===================================================================
RCS file: /home/cvs/OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v
retrieving revision 1.13
retrieving revision 1.17
diff -u -p -r1.13 -r1.17
--- OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2004/09/13 09:23:30	1.13
+++ OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2006/09/06 23:53:31	1.17
@@ -1,4 +1,4 @@
-@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.12 2003/12/27 11:52:07 takayama Exp $
+@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.16 2004/10/20 00:30:55 fujiwara Exp $
 \BJP
 @node グレブナ基底の計算,,, Top
 @chapter グレブナ基底の計算
@@ -1069,7 +1069,7 @@ beforehand, and some heuristic trial may be inevitable
 より一般的なものとなる. 
 \E
 \BEG
-Term orders introduced in the previous section can be generalized
+Term orderings introduced in the previous section can be generalized
 by setting a weight for each variable.
 \E
 @example
@@ -1097,9 +1097,9 @@ In this example, the weights for the first, the second
 variable are set to 1, 2 and 3 respectively.
 Therefore the total degree of @code{<<1,1,1>>} under this weight,
 which is called the weight of the monomial, is @code{1*1+1*2+1*3=6}.
-By setting weights, different term orders can be set under a term
-order type. For example, a polynomial can be made weighted homogeneous
-by setting an appropriate weight.
+By setting weights, different term orderings can be set under a type of
+term ordeing. In some case a polynomial can 
+be made weighted homogeneous by setting an appropriate weight.
 \E
 
 \BJP
@@ -1131,10 +1131,65 @@ is also considered as a refinement of comparison by we
 It compares two terms by using a weight vector whose elements
 corresponding to variables in a block is 1 and 0 otherwise,
 then it applies a tie breaker.
+\E
 
+\BJP
+weight vector の設定は @code{dp_set_weight()} で行うことができる
+が, 項順序を指定する際の他のパラメタ (項順序型, 変数順序) と
+まとめて設定できることが望ましい. このため, 次のような形でも
+項順序が指定できる.
 \E
+\BEG
+A weight vector can be set by using @code{dp_set_weight()}.
+However it is more preferable if a weight vector can be set
+together with other parapmeters such as a type of term ordering
+and a variable order. This is realized as follows.
+\E
 
+@example
+[64] B=[x+y+z-6,x*y+y*z+z*x-11,x*y*z-6]$
+[65] dp_gr_main(B|v=[x,y,z],sugarweight=[3,2,1],order=0);
+[z^3-6*z^2+11*z-6,x+y+z-6,-y^2+(-z+6)*y-z^2+6*z-11]
+[66] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]);
+[x^3-6*x^2+11*x-6,x+y+z-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+[67] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[x,1,y,2,z,3]]);
+[x+y+z-6,x^3-6*x^2+11*x-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+@end example
+
 \BJP
+いずれの例においても, 項順序は option として指定されている.
+最初の例では @code{v} により変数順序を, @code{sugarweight} により
+sugar weight vector を, @code{order}により項順序型を指定している.
+二つ目の例における @code{order} の指定は matrix order と同様である.
+すなわち, 指定された weight vector を左から順に使って weight の比較
+を行う. 三つ目の例も同様であるが, ここでは weight vector の要素を
+変数毎に指定している. 指定がないものは 0 となる. 三つ目の例では,
+@code{order} による指定では項順序が決定しない. この場合には,
+tie breaker として全次数逆辞書式順序が自動的に設定される.
+この指定方法は, @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} など
+の組み込み関数でのみ可能であり, @code{gr} などのユーザ定義関数
+では未対応である.
+\E
+\BEG
+In each example, a term ordering is specified as options.
+In the first example, a variable order, a sugar weight vector
+and a type of term ordering are specified by options @code{v}, 
+@code{sugarweight} and @code{order} respectively.
+In the second example, an option @code{order} is used
+to set a matrix ordering. That is, the specified weight vectors
+are used from left to right for comparing terms.
+The third example shows a variant of specifying a weight vector,
+where each component of a weight vector is specified variable by variable,
+and unspecified components are set to zero. In this example,
+a term order is not determined only by the specified weight vector.
+In such a case a tie breaker by the graded reverse lexicographic ordering
+is set automatically.
+This type of a term ordering specification can be applied only to builtin
+functions such as @code{dp_gr_main()}, @code{dp_gr_mod_main()}, not to
+user defined functions such as @code{gr()}.
+\E
+
+\BJP
 @node 有理式を係数とするグレブナ基底計算,,, グレブナ基底の計算
 @section 有理式を係数とするグレブナ基底計算
 \E
@@ -1409,6 +1464,7 @@ Computation of the global b function is implemented as
 * tolexm minipolym::
 * dp_gr_main dp_gr_mod_main dp_gr_f_main dp_weyl_gr_main dp_weyl_gr_mod_main dp_weyl_gr_f_main::
 * dp_f4_main dp_f4_mod_main dp_weyl_f4_main dp_weyl_f4_mod_main::
+* nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace::
 * dp_gr_flags dp_gr_print::
 * dp_ord::
 * dp_ptod::
@@ -1485,7 +1541,7 @@ Computation of the global b function is implemented as
 strategy による計算, @code{hgr()} は trace-lifting および
 斉次化による 矯正された sugar strategy による計算を行う. 
 @item
-@code{dgr()} は, @code{gr()}, @code{dgr()} を
+@code{dgr()} は, @code{gr()}, @code{hgr()} を
 子プロセスリスト @var{procs} の 2 つのプロセスにより同時に計算させ, 
 先に結果を返した方の結果を返す. 結果は同一であるが, どちらの方法が
 高速か一般には不明のため, 実際の経過時間を短縮するのに有効である. 
@@ -2244,6 +2300,140 @@ except for lack of the argument for controlling homoge
 @fref{dp_ord},
 @fref{dp_gr_flags dp_gr_print},
 @fref{gr hgr gr_mod},
+\JP @fref{計算および表示の制御}.
+\EG @fref{Controlling Groebner basis computations}
+@end table
+
+\JP @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{nd_gr}, @code{nd_gr_trace}, @code{nd_f4}, @code{nd_f4_trace}, @code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace}
+@findex nd_gr
+@findex nd_gr_trace
+@findex nd_f4
+@findex nd_f4_trace
+@findex nd_weyl_gr
+@findex nd_weyl_gr_trace
+
+@table @t
+@item nd_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_f4(@var{plist},@var{vlist},@var{modular},@var{order})
+@itemx nd_f4_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+@item nd_weyl_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_weyl_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+\JP :: グレブナ基底の計算 (組み込み函数)
+\EG :: Groebner basis computation (built-in functions)
+@end table
+
+@table @var
+@item return
+\JP リスト
+\EG list
+@item plist  vlist
+\JP リスト
+\EG list
+@item order
+\JP 数, リストまたは行列
+\EG number, list or matrix
+@item homo
+\JP フラグ
+\EG flag
+@item modular
+\JP フラグまたは素数
+\EG flag or prime
+@end table
+
+\BJP
+@itemize @bullet
+@item
+これらの函数は, グレブナ基底計算組み込み関数の新実装である.
+@item @code{nd_gr} は, @code{p} が 0 のとき有理数体上の Buchberger
+アルゴリズムを実行する. @code{p} が 2 以上の自然数のとき, GF(p) 上の
+Buchberger アルゴリズムを実行する.
+@item @code{nd_gr_trace} および @code{nd_f4_trace}
+は有理数体上で trace アルゴリズムを実行する.
+@code{p} が 0 または 1 のとき, 自動的に選ばれた素数を用いて, 成功する
+まで trace アルゴリズムを実行する.
+@code{p} が 2 以上のとき, trace はGF(p) 上で計算される. trace アルゴリズム
+が失敗した場合 0 が返される. @code{p} が負の場合, グレブナ基底チェックは
+行わない. この場合, @code{p} が -1 ならば自動的に選ばれた素数が,
+それ以外は指定された素数を用いてグレブナ基底候補の計算が行われる. 
+@code{nd_f4_trace} は, 各全次数について, ある有限体上で F4 アルゴリズム
+で行った結果をもとに, その有限体上で 0 でない基底を与える S-多項式のみを
+用いて行列生成を行い, その全次数における基底を生成する方法である. 得られる
+多項式集合はやはりグレブナ基底候補であり, @code{nd_gr_trace} と同様の
+チェックが行われる.
+@item
+@code{nd_f4} は @code{modular} が 0 のとき有理数体上の, @code{modular} が
+マシンサイズ素数のとき有限体上の F4 アルゴリズムを実行する.
+@item
+@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} は Weyl 代数用である.
+@item
+いずれの関数も, 有理関数体上の計算は未対応である.
+@item
+一般に @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} より高速であるが,
+特に有限体上の場合顕著である.
+@end itemize
+\E
+
+\BEG
+@itemize @bullet
+@item
+These functions are new implementations for computing Groebner bases.
+@item @code{nd_gr} executes Buchberger algorithm over the rationals
+if  @code{p} is 0, and that over GF(p) if @code{p} is a prime.
+@item @code{nd_gr_trace} executes the trace algorithm over the rationals.
+If @code{p} is 0 or 1, the trace algorithm is executed until it succeeds
+by using automatically chosen primes.
+If @code{p} a positive prime, 
+the trace is comuted over GF(p). 
+If the trace algorithm fails 0 is returned.
+If @code{p} is negative, 
+the Groebner basis check and ideal-membership check are omitted.
+In this case, an automatically chosen prime if @code{p} is 1,
+otherwise the specified prime is used to compute a Groebner basis
+candidate.
+Execution of @code{nd_f4_trace} is done as follows:
+For each total degree, an F4-reduction of S-polynomials over a finite field
+is done, and S-polynomials which give non-zero basis elements are gathered.
+Then F4-reduction over Q is done for the gathered S-polynomials.
+The obtained polynomial set is a Groebner basis candidate and the same
+check procedure as in the case of @code{nd_gr_trace} is done.
+@item
+@code{nd_f4} executes F4 algorithm over Q if @code{modular} is equal to 0,
+or over a finite field GF(@code{modular}) 
+if @code{modular} is a prime number of machine size (<2^29).
+@item
+@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} are for Weyl algebra computation.
+@item
+Each function cannot handle rational function coefficient cases.
+@item
+In general these functions are more efficient than 
+@code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main}, especially over finite fields.
+@end itemize
+\E
+
+@example
+[38] load("cyclic")$
+[49] C=cyclic(7)$
+[50] V=vars(C)$
+[51] cputime(1)$
+[52] dp_gr_mod_main(C,V,0,31991,0)$
+26.06sec + gc : 0.313sec(26.4sec)
+[53] nd_gr(C,V,31991,0)$
+ndv_alloc=1477188
+5.737sec + gc : 0.1837sec(5.921sec)
+[54] dp_f4_mod_main(C,V,31991,0)$  
+3.51sec + gc : 0.7109sec(4.221sec)
+[55] nd_f4(C,V,31991,0)$
+1.906sec + gc : 0.126sec(2.032sec)
+@end example
+
+@table @t
+\JP @item 参照
+\EG @item References
+@fref{dp_ord},
+@fref{dp_gr_flags dp_gr_print},
 \JP @fref{計算および表示の制御}.
 \EG @fref{Controlling Groebner basis computations}
 @end table