyer_level} for setting a Schreyer order in each level.  used by @code{dpm_set_schreyer_level} for setting a Schreyer order in each level.
Line 4554  used by @code{dpm_set_schreyer_level} for setting a Sc
Line 4554  used by @code{dpm_set_schreyer_level} for setting a Sc
 @var{G} の先頭項からスタートして, Schreyer フレーム, すなわち Schreyer の自由分解に現れるグレブナー基底の,  @var{G} の先頭項からスタートして, Schreyer フレーム, すなわち Schreyer の自由分解に現れるグレブナー基底の,
 Schreyer 順序に関する先頭単項式を計算する.  Schreyer 順序に関する先頭単項式を計算する.
 @item  @item
 得られる結果は, 自由分解における F_i の標準基底の像の先頭単項式のリスト M_i のリスト  得られる結果は, 自由分解における @var{F}_i の標準基底の像の先頭単項式のリスト @var{M}_i のリスト
 [M_m,...,M_1] である.  [@var{M}_m,...,@var{M}_1] である.
 @item  @item
 副作用として, 各レベルにおける Schreyer 順序を設定するためのデータが作られる. このデータは  副作用として, 各レベルにおける Schreyer 順序を設定するためのデータが作られる. このデータは
 @code{dpm_set_schreyer_level} により, 各レベルの Schreyer 順序を設定する際に用いられる.  @code{dpm_set_schreyer_level} により, 各レベルの Schreyer 順序を設定する際に用いられる.
Line 4565  Schreyer 順序に関する先頭単項式を計算す
Line 4565  Schreyer 順序に関する先頭単項式を計算す
 This function computes the Schreyer frame starting from a Groebner basis @var{G}, that is the lists of leading monomials of Groebner bases  This function computes the Schreyer frame starting from a Groebner basis @var{G}, that is the lists of leading monomials of Groebner bases
 of syzygy modules with respect to Schreyer orderings in the Schreyer free resolution.  of syzygy modules with respect to Schreyer orderings in the Schreyer free resolution.
 @item  @item
 The result is a list @var{[Mm,...,M1]}, where @var{Mi} is the list of leading monomials of  The result is a list [@var{M}_m,...,@var{M}_1], where @var{M}_i is the list of leading monomials of
 the images of standard bases of the free module @var{Fi} in the Schreyer free resolution.  the images of standard bases of the free module @var{F}_i in the Schreyer free resolution.
 @item  @item
 As a by-product, data for setting a Schreyer order in each level are created. The date are  As a by-product, data for setting a Schreyer order in each level are created. The date are
 used by @code{dpm_set_schreyer_level} for setting a Schreyer order in each level.  used by @code{dpm_set_schreyer_level} for setting a Schreyer order in each level.
Line 4603  used by @code{dpm_set_schreyer_level} for setting a Sc
Line 4603  used by @code{dpm_set_schreyer_level} for setting a Sc
 @itemize @bullet  @itemize @bullet
 \BJP  \BJP
 @item  @item
 C[P], C[Q] の S-多項式を C で割った余り f が  @iftex
 ct C[P]-c't'C[Q]=g1C[1]+...+gLC[L]+f と表されるとき  @var{C[P]}, @var{C[Q]} の S-多項式を C で割った余り f が
 g'=ct e_P-c't' e_Q-(g1 e_1+...+gL e_L) に対し [g',f] を返す.  @tex
   $$ct C[P]-c't'C[Q]=g_1C[1]+\cdots+g_LC[L]+f$$
   @end tex
   と表されるとき
   @tex
   $$g'=ct e_P-c't' e_Q-(g_1 e_1+...+g_L e_L)$$
   @end tex
   に対し
   @tex
   [g',f]
   @end tex
   を返す.
   @end iftex
   @ifnottex
   @var{C[P]}, @var{C[Q]} の S-多項式を C で割った余り f が
   ct @var{C[P]}-c't'@var{C[Q]}=g_1@var{C[1]}+...+g_L@var{C[L]}+f
   と表されるとき
   g'=ct e_P-c't' e_Q-(g_1 e_1+...+g_L e_L)
   に対し
   [g',f]
   を返す.
   @end ifnottex
 @item  @item
 配列 @var{Z} の第 I 成分は, 先頭項の位置が @var{I} であるような @var{C} の元の配列インデックスのリストである.  配列 @var{Z} の第 I 成分は, 先頭項の位置が @var{I} であるような @var{C} の元の配列インデックスのリストである.
 \E  \E
 \BEG  \BEG
 @item  @item
   @iftex
 When the remainder of the S-polynomial of @var{C[P]} and @var{C[Q]} modulo @var{C}  When the remainder of the S-polynomial of @var{C[P]} and @var{C[Q]} modulo @var{C}
 is represented as @var{ct C[P]-c't'C[Q]=g1C[1]+...+gLC[L]+f},  is represented as
 this function returns a list @var{[g',f]}, where @var{g'=ct eP-c't' eQ-(g1 e1+...+gL eL}.  @tex
   $$ct C[P]-c't'C[Q]=g_1C[1]+\cdots+g_LC[L]+f$$
   @end tex
   this function returns a list
   @tex
   [g',f],
   @end tex
   where
   @tex
   $$g'=ct e_P-c't' e_Q-(g_1 e_1+...+g_L e_L).$$
   @end tex
   @end iftex
   @ifnottex
   When the remainder of the S-polynomial of @var{C[P]} and @var{C[Q]} modulo @var{C}
   is represented as
   ct @var{C[P]}-c't'@var{C[Q]}=g_1@var{C[1]}+...+g_L@var{C[L]}+f,
   this function returns a list [g',f], where
   g'=ct eP-c't' eQ-(g_1 e1+...+gL e_L).
   @end ifnottex
 @item  @item
 The @var{I}-th element of an array @var{Z} is a list of indices of elements of @var{C}  The @var{I}-th element of an array @var{Z} is a list of indices of elements of @var{C}
 whose leading position is @var{I}.  whose leading position is @var{I}.
Legend:
Removed from v.1.25  
changed lines
  Added in v.1.26
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