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RCS file: /home/cvs/OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v
retrieving revision 1.13
retrieving revision 1.18
diff -u -p -r1.13 -r1.18
--- OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2004/09/13 09:23:30	1.13
+++ OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2016/03/24 20:58:50	1.18
@@ -1,4 +1,4 @@
-@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.12 2003/12/27 11:52:07 takayama Exp $
+@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.17 2006/09/06 23:53:31 noro Exp $
 \BJP
 @node グレブナ基底の計算,,, Top
 @chapter グレブナ基底の計算
@@ -1069,7 +1069,7 @@ beforehand, and some heuristic trial may be inevitable
 より一般的なものとなる. 
 \E
 \BEG
-Term orders introduced in the previous section can be generalized
+Term orderings introduced in the previous section can be generalized
 by setting a weight for each variable.
 \E
 @example
@@ -1097,9 +1097,9 @@ In this example, the weights for the first, the second
 variable are set to 1, 2 and 3 respectively.
 Therefore the total degree of @code{<<1,1,1>>} under this weight,
 which is called the weight of the monomial, is @code{1*1+1*2+1*3=6}.
-By setting weights, different term orders can be set under a term
-order type. For example, a polynomial can be made weighted homogeneous
-by setting an appropriate weight.
+By setting weights, different term orderings can be set under a type of
+term ordeing. In some case a polynomial can 
+be made weighted homogeneous by setting an appropriate weight.
 \E
 
 \BJP
@@ -1131,10 +1131,65 @@ is also considered as a refinement of comparison by we
 It compares two terms by using a weight vector whose elements
 corresponding to variables in a block is 1 and 0 otherwise,
 then it applies a tie breaker.
+\E
 
+\BJP
+weight vector の設定は @code{dp_set_weight()} で行うことができる
+が, 項順序を指定する際の他のパラメタ (項順序型, 変数順序) と
+まとめて設定できることが望ましい. このため, 次のような形でも
+項順序が指定できる.
 \E
+\BEG
+A weight vector can be set by using @code{dp_set_weight()}.
+However it is more preferable if a weight vector can be set
+together with other parapmeters such as a type of term ordering
+and a variable order. This is realized as follows.
+\E
 
+@example
+[64] B=[x+y+z-6,x*y+y*z+z*x-11,x*y*z-6]$
+[65] dp_gr_main(B|v=[x,y,z],sugarweight=[3,2,1],order=0);
+[z^3-6*z^2+11*z-6,x+y+z-6,-y^2+(-z+6)*y-z^2+6*z-11]
+[66] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]);
+[x^3-6*x^2+11*x-6,x+y+z-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+[67] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[x,1,y,2,z,3]]);
+[x+y+z-6,x^3-6*x^2+11*x-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+@end example
+
 \BJP
+いずれの例においても, 項順序は option として指定されている.
+最初の例では @code{v} により変数順序を, @code{sugarweight} により
+sugar weight vector を, @code{order}により項順序型を指定している.
+二つ目の例における @code{order} の指定は matrix order と同様である.
+すなわち, 指定された weight vector を左から順に使って weight の比較
+を行う. 三つ目の例も同様であるが, ここでは weight vector の要素を
+変数毎に指定している. 指定がないものは 0 となる. 三つ目の例では,
+@code{order} による指定では項順序が決定しない. この場合には,
+tie breaker として全次数逆辞書式順序が自動的に設定される.
+この指定方法は, @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} など
+の組み込み関数でのみ可能であり, @code{gr} などのユーザ定義関数
+では未対応である.
+\E
+\BEG
+In each example, a term ordering is specified as options.
+In the first example, a variable order, a sugar weight vector
+and a type of term ordering are specified by options @code{v}, 
+@code{sugarweight} and @code{order} respectively.
+In the second example, an option @code{order} is used
+to set a matrix ordering. That is, the specified weight vectors
+are used from left to right for comparing terms.
+The third example shows a variant of specifying a weight vector,
+where each component of a weight vector is specified variable by variable,
+and unspecified components are set to zero. In this example,
+a term order is not determined only by the specified weight vector.
+In such a case a tie breaker by the graded reverse lexicographic ordering
+is set automatically.
+This type of a term ordering specification can be applied only to builtin
+functions such as @code{dp_gr_main()}, @code{dp_gr_mod_main()}, not to
+user defined functions such as @code{gr()}.
+\E
+
+\BJP
 @node 有理式を係数とするグレブナ基底計算,,, グレブナ基底の計算
 @section 有理式を係数とするグレブナ基底計算
 \E
@@ -1409,14 +1464,16 @@ Computation of the global b function is implemented as
 * tolexm minipolym::
 * dp_gr_main dp_gr_mod_main dp_gr_f_main dp_weyl_gr_main dp_weyl_gr_mod_main dp_weyl_gr_f_main::
 * dp_f4_main dp_f4_mod_main dp_weyl_f4_main dp_weyl_f4_mod_main::
+* nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace::
 * dp_gr_flags dp_gr_print::
 * dp_ord::
+* dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight::
 * dp_ptod::
 * dp_dtop::
 * dp_mod dp_rat::
 * dp_homo dp_dehomo::
 * dp_ptozp dp_prim::
-* dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod::
+* dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod::
 * dp_hm dp_ht dp_hc dp_rest::
 * dp_td dp_sugar::
 * dp_lcm::
@@ -1485,7 +1542,7 @@ Computation of the global b function is implemented as
 strategy による計算, @code{hgr()} は trace-lifting および
 斉次化による 矯正された sugar strategy による計算を行う. 
 @item
-@code{dgr()} は, @code{gr()}, @code{dgr()} を
+@code{dgr()} は, @code{gr()}, @code{hgr()} を
 子プロセスリスト @var{procs} の 2 つのプロセスにより同時に計算させ, 
 先に結果を返した方の結果を返す. 結果は同一であるが, どちらの方法が
 高速か一般には不明のため, 実際の経過時間を短縮するのに有効である. 
@@ -2248,6 +2305,152 @@ except for lack of the argument for controlling homoge
 \EG @fref{Controlling Groebner basis computations}
 @end table
 
+\JP @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{nd_gr}, @code{nd_gr_trace}, @code{nd_f4}, @code{nd_f4_trace}, @code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace}
+@findex nd_gr
+@findex nd_gr_trace
+@findex nd_f4
+@findex nd_f4_trace
+@findex nd_weyl_gr
+@findex nd_weyl_gr_trace
+
+@table @t
+@item nd_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_f4(@var{plist},@var{vlist},@var{modular},@var{order})
+@itemx nd_f4_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+@item nd_weyl_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_weyl_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+\JP :: グレブナ基底の計算 (組み込み函数)
+\EG :: Groebner basis computation (built-in functions)
+@end table
+
+@table @var
+@item return
+\JP リスト
+\EG list
+@item plist  vlist
+\JP リスト
+\EG list
+@item order
+\JP 数, リストまたは行列
+\EG number, list or matrix
+@item homo
+\JP フラグ
+\EG flag
+@item modular
+\JP フラグまたは素数
+\EG flag or prime
+@end table
+
+\BJP
+@itemize @bullet
+@item
+これらの函数は, グレブナ基底計算組み込み関数の新実装である.
+@item @code{nd_gr} は, @code{p} が 0 のとき有理数体上の Buchberger
+アルゴリズムを実行する. @code{p} が 2 以上の自然数のとき, GF(p) 上の
+Buchberger アルゴリズムを実行する.
+@item @code{nd_gr_trace} および @code{nd_f4_trace}
+は有理数体上で trace アルゴリズムを実行する.
+@var{p} が 0 または 1 のとき, 自動的に選ばれた素数を用いて, 成功する
+まで trace アルゴリズムを実行する.
+@var{p} が 2 以上のとき, trace はGF(p) 上で計算される. trace アルゴリズム
+が失敗した場合 0 が返される. @var{p} が負の場合, グレブナ基底チェックは
+行わない. この場合, @var{p} が -1 ならば自動的に選ばれた素数が,
+それ以外は指定された素数を用いてグレブナ基底候補の計算が行われる. 
+@code{nd_f4_trace} は, 各全次数について, ある有限体上で F4 アルゴリズム
+で行った結果をもとに, その有限体上で 0 でない基底を与える S-多項式のみを
+用いて行列生成を行い, その全次数における基底を生成する方法である. 得られる
+多項式集合はやはりグレブナ基底候補であり, @code{nd_gr_trace} と同様の
+チェックが行われる.
+@item
+@code{nd_f4} は @code{modular} が 0 のとき有理数体上の, @code{modular} が
+マシンサイズ素数のとき有限体上の F4 アルゴリズムを実行する.
+@item
+@var{plist} が多項式リストの場合, @var{plist}で生成されるイデアルのグレブナー基底が
+計算される. @var{plist} が多項式リストのリストの場合, 各要素は多項式環上の自由加群の元と見なされ,
+これらが生成する部分加群のグレブナー基底が計算される. 後者の場合, 項順序は加群に対する項順序を
+指定する必要がある. これは @var{[s,ord]} の形で指定する. @var{s} が 0 ならば TOP (Term Over Position),
+1 ならば POT (Position Over Term) を意味し, @var{ord} は多項式環の単項式に対する項順序である.
+@item
+@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} は Weyl 代数用である.
+@item
+@code{f4} 系関数以外はすべて有理関数係数の計算が可能である.
+@item
+一般に @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} より高速であるが,
+特に有限体上の場合顕著である.
+@end itemize
+\E
+
+\BEG
+@itemize @bullet
+@item
+These functions are new implementations for computing Groebner bases.
+@item @code{nd_gr} executes Buchberger algorithm over the rationals
+if  @code{p} is 0, and that over GF(p) if @code{p} is a prime.
+@item @code{nd_gr_trace} executes the trace algorithm over the rationals.
+If @code{p} is 0 or 1, the trace algorithm is executed until it succeeds
+by using automatically chosen primes.
+If @code{p} a positive prime, 
+the trace is comuted over GF(p). 
+If the trace algorithm fails 0 is returned.
+If @code{p} is negative, 
+the Groebner basis check and ideal-membership check are omitted.
+In this case, an automatically chosen prime if @code{p} is 1,
+otherwise the specified prime is used to compute a Groebner basis
+candidate.
+Execution of @code{nd_f4_trace} is done as follows:
+For each total degree, an F4-reduction of S-polynomials over a finite field
+is done, and S-polynomials which give non-zero basis elements are gathered.
+Then F4-reduction over Q is done for the gathered S-polynomials.
+The obtained polynomial set is a Groebner basis candidate and the same
+check procedure as in the case of @code{nd_gr_trace} is done.
+@item
+@code{nd_f4} executes F4 algorithm over Q if @code{modular} is equal to 0,
+or over a finite field GF(@code{modular}) 
+if @code{modular} is a prime number of machine size (<2^29).
+If @var{plist} is a list of polynomials, then a Groebner basis of the ideal generated by @var{plist}
+is computed. If @var{plist} is a list of lists of polynomials, then each list of polynomials are regarded
+as an element of a free module over a polynomial ring and a Groebner basis of the sub-module generated by @var{plist}
+in the free module. In the latter case a term order in the free module should be specified.
+This is specified by @var{[s,ord]}. If @var{s} is 0 then it means TOP (Term Over Position).
+If @var{s} is 1 then it means POT 1 (Position Over Term). @var{ord} is a term order in the base polynomial ring.
+@item
+@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} are for Weyl algebra computation.
+@item
+Functions except for F4 related ones can handle rational coeffient cases.
+@item
+In general these functions are more efficient than 
+@code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main}, especially over finite fields.
+@end itemize
+\E
+
+@example
+[38] load("cyclic")$
+[49] C=cyclic(7)$
+[50] V=vars(C)$
+[51] cputime(1)$
+[52] dp_gr_mod_main(C,V,0,31991,0)$
+26.06sec + gc : 0.313sec(26.4sec)
+[53] nd_gr(C,V,31991,0)$
+ndv_alloc=1477188
+5.737sec + gc : 0.1837sec(5.921sec)
+[54] dp_f4_mod_main(C,V,31991,0)$  
+3.51sec + gc : 0.7109sec(4.221sec)
+[55] nd_f4(C,V,31991,0)$
+1.906sec + gc : 0.126sec(2.032sec)
+@end example
+
+@table @t
+\JP @item 参照
+\EG @item References
+@fref{dp_ord},
+@fref{dp_gr_flags dp_gr_print},
+\JP @fref{計算および表示の制御}.
+\EG @fref{Controlling Groebner basis computations}
+@end table
+
 \JP @node dp_gr_flags dp_gr_print,,, グレブナ基底に関する函数
 \EG @node dp_gr_flags dp_gr_print,,, Functions for Groebner basis computation
 @subsection @code{dp_gr_flags}, @code{dp_gr_print}
@@ -2424,6 +2627,79 @@ when functions other than top level functions are call
 \EG @fref{Setting term orderings}
 @end table
 
+\JP @node dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{dp_set_weight}, @code{dp_set_top_weight}, @code{dp_weyl_set_weight}
+@findex dp_set_weight
+@findex dp_set_top_weight
+@findex dp_weyl_set_weight
+
+@table @t
+@item dp_set_weight([@var{weight}])
+\JP :: sugar weight の設定, 参照
+\EG :: Set and show the sugar weight.
+@item dp_set_top_weight([@var{weight}])
+\JP :: top weight の設定, 参照
+\EG :: Set and show the top weight.
+@item dp_weyl_set_weight([@var{weight}])
+\JP :: weyl weight の設定, 参照
+\EG :: Set and show the weyl weight.
+@end table
+
+@table @var
+@item return
+\JP ベクトル
+\EG a vector
+@item weight
+\JP 整数のリストまたはベクトル
+\EG a list or vector of integers
+@end table
+
+@itemize @bullet
+\BJP
+@item
+@code{dp_set_weight} は sugar weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, 
+現在設定されている sugar weight を返す. sugar weight は正整数を成分とするベクトルで,
+各変数の重みを表す. 次数つき順序において, 単項式の次数を計算する際に用いられる.
+斉次化変数用に, 末尾に 1 を付け加えておくと安全である.
+@item
+@code{dp_set_top_weight} は top weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, 
+現在設定されている top weight を返す. top weight が設定されているとき, 
+まず top weight による単項式比較を先に行う. tie breaker として現在設定されている
+項順序が用いられるが, この比較には top weight は用いられない.
+
+@item
+@code{dp_weyl_set_weight} は weyl weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, 
+現在設定されている weyl weight を返す. weyl weight w を設定すると,
+項順序型 11 での計算において, (-w,w) を top weight, tie breaker を graded reverse lex
+とした項順序が設定される.
+\E
+\BEG
+@item
+@code{dp_set_weight} sets the sugar weight=@var{weight}. It returns the current sugar weight.
+A sugar weight is a vector with positive integer components and it represents the weights of variables.
+It is used for computing the weight of a monomial in a graded ordering.
+It is recommended to append a component 1 at the end of the weight vector for a homogenizing variable.
+@item
+@code{dp_set_top_weight} sets the top weight=@var{weight}. It returns the current top weight.
+It a top weight is set, the weights of monomials under the top weight are firstly compared.
+If the the weights are equal then the current term ordering is applied as a tie breaker, but
+the top weight is not used in the tie breaker.
+
+@item
+@code{dp_weyl_set_weight} sets the weyl weigh=@var{weight}. It returns the current weyl weight.
+If a weyl weight w is set, in the comparsion by the term order type 11, a term order with 
+the top weight=(-w,w) and the tie breaker=graded reverse lex is applied.
+\E
+@end itemize
+
+@table @t
+\JP @item 参照
+\EG @item References
+@fref{Weight}
+@end table
+
+
 \JP @node dp_ptod,,, グレブナ基底に関する函数
 \EG @node dp_ptod,,, Functions for Groebner basis computation
 @subsection @code{dp_ptod}
@@ -2606,7 +2882,7 @@ converting the coefficients into elements of a finite 
 @table @t
 \JP @item 参照
 \EG @item References
-@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod},
+@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod},
 @fref{subst psubst},
 @fref{setmod}.
 @end table
@@ -2750,17 +3026,21 @@ polynomial contents included in the coefficients are n
 @fref{ptozp}.
 @end table
 
-\JP @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod,,, グレブナ基底に関する函数
-\EG @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod,,, Functions for Groebner basis computation
+\JP @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod,,, Functions for Groebner basis computation
 @subsection @code{dp_nf}, @code{dp_nf_mod}, @code{dp_true_nf}, @code{dp_true_nf_mod}
 @findex dp_nf
 @findex  dp_true_nf
 @findex dp_nf_mod
 @findex  dp_true_nf_mod
+@findex dp_weyl_nf
+@findex dp_weyl_nf_mod
 
 @table @t
 @item dp_nf(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce})
+@item dp_weyl_nf(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce})
 @item dp_nf_mod(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce},@var{mod})
+@item dp_weyl_nf_mod(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce},@var{mod})
 \JP :: 分散表現多項式の正規形を求める. (結果は定数倍されている可能性あり)
 
 \BEG
@@ -2802,6 +3082,8 @@ is returned in such a list as @code{[numerator, denomi
 @item
 分散表現多項式 @var{dpoly} の正規形を求める. 
 @item
+名前に weyl を含む関数はワイル代数における正規形計算を行う. 以下の説明は weyl を含むものに対しても同様に成立する.
+@item
 @code{dp_nf_mod()}, @code{dp_true_nf_mod()} の入力は, @code{dp_mod()} など
 により, 有限体上の分散表現多項式になっていなければならない. 
 @item
@@ -2833,6 +3115,9 @@ is returned in such a list as @code{[numerator, denomi
 \BEG
 @item
 Computes the normal form of a distributed polynomial.
+@item
+Functions whose name contain @code{weyl} compute normal forms in Weyl algebra. The description below also applies to
+the functions for Weyl algebra.
 @item
 @code{dp_nf_mod()} and @code{dp_true_nf_mod()} require
 distributed polynomials with coefficients in a finite field as arguments.