===================================================================
RCS file: /home/cvs/OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v
retrieving revision 1.8
retrieving revision 1.20
diff -u -p -r1.8 -r1.20
--- OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2003/04/21 08:30:01	1.8
+++ OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2017/08/31 04:54:36	1.20
@@ -1,4 +1,4 @@
-@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.7 2003/04/21 03:07:32 noro Exp $
+@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.19 2016/08/29 04:56:58 noro Exp $
 \BJP
 @node グレブナ基底の計算,,, Top
 @chapter グレブナ基底の計算
@@ -15,6 +15,7 @@
 * 基本的な函数::
 * 計算および表示の制御::
 * 項順序の設定::
+* Weight::
 * 有理式を係数とするグレブナ基底計算::
 * 基底変換::
 * Weyl 代数::
@@ -26,6 +27,7 @@
 * Fundamental functions::
 * Controlling Groebner basis computations::
 * Setting term orderings::
+* Weight::
 * Groebner basis computation with rational function coefficients::
 * Change of ordering::
 * Weyl algebra::
@@ -199,16 +201,16 @@ In an @b{Asir} session, it is displayed in the form li
 \EG and also can be input in such a form.
 
 \BJP
-@itemx 頭単項式 (head monomial)
 @item 頭項 (head term)
+@itemx 頭単項式 (head monomial)
 @itemx 頭係数 (head coefficient)
 分散表現多項式における各単項式は, 項順序により整列される. この時順
 序最大の単項式を頭単項式, それに現れる項, 係数をそれぞれ頭項, 頭係数
 と呼ぶ. 
 \E
 \BEG
-@itemx head monomial
 @item head term
+@itemx head monomial
 @itemx head coefficient
       
 Monomials in a distributed polynomial is sorted by a total order.
@@ -218,7 +220,45 @@ the head term and the head coefficient respectively.
 \E
 @end table
 
+@noindent
+ChangeLog
+@itemize @bullet
 \BJP
+@item 分散表現多項式は任意のオブジェクトを係数にもてるようになった.
+また加群のk成分の要素を次の形式 <<d0,d1,...:k>> で表現するようになった (2017-08-31).
+\E
+\BEG
+@item Distributed polynomials accept objects as coefficients.
+The k-th element of a free module is expressed as <<d0,d1,...:k>> (2017-08-31).
+\E
+@item 
+1.15 algnum.c,
+1.53 ctrl.c,
+1.66 dp-supp.c,
+1.105 dp.c,
+1.73 gr.c,
+1.4 reduct.c,
+1.16 _distm.c,
+1.17 dalg.c,
+1.52 dist.c,
+1.20 distm.c,
+1.8  gmpq.c,
+1.238 engine/nd.c,
+1.102  ca.h,
+1.411  version.h,
+1.28 cpexpr.c,
+1.42 pexpr.c,
+1.20 pexpr_body.c,
+1.40 spexpr.c,
+1.27 arith.c,
+1.77 eval.c,
+1.56 parse.h,
+1.37 parse.y,
+1.8 stdio.c,
+1.31 plotf.c
+@end itemize
+
+\BJP
 @node ファイルの読み込み,,, グレブナ基底の計算
 @section ファイルの読み込み
 \E
@@ -1055,6 +1095,139 @@ beforehand, and some heuristic trial may be inevitable
 \E
 
 \BJP
+@node Weight ,,, グレブナ基底の計算
+@section Weight
+\E
+\BEG
+@node Weight,,, Groebner basis computation
+@section Weight
+\E
+\BJP
+前節で紹介した項順序は, 各変数に weight (重み) を設定することで
+より一般的なものとなる. 
+\E
+\BEG
+Term orderings introduced in the previous section can be generalized
+by setting a weight for each variable.
+\E
+@example
+[0] dp_td(<<1,1,1>>);
+3
+[1] dp_set_weight([1,2,3])$
+[2] dp_td(<<1,1,1>>);
+6
+@end example
+\BJP
+単項式の全次数を計算する際, デフォルトでは
+各変数の指数の和を全次数とする. これは各変数の weight を 1 と
+考えていることに相当する. この例では, 第一, 第二, 第三変数の
+weight をそれぞれ 1,2,3 と指定している. このため, @code{<<1,1,1>>}
+の全次数 (以下ではこれを単項式の weight と呼ぶ) が @code{1*1+1*2+1*3=6} となる.
+weight を設定することで, 同じ項順序型のもとで異なる項順序が定義できる.
+例えば, weight をうまく設定することで, 多項式を weighted homogeneous
+にすることができる場合がある. 
+\E
+\BEG
+By default, the total degree of a monomial is equal to
+the sum of all exponents. This means that the weight for each variable
+is set to 1.
+In this example, the weights for the first, the second and the third
+variable are set to 1, 2 and 3 respectively.
+Therefore the total degree of @code{<<1,1,1>>} under this weight,
+which is called the weight of the monomial, is @code{1*1+1*2+1*3=6}.
+By setting weights, different term orderings can be set under a type of
+term ordeing. In some case a polynomial can 
+be made weighted homogeneous by setting an appropriate weight.
+\E
+
+\BJP
+各変数に対する weight をまとめたものを weight vector と呼ぶ.
+すべての成分が正であり, グレブナ基底計算において, 全次数の
+代わりに用いられるものを特に sugar weight と呼ぶことにする.
+sugar strategy において, 全次数の代わりに使われるからである.
+一方で, 各成分が必ずしも正とは限らない weight vector は,
+sugar weight として設定することはできないが, 項順序の一般化には
+有用である. これらは, 行列による項順序の設定にすでに現れて
+いる. すなわち, 項順序を定義する行列の各行が, 一つの weight vector
+と見なされる. また, ブロック順序は, 各ブロックの
+変数に対応する成分のみ 1 で他は 0 の weight vector による比較を
+最初に行ってから, 各ブロック毎の tie breaking を行うことに相当する.
+\E
+
+\BEG
+A list of weights for all variables is called a weight vector.
+A weight vector is called a sugar weight vector if
+its elements are all positive and it is used for computing
+a weighted total degree of a monomial, because such a weight
+is used instead of total degree in sugar strategy.
+On the other hand, a weight vector whose elements are not necessarily
+positive cannot be set as a sugar weight, but it is useful for
+generalizing term order. In fact, such a weight vector already
+appeared in a matrix order. That is, each row of a matrix defining
+a term order is regarded as a weight vector. A block order 
+is also considered as a refinement of comparison by weight vectors.
+It compares two terms by using a weight vector whose elements
+corresponding to variables in a block is 1 and 0 otherwise,
+then it applies a tie breaker.
+\E
+
+\BJP
+weight vector の設定は @code{dp_set_weight()} で行うことができる
+が, 項順序を指定する際の他のパラメタ (項順序型, 変数順序) と
+まとめて設定できることが望ましい. このため, 次のような形でも
+項順序が指定できる.
+\E
+\BEG
+A weight vector can be set by using @code{dp_set_weight()}.
+However it is more preferable if a weight vector can be set
+together with other parapmeters such as a type of term ordering
+and a variable order. This is realized as follows.
+\E
+
+@example
+[64] B=[x+y+z-6,x*y+y*z+z*x-11,x*y*z-6]$
+[65] dp_gr_main(B|v=[x,y,z],sugarweight=[3,2,1],order=0);
+[z^3-6*z^2+11*z-6,x+y+z-6,-y^2+(-z+6)*y-z^2+6*z-11]
+[66] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]);
+[x^3-6*x^2+11*x-6,x+y+z-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+[67] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[x,1,y,2,z,3]]);
+[x+y+z-6,x^3-6*x^2+11*x-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+@end example
+
+\BJP
+いずれの例においても, 項順序は option として指定されている.
+最初の例では @code{v} により変数順序を, @code{sugarweight} により
+sugar weight vector を, @code{order}により項順序型を指定している.
+二つ目の例における @code{order} の指定は matrix order と同様である.
+すなわち, 指定された weight vector を左から順に使って weight の比較
+を行う. 三つ目の例も同様であるが, ここでは weight vector の要素を
+変数毎に指定している. 指定がないものは 0 となる. 三つ目の例では,
+@code{order} による指定では項順序が決定しない. この場合には,
+tie breaker として全次数逆辞書式順序が自動的に設定される.
+この指定方法は, @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} など
+の組み込み関数でのみ可能であり, @code{gr} などのユーザ定義関数
+では未対応である.
+\E
+\BEG
+In each example, a term ordering is specified as options.
+In the first example, a variable order, a sugar weight vector
+and a type of term ordering are specified by options @code{v}, 
+@code{sugarweight} and @code{order} respectively.
+In the second example, an option @code{order} is used
+to set a matrix ordering. That is, the specified weight vectors
+are used from left to right for comparing terms.
+The third example shows a variant of specifying a weight vector,
+where each component of a weight vector is specified variable by variable,
+and unspecified components are set to zero. In this example,
+a term order is not determined only by the specified weight vector.
+In such a case a tie breaker by the graded reverse lexicographic ordering
+is set automatically.
+This type of a term ordering specification can be applied only to builtin
+functions such as @code{dp_gr_main()}, @code{dp_gr_mod_main()}, not to
+user defined functions such as @code{gr()}.
+\E
+
+\BJP
 @node 有理式を係数とするグレブナ基底計算,,, グレブナ基底の計算
 @section 有理式を係数とするグレブナ基底計算
 \E
@@ -1329,14 +1502,16 @@ Computation of the global b function is implemented as
 * tolexm minipolym::
 * dp_gr_main dp_gr_mod_main dp_gr_f_main dp_weyl_gr_main dp_weyl_gr_mod_main dp_weyl_gr_f_main::
 * dp_f4_main dp_f4_mod_main dp_weyl_f4_main dp_weyl_f4_mod_main::
+* nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace::
 * dp_gr_flags dp_gr_print::
 * dp_ord::
+* dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight::
 * dp_ptod::
 * dp_dtop::
 * dp_mod dp_rat::
 * dp_homo dp_dehomo::
 * dp_ptozp dp_prim::
-* dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod::
+* dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod::
 * dp_hm dp_ht dp_hc dp_rest::
 * dp_td dp_sugar::
 * dp_lcm::
@@ -1354,7 +1529,7 @@ Computation of the global b function is implemented as
 * lex_hensel_gsl tolex_gsl tolex_gsl_d::
 * primadec primedec::
 * primedec_mod::
-* bfunction generic_bfct::
+* bfunction bfct generic_bfct ann ann0::
 @end menu
 
 \JP @node gr hgr gr_mod,,, グレブナ基底に関する函数
@@ -1405,13 +1580,21 @@ Computation of the global b function is implemented as
 strategy による計算, @code{hgr()} は trace-lifting および
 斉次化による 矯正された sugar strategy による計算を行う. 
 @item
-@code{dgr()} は, @code{gr()}, @code{dgr()} を
+@code{dgr()} は, @code{gr()}, @code{hgr()} を
 子プロセスリスト @var{procs} の 2 つのプロセスにより同時に計算させ, 
 先に結果を返した方の結果を返す. 結果は同一であるが, どちらの方法が
 高速か一般には不明のため, 実際の経過時間を短縮するのに有効である. 
 @item
 @code{dgr()} で表示される時間は, この函数が実行されているプロセスでの
 CPU 時間であり, この函数の場合はほとんど通信のための時間である. 
+@item
+多項式リスト @var{plist} の要素が分散表現多項式の場合は
+結果も分散表現多項式のリストである.
+この場合, 引数の分散多項式は与えられた順序に従い @code{dp_sort} で
+ソートされてから計算される.
+多項式リストの要素が分散表現多項式の場合も
+変数の数分の不定元のリストを @var{vlist} 引数として与えないといけない
+(ダミー).
 \E
 \BEG
 @item 
@@ -1440,6 +1623,13 @@ Therefore this function is useful to reduce the actual
 The CPU time shown after an exection of @code{dgr()} indicates
 that of the master process, and most of the time corresponds to the time
 for communication.
+@item
+When the elements of @var{plist} are distributed polynomials,
+the result is also a list of distributed polynomials.
+In this case, firstly  the elements of @var{plist} is sorted by @code{dp_sort}
+and the Grobner basis computation is started.
+Variables must be given in @var{vlist} even in this case
+(these variables are dummy).
 \E
 @end itemize
 
@@ -2153,6 +2343,152 @@ except for lack of the argument for controlling homoge
 \EG @fref{Controlling Groebner basis computations}
 @end table
 
+\JP @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{nd_gr}, @code{nd_gr_trace}, @code{nd_f4}, @code{nd_f4_trace}, @code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace}
+@findex nd_gr
+@findex nd_gr_trace
+@findex nd_f4
+@findex nd_f4_trace
+@findex nd_weyl_gr
+@findex nd_weyl_gr_trace
+
+@table @t
+@item nd_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_f4(@var{plist},@var{vlist},@var{modular},@var{order})
+@itemx nd_f4_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_weyl_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_weyl_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+\JP :: グレブナ基底の計算 (組み込み函数)
+\EG :: Groebner basis computation (built-in functions)
+@end table
+
+@table @var
+@item return
+\JP リスト
+\EG list
+@item plist  vlist
+\JP リスト
+\EG list
+@item order
+\JP 数, リストまたは行列
+\EG number, list or matrix
+@item homo
+\JP フラグ
+\EG flag
+@item modular
+\JP フラグまたは素数
+\EG flag or prime
+@end table
+
+\BJP
+@itemize @bullet
+@item
+これらの函数は, グレブナ基底計算組み込み関数の新実装である.
+@item @code{nd_gr} は, @code{p} が 0 のとき有理数体上の Buchberger
+アルゴリズムを実行する. @code{p} が 2 以上の自然数のとき, GF(p) 上の
+Buchberger アルゴリズムを実行する.
+@item @code{nd_gr_trace} および @code{nd_f4_trace}
+は有理数体上で trace アルゴリズムを実行する.
+@var{p} が 0 または 1 のとき, 自動的に選ばれた素数を用いて, 成功する
+まで trace アルゴリズムを実行する.
+@var{p} が 2 以上のとき, trace はGF(p) 上で計算される. trace アルゴリズム
+が失敗した場合 0 が返される. @var{p} が負の場合, グレブナ基底チェックは
+行わない. この場合, @var{p} が -1 ならば自動的に選ばれた素数が,
+それ以外は指定された素数を用いてグレブナ基底候補の計算が行われる. 
+@code{nd_f4_trace} は, 各全次数について, ある有限体上で F4 アルゴリズム
+で行った結果をもとに, その有限体上で 0 でない基底を与える S-多項式のみを
+用いて行列生成を行い, その全次数における基底を生成する方法である. 得られる
+多項式集合はやはりグレブナ基底候補であり, @code{nd_gr_trace} と同様の
+チェックが行われる.
+@item
+@code{nd_f4} は @code{modular} が 0 のとき有理数体上の, @code{modular} が
+マシンサイズ素数のとき有限体上の F4 アルゴリズムを実行する.
+@item
+@var{plist} が多項式リストの場合, @var{plist}で生成されるイデアルのグレブナー基底が
+計算される. @var{plist} が多項式リストのリストの場合, 各要素は多項式環上の自由加群の元と見なされ,
+これらが生成する部分加群のグレブナー基底が計算される. 後者の場合, 項順序は加群に対する項順序を
+指定する必要がある. これは @var{[s,ord]} の形で指定する. @var{s} が 0 ならば TOP (Term Over Position),
+1 ならば POT (Position Over Term) を意味し, @var{ord} は多項式環の単項式に対する項順序である.
+@item
+@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} は Weyl 代数用である.
+@item
+@code{f4} 系関数以外はすべて有理関数係数の計算が可能である.
+@item
+一般に @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} より高速であるが,
+特に有限体上の場合顕著である.
+@end itemize
+\E
+
+\BEG
+@itemize @bullet
+@item
+These functions are new implementations for computing Groebner bases.
+@item @code{nd_gr} executes Buchberger algorithm over the rationals
+if  @code{p} is 0, and that over GF(p) if @code{p} is a prime.
+@item @code{nd_gr_trace} executes the trace algorithm over the rationals.
+If @code{p} is 0 or 1, the trace algorithm is executed until it succeeds
+by using automatically chosen primes.
+If @code{p} a positive prime, 
+the trace is comuted over GF(p). 
+If the trace algorithm fails 0 is returned.
+If @code{p} is negative, 
+the Groebner basis check and ideal-membership check are omitted.
+In this case, an automatically chosen prime if @code{p} is 1,
+otherwise the specified prime is used to compute a Groebner basis
+candidate.
+Execution of @code{nd_f4_trace} is done as follows:
+For each total degree, an F4-reduction of S-polynomials over a finite field
+is done, and S-polynomials which give non-zero basis elements are gathered.
+Then F4-reduction over Q is done for the gathered S-polynomials.
+The obtained polynomial set is a Groebner basis candidate and the same
+check procedure as in the case of @code{nd_gr_trace} is done.
+@item
+@code{nd_f4} executes F4 algorithm over Q if @code{modular} is equal to 0,
+or over a finite field GF(@code{modular}) 
+if @code{modular} is a prime number of machine size (<2^29).
+If @var{plist} is a list of polynomials, then a Groebner basis of the ideal generated by @var{plist}
+is computed. If @var{plist} is a list of lists of polynomials, then each list of polynomials are regarded
+as an element of a free module over a polynomial ring and a Groebner basis of the sub-module generated by @var{plist}
+in the free module. In the latter case a term order in the free module should be specified.
+This is specified by @var{[s,ord]}. If @var{s} is 0 then it means TOP (Term Over Position).
+If @var{s} is 1 then it means POT 1 (Position Over Term). @var{ord} is a term order in the base polynomial ring.
+@item
+@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} are for Weyl algebra computation.
+@item
+Functions except for F4 related ones can handle rational coeffient cases.
+@item
+In general these functions are more efficient than 
+@code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main}, especially over finite fields.
+@end itemize
+\E
+
+@example
+[38] load("cyclic")$
+[49] C=cyclic(7)$
+[50] V=vars(C)$
+[51] cputime(1)$
+[52] dp_gr_mod_main(C,V,0,31991,0)$
+26.06sec + gc : 0.313sec(26.4sec)
+[53] nd_gr(C,V,31991,0)$
+ndv_alloc=1477188
+5.737sec + gc : 0.1837sec(5.921sec)
+[54] dp_f4_mod_main(C,V,31991,0)$  
+3.51sec + gc : 0.7109sec(4.221sec)
+[55] nd_f4(C,V,31991,0)$
+1.906sec + gc : 0.126sec(2.032sec)
+@end example
+
+@table @t
+\JP @item 参照
+\EG @item References
+@fref{dp_ord},
+@fref{dp_gr_flags dp_gr_print},
+\JP @fref{計算および表示の制御}.
+\EG @fref{Controlling Groebner basis computations}
+@end table
+
 \JP @node dp_gr_flags dp_gr_print,,, グレブナ基底に関する函数
 \EG @node dp_gr_flags dp_gr_print,,, Functions for Groebner basis computation
 @subsection @code{dp_gr_flags}, @code{dp_gr_print}
@@ -2329,6 +2665,79 @@ when functions other than top level functions are call
 \EG @fref{Setting term orderings}
 @end table
 
+\JP @node dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{dp_set_weight}, @code{dp_set_top_weight}, @code{dp_weyl_set_weight}
+@findex dp_set_weight
+@findex dp_set_top_weight
+@findex dp_weyl_set_weight
+
+@table @t
+@item dp_set_weight([@var{weight}])
+\JP :: sugar weight の設定, 参照
+\EG :: Set and show the sugar weight.
+@item dp_set_top_weight([@var{weight}])
+\JP :: top weight の設定, 参照
+\EG :: Set and show the top weight.
+@item dp_weyl_set_weight([@var{weight}])
+\JP :: weyl weight の設定, 参照
+\EG :: Set and show the weyl weight.
+@end table
+
+@table @var
+@item return
+\JP ベクトル
+\EG a vector
+@item weight
+\JP 整数のリストまたはベクトル
+\EG a list or vector of integers
+@end table
+
+@itemize @bullet
+\BJP
+@item
+@code{dp_set_weight} は sugar weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, 
+現在設定されている sugar weight を返す. sugar weight は正整数を成分とするベクトルで,
+各変数の重みを表す. 次数つき順序において, 単項式の次数を計算する際に用いられる.
+斉次化変数用に, 末尾に 1 を付け加えておくと安全である.
+@item
+@code{dp_set_top_weight} は top weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, 
+現在設定されている top weight を返す. top weight が設定されているとき, 
+まず top weight による単項式比較を先に行う. tie breaker として現在設定されている
+項順序が用いられるが, この比較には top weight は用いられない.
+
+@item
+@code{dp_weyl_set_weight} は weyl weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, 
+現在設定されている weyl weight を返す. weyl weight w を設定すると,
+項順序型 11 での計算において, (-w,w) を top weight, tie breaker を graded reverse lex
+とした項順序が設定される.
+\E
+\BEG
+@item
+@code{dp_set_weight} sets the sugar weight=@var{weight}. It returns the current sugar weight.
+A sugar weight is a vector with positive integer components and it represents the weights of variables.
+It is used for computing the weight of a monomial in a graded ordering.
+It is recommended to append a component 1 at the end of the weight vector for a homogenizing variable.
+@item
+@code{dp_set_top_weight} sets the top weight=@var{weight}. It returns the current top weight.
+It a top weight is set, the weights of monomials under the top weight are firstly compared.
+If the the weights are equal then the current term ordering is applied as a tie breaker, but
+the top weight is not used in the tie breaker.
+
+@item
+@code{dp_weyl_set_weight} sets the weyl weigh=@var{weight}. It returns the current weyl weight.
+If a weyl weight w is set, in the comparsion by the term order type 11, a term order with 
+the top weight=(-w,w) and the tie breaker=graded reverse lex is applied.
+\E
+@end itemize
+
+@table @t
+\JP @item 参照
+\EG @item References
+@fref{Weight}
+@end table
+
+
 \JP @node dp_ptod,,, グレブナ基底に関する函数
 \EG @node dp_ptod,,, Functions for Groebner basis computation
 @subsection @code{dp_ptod}
@@ -2511,7 +2920,7 @@ converting the coefficients into elements of a finite 
 @table @t
 \JP @item 参照
 \EG @item References
-@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod},
+@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod},
 @fref{subst psubst},
 @fref{setmod}.
 @end table
@@ -2602,7 +3011,7 @@ These are used internally in @code{hgr()} etc.
 into an integral distributed polynomial such that GCD of all its coefficients
 is 1.
 \E
-@itemx dp_prim(@var{dpoly})
+@item dp_prim(@var{dpoly})
 \JP :: 有理式倍して係数を整数係数多項式係数かつ係数の多項式 GCD を 1 にする. 
 \BEG
 :: Converts a distributed polynomial @var{poly} with rational function
@@ -2655,17 +3064,21 @@ polynomial contents included in the coefficients are n
 @fref{ptozp}.
 @end table
 
-\JP @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod,,, グレブナ基底に関する函数
-\EG @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod,,, Functions for Groebner basis computation
+\JP @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod,,, Functions for Groebner basis computation
 @subsection @code{dp_nf}, @code{dp_nf_mod}, @code{dp_true_nf}, @code{dp_true_nf_mod}
 @findex dp_nf
 @findex  dp_true_nf
 @findex dp_nf_mod
 @findex  dp_true_nf_mod
+@findex dp_weyl_nf
+@findex dp_weyl_nf_mod
 
 @table @t
 @item dp_nf(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce})
+@item dp_weyl_nf(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce})
 @item dp_nf_mod(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce},@var{mod})
+@item dp_weyl_nf_mod(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce},@var{mod})
 \JP :: 分散表現多項式の正規形を求める. (結果は定数倍されている可能性あり)
 
 \BEG
@@ -2707,6 +3120,8 @@ is returned in such a list as @code{[numerator, denomi
 @item
 分散表現多項式 @var{dpoly} の正規形を求める. 
 @item
+名前に weyl を含む関数はワイル代数における正規形計算を行う. 以下の説明は weyl を含むものに対しても同様に成立する.
+@item
 @code{dp_nf_mod()}, @code{dp_true_nf_mod()} の入力は, @code{dp_mod()} など
 により, 有限体上の分散表現多項式になっていなければならない. 
 @item
@@ -2739,6 +3154,9 @@ is returned in such a list as @code{[numerator, denomi
 @item
 Computes the normal form of a distributed polynomial.
 @item
+Functions whose name contain @code{weyl} compute normal forms in Weyl algebra. The description below also applies to
+the functions for Weyl algebra.
+@item
 @code{dp_nf_mod()} and @code{dp_true_nf_mod()} require
 distributed polynomials with coefficients in a finite field as arguments.
 @item
@@ -3520,7 +3938,7 @@ refer to @code{dp_true_nf()} and @code{dp_true_nf_mod(
 @fref{dp_ptod},
 @fref{dp_dtop},
 @fref{dp_ord},
-@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod}.
+@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod}.
 @end table
 
 \JP @node p_terms,,, グレブナ基底に関する函数
@@ -3918,21 +4336,32 @@ execute @code{dp_gr_print(2)} in advance.
 @fref{dp_gr_flags dp_gr_print}.
 @end table
 
-\JP @node bfunction generic_bfct,,, グレブナ基底に関する函数
-\EG @node bfunction generic_bfct,,, Functions for Groebner basis computation
-@subsection @code{bfunction}, @code{generic_bfct}
+\JP @node bfunction bfct generic_bfct ann ann0,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node bfunction bfct generic_bfct ann ann0,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{bfunction}, @code{bfct}, @code{generic_bfct}, @code{ann}, @code{ann0}
 @findex bfunction
+@findex bfct
 @findex generic_bfct
+@findex ann
+@findex ann0
 
 @table @t
 @item bfunction(@var{f})
-@item generic_bfct(@var{plist},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})
-\JP :: b 関数の計算
-\EG :: Computes the global b function of a polynomial or an ideal
+@itemx bfct(@var{f})
+@itemx generic_bfct(@var{plist},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})
+\JP :: @var{b} 関数の計算
+\EG :: Computes the global @var{b} function of a polynomial or an ideal
+@item ann(@var{f})
+@itemx ann0(@var{f})
+\JP :: 多項式のベキの annihilator の計算
+\EG :: Computes the annihilator of a power of polynomial
 @end table
+
 @table @var
 @item return
-@itemx f
+\JP 多項式またはリスト
+\EG polynomial or list
+@item f
 \JP 多項式
 \EG polynomial
 @item plist
@@ -3946,29 +4375,44 @@ execute @code{dp_gr_print(2)} in advance.
 @itemize @bullet
 \BJP
 @item @samp{bfct} で定義されている. 
-@item @code{bfunction(@var{f})} は多項式 @var{f} の global b 関数 @code{b(s)} を
+@item @code{bfunction(@var{f})}, @code{bfct(@var{f})} は多項式 @var{f} の global @var{b} 関数 @code{b(s)} を
 計算する. @code{b(s)} は, Weyl 代数 @code{D} 上の一変数多項式環 @code{D[s]}
 の元 @code{P(x,s)} が存在して, @code{P(x,s)f^(s+1)=b(s)f^s} を満たすような
 多項式 @code{b(s)} の中で, 次数が最も低いものである. 
 @item @code{generic_bfct(@var{f},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})}
 は, @var{plist} で生成される @code{D} の左イデアル @code{I} の, 
-ウェイト @var{weight} に関する global b 関数を計算する. 
+ウェイト @var{weight} に関する global @var{b} 関数を計算する. 
 @var{vlist} は @code{x}-変数, @var{vlist} は対応する @code{D}-変数
 を順に並べる. 
+@item @code{bfunction} と @code{bfct} では用いているアルゴリズムが
+異なる. どちらが高速かは入力による.
+@item @code{ann(@var{f})} は, @code{@var{f}^s} の annihilator ideal
+の生成系を返す. @code{ann(@var{f})} は, @code{[@var{a},@var{list}]}
+なるリストを返す. ここで, @var{a} は @var{f} の @var{b} 関数の最小整数根,
+@var{list} は @code{ann(@var{f})} の結果の @code{s}$ に, @var{a} を
+代入したものである.
 @item 詳細については, [Saito,Sturmfels,Takayama] を見よ. 
 \E
 \BEG
 @item These functions are defined in @samp{bfct}.
-@item @code{bfunction(@var{f})} computes the global b-function @code{b(s)} of
+@item @code{bfunction(@var{f})} and @code{bfct(@var{f})} compute the global @var{b}-function @code{b(s)} of
 a polynomial @var{f}.
 @code{b(s)} is a polynomial of the minimal degree 
 such that there exists @code{P(x,s)} in D[s], which is a polynomial
 ring over Weyl algebra @code{D}, and @code{P(x,s)f^(s+1)=b(s)f^s} holds.
 @item @code{generic_bfct(@var{f},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})}
-computes the global b-function of a left ideal @code{I} in @code{D}
+computes the global @var{b}-function of a left ideal @code{I} in @code{D}
 generated by @var{plist}, with respect to @var{weight}.
 @var{vlist} is the list of @code{x}-variables, 
 @var{vlist} is the list of corresponding @code{D}-variables.
+@item @code{bfunction(@var{f})} and @code{bfct(@var{f})} implement
+different algorithms and the efficiency depends on inputs.
+@item @code{ann(@var{f})} returns the generator set of the annihilator
+ideal of @code{@var{f}^s}.
+@code{ann(@var{f})} returns a list @code{[@var{a},@var{list}]},
+where @var{a} is the minimal integral root of the global @var{b}-function
+of @var{f}, and @var{list} is a list of polynomials obtained by
+substituting @code{s} in @code{ann(@var{f})} with @var{a}.
 @item See [Saito,Sturmfels,Takayama] for the details.
 \E
 @end itemize
@@ -3984,6 +4428,11 @@ x*y*dt+5*z^4*dt+dz,-x^4-z*y*x-y^4-z^5+t]$
 [219] generic_bfct(F,[t,z,y,x],[dt,dz,dy,dx],[1,0,0,0]);
 20000*s^10-70000*s^9+101750*s^8-79375*s^7+35768*s^6-9277*s^5
 +1278*s^4-72*s^3
+[220] P=x^3-y^2$
+[221] ann(P);
+[2*dy*x+3*dx*y^2,-3*dx*x-2*dy*y+6*s]
+[222] ann0(P);
+[-1,[2*dy*x+3*dx*y^2,-3*dx*x-2*dy*y-6]]
 @end example
 
 @table @t