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RCS file: /home/cvs/OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v
retrieving revision 1.7
retrieving revision 1.14
diff -u -p -r1.7 -r1.14
--- OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2003/04/21 03:07:32	1.7
+++ OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2004/09/14 01:32:34	1.14
@@ -1,4 +1,4 @@
-@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.6 2003/04/20 09:55:18 noro Exp $
+@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.13 2004/09/13 09:23:30 noro Exp $
 \BJP
 @node グレブナ基底の計算,,, Top
 @chapter グレブナ基底の計算
@@ -15,6 +15,7 @@
 * 基本的な函数::
 * 計算および表示の制御::
 * 項順序の設定::
+* Weight::
 * 有理式を係数とするグレブナ基底計算::
 * 基底変換::
 * Weyl 代数::
@@ -26,6 +27,7 @@
 * Fundamental functions::
 * Controlling Groebner basis computations::
 * Setting term orderings::
+* Weight::
 * Groebner basis computation with rational function coefficients::
 * Change of ordering::
 * Weyl algebra::
@@ -1055,6 +1057,139 @@ beforehand, and some heuristic trial may be inevitable
 \E
 
 \BJP
+@node Weight ,,, グレブナ基底の計算
+@section Weight
+\E
+\BEG
+@node Weight,,, Groebner basis computation
+@section Weight
+\E
+\BJP
+前節で紹介した項順序は, 各変数に weight (重み) を設定することで
+より一般的なものとなる. 
+\E
+\BEG
+Term orderings introduced in the previous section can be generalized
+by setting a weight for each variable.
+\E
+@example
+[0] dp_td(<<1,1,1>>);
+3
+[1] dp_set_weight([1,2,3])$
+[2] dp_td(<<1,1,1>>);
+6
+@end example
+\BJP
+単項式の全次数を計算する際, デフォルトでは
+各変数の指数の和を全次数とする. これは各変数の weight を 1 と
+考えていることに相当する. この例では, 第一, 第二, 第三変数の
+weight をそれぞれ 1,2,3 と指定している. このため, @code{<<1,1,1>>}
+の全次数 (以下ではこれを単項式の weight と呼ぶ) が @code{1*1+1*2+1*3=6} となる.
+weight を設定することで, 同じ項順序型のもとで異なる項順序が定義できる.
+例えば, weight をうまく設定することで, 多項式を weighted homogeneous
+にすることができる場合がある. 
+\E
+\BEG
+By default, the total degree of a monomial is equal to
+the sum of all exponents. This means that the weight for each variable
+is set to 1.
+In this example, the weights for the first, the second and the third
+variable are set to 1, 2 and 3 respectively.
+Therefore the total degree of @code{<<1,1,1>>} under this weight,
+which is called the weight of the monomial, is @code{1*1+1*2+1*3=6}.
+By setting weights, different term orderings can be set under a type of
+term ordeing. In some case a polynomial can 
+be made weighted homogeneous by setting an appropriate weight.
+\E
+
+\BJP
+各変数に対する weight をまとめたものを weight vector と呼ぶ.
+すべての成分が正であり, グレブナ基底計算において, 全次数の
+代わりに用いられるものを特に sugar weight と呼ぶことにする.
+sugar strategy において, 全次数の代わりに使われるからである.
+一方で, 各成分が必ずしも正とは限らない weight vector は,
+sugar weight として設定することはできないが, 項順序の一般化には
+有用である. これらは, 行列による項順序の設定にすでに現れて
+いる. すなわち, 項順序を定義する行列の各行が, 一つの weight vector
+と見なされる. また, ブロック順序は, 各ブロックの
+変数に対応する成分のみ 1 で他は 0 の weight vector による比較を
+最初に行ってから, 各ブロック毎の tie breaking を行うことに相当する.
+\E
+
+\BEG
+A list of weights for all variables is called a weight vector.
+A weight vector is called a sugar weight vector if
+its elements are all positive and it is used for computing
+a weighted total degree of a monomial, because such a weight
+is used instead of total degree in sugar strategy.
+On the other hand, a weight vector whose elements are not necessarily
+positive cannot be set as a sugar weight, but it is useful for
+generalizing term order. In fact, such a weight vector already
+appeared in a matrix order. That is, each row of a matrix defining
+a term order is regarded as a weight vector. A block order 
+is also considered as a refinement of comparison by weight vectors.
+It compares two terms by using a weight vector whose elements
+corresponding to variables in a block is 1 and 0 otherwise,
+then it applies a tie breaker.
+\E
+
+\BJP
+weight vector の設定は @code{dp_set_weight()} で行うことができる
+が, 項順序を指定する際の他のパラメタ (項順序型, 変数順序) と
+まとめて設定できることが望ましい. このため, 次のような形でも
+項順序が指定できる.
+\E
+\BEG
+A weight vector can be set by using @code{dp_set_weight()}.
+However it is more preferable if a weight vector can be set
+together with other parapmeters such as a type of term ordering
+and a variable order. This is realized as follows.
+\E
+
+@example
+[64] B=[x+y+z-6,x*y+y*z+z*x-11,x*y*z-6]$
+[65] dp_gr_main(B|v=[x,y,z],sugarweight=[3,2,1],order=0);
+[z^3-6*z^2+11*z-6,x+y+z-6,-y^2+(-z+6)*y-z^2+6*z-11]
+[66] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]);
+[x^3-6*x^2+11*x-6,x+y+z-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+[67] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[x,1,y,2,z,3]]);
+[x+y+z-6,x^3-6*x^2+11*x-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+@end example
+
+\BJP
+いずれの例においても, 項順序は option として指定されている.
+最初の例では @code{v} により変数順序を, @code{sugarweight} により
+sugar weight vector を, @code{order}により項順序型を指定している.
+二つ目の例における @code{order} の指定は matrix order と同様である.
+すなわち, 指定された weight vector を左から順に使って weight の比較
+を行う. 三つ目の例も同様であるが, ここでは weight vector の要素を
+変数毎に指定している. 指定がないものは 0 となる. 三つ目の例では,
+@code{order} による指定では項順序が決定しない. この場合には,
+tie breaker として全次数逆辞書式順序が自動的に設定される.
+この指定方法は, @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} など
+の組み込み関数でのみ可能であり, @code{gr} などのユーザ定義関数
+では未対応である.
+\E
+\BEG
+In each example, a term ordering is specified as options.
+In the first example, a variable order, a sugar weight vector
+and a type of term ordering are specified by options @code{v}, 
+@code{sugarweight} and @code{order} respectively.
+In the second example, an option @code{order} is used
+to set a matrix ordering. That is, the specified weight vectors
+are used from left to right for comparing terms.
+The third example shows a variant of specifying a weight vector,
+where each component of a weight vector is specified variable by variable,
+and unspecified components are set to zero. In this example,
+a term order is not determined only by the specified weight vector.
+In such a case a tie breaker by the graded reverse lexicographic ordering
+is set automatically.
+This type of a term ordering specification can be applied only to builtin
+functions such as @code{dp_gr_main()}, @code{dp_gr_mod_main()}, not to
+user defined functions such as @code{gr()}.
+\E
+
+\BJP
 @node 有理式を係数とするグレブナ基底計算,,, グレブナ基底の計算
 @section 有理式を係数とするグレブナ基底計算
 \E
@@ -1354,7 +1489,7 @@ Computation of the global b function is implemented as
 * lex_hensel_gsl tolex_gsl tolex_gsl_d::
 * primadec primedec::
 * primedec_mod::
-* bfunction generic_bfct::
+* bfunction bfct generic_bfct ann ann0::
 @end menu
 
 \JP @node gr hgr gr_mod,,, グレブナ基底に関する函数
@@ -1412,6 +1547,14 @@ strategy による計算, @code{hgr()} は trace
 @item
 @code{dgr()} で表示される時間は, この函数が実行されているプロセスでの
 CPU 時間であり, この函数の場合はほとんど通信のための時間である. 
+@item
+多項式リスト @var{plist} の要素が分散表現多項式の場合は
+結果も分散表現多項式のリストである.
+この場合, 引数の分散多項式は与えられた順序に従い @code{dp_sort} で
+ソートされてから計算される.
+多項式リストの要素が分散表現多項式の場合も
+変数の数分の不定元のリストを @var{vlist} 引数として与えないといけない
+(ダミー).
 \E
 \BEG
 @item 
@@ -1440,6 +1583,13 @@ Therefore this function is useful to reduce the actual
 The CPU time shown after an exection of @code{dgr()} indicates
 that of the master process, and most of the time corresponds to the time
 for communication.
+@item
+When the elements of @var{plist} are distributed polynomials,
+the result is also a list of distributed polynomials.
+In this case, firstly  the elements of @var{plist} is sorted by @code{dp_sort}
+and the Grobner basis computation is started.
+Variables must be given in @var{vlist} even in this case
+(these variables are dummy).
 \E
 @end itemize
 
@@ -1690,8 +1840,8 @@ processes.
 @item lex_hensel_gsl(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2},@var{homo})
 \JP :: GSL 形式のイデアル基底の計算
 \EG ::Computation of an GSL form ideal basis
-@item tolex_gsl(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2},@var{homo})
-@itemx tolex_gsl_d(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2},@var{homo},@var{procs})
+@item tolex_gsl(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2})
+@itemx tolex_gsl_d(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2},@var{procs})
 \JP :: グレブナ基底を入力とする, GSL 形式のイデアル基底の計算
 \EG :: Computation of an GSL form ideal basis stating from a Groebner basis
 @end table
@@ -3918,21 +4068,32 @@ execute @code{dp_gr_print(2)} in advance.
 @fref{dp_gr_flags dp_gr_print}.
 @end table
 
-\JP @node bfunction generic_bfct,,, グレブナ基底に関する函数
-\EG @node bfunction generic_bfct,,, Functions for Groebner basis computation
-@subsection @code{bfunction}, @code{generic_bfct}
+\JP @node bfunction bfct generic_bfct ann ann0,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node bfunction bfct generic_bfct ann ann0,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{bfunction}, @code{bfct}, @code{generic_bfct}, @code{ann}, @code{ann0}
 @findex bfunction
+@findex bfct
 @findex generic_bfct
+@findex ann
+@findex ann0
 
 @table @t
 @item bfunction(@var{f})
-@item generic_bfct(@var{plist},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})
-\JP :: b 関数の計算
-\EG :: Computes the global b function of a polynomial or an ideal
+@itemx bfct(@var{f})
+@itemx generic_bfct(@var{plist},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})
+\JP :: @var{b} 関数の計算
+\EG :: Computes the global @var{b} function of a polynomial or an ideal
+@item ann(@var{f})
+@itemx ann0(@var{f})
+\JP :: 多項式のベキの annihilator の計算
+\EG :: Computes the annihilator of a power of polynomial
 @end table
+
 @table @var
 @item return
-@itemx f
+\JP 多項式またはリスト
+\EG polynomial or list
+@item f
 \JP 多項式
 \EG polynomial
 @item plist
@@ -3946,29 +4107,44 @@ execute @code{dp_gr_print(2)} in advance.
 @itemize @bullet
 \BJP
 @item @samp{bfct} で定義されている. 
-@item @code{bfunction(@var{f})} は多項式 @var{f} の global b 関数 @code{b(s)} を
+@item @code{bfunction(@var{f})}, @code{bfct(@var{f})} は多項式 @var{f} の global @var{b} 関数 @code{b(s)} を
 計算する. @code{b(s)} は, Weyl 代数 @code{D} 上の一変数多項式環 @code{D[s]}
 の元 @code{P(x,s)} が存在して, @code{P(x,s)f^(s+1)=b(s)f^s} を満たすような
 多項式 @code{b(s)} の中で, 次数が最も低いものである. 
 @item @code{generic_bfct(@var{f},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})}
 は, @var{plist} で生成される @code{D} の左イデアル @code{I} の, 
-ウェイト @var{weight} に関する global b 関数を計算する. 
+ウェイト @var{weight} に関する global @var{b} 関数を計算する. 
 @var{vlist} は @code{x}-変数, @var{vlist} は対応する @code{D}-変数
 を順に並べる. 
+@item @code{bfunction} と @code{bfct} では用いているアルゴリズムが
+異なる. どちらが高速かは入力による.
+@item @code{ann(@var{f})} は, @code{@var{f}^s} の annihilator ideal
+の生成系を返す. @code{ann(@var{f})} は, @code{[@var{a},@var{list}]}
+なるリストを返す. ここで, @var{a} は @var{f} の @var{b} 関数の最小整数根,
+@var{list} は @code{ann(@var{f})} の結果の @code{s}$ に, @var{a} を
+代入したものである.
 @item 詳細については, [Saito,Sturmfels,Takayama] を見よ. 
 \E
 \BEG
 @item These functions are defined in @samp{bfct}.
-@item @code{bfunction(@var{f})} computes the global b-function @code{b(s)} of
+@item @code{bfunction(@var{f})} and @code{bfct(@var{f})} compute the global @var{b}-function @code{b(s)} of
 a polynomial @var{f}.
 @code{b(s)} is a polynomial of the minimal degree 
 such that there exists @code{P(x,s)} in D[s], which is a polynomial
 ring over Weyl algebra @code{D}, and @code{P(x,s)f^(s+1)=b(s)f^s} holds.
 @item @code{generic_bfct(@var{f},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})}
-computes the global b-function of a left ideal @code{I} in @code{D}
+computes the global @var{b}-function of a left ideal @code{I} in @code{D}
 generated by @var{plist}, with respect to @var{weight}.
 @var{vlist} is the list of @code{x}-variables, 
 @var{vlist} is the list of corresponding @code{D}-variables.
+@item @code{bfunction(@var{f})} and @code{bfct(@var{f})} implement
+different algorithms and the efficiency depends on inputs.
+@item @code{ann(@var{f})} returns the generator set of the annihilator
+ideal of @code{@var{f}^s}.
+@code{ann(@var{f})} returns a list @code{[@var{a},@var{list}]},
+where @var{a} is the minimal integral root of the global @var{b}-function
+of @var{f}, and @var{list} is a list of polynomials obtained by
+substituting @code{s} in @code{ann(@var{f})} with @var{a}.
 @item See [Saito,Sturmfels,Takayama] for the details.
 \E
 @end itemize
@@ -3984,6 +4160,11 @@ x*y*dt+5*z^4*dt+dz,-x^4-z*y*x-y^4-z^5+t]$
 [219] generic_bfct(F,[t,z,y,x],[dt,dz,dy,dx],[1,0,0,0]);
 20000*s^10-70000*s^9+101750*s^8-79375*s^7+35768*s^6-9277*s^5
 +1278*s^4-72*s^3
+[220] P=x^3-y^2$
+[221] ann(P);
+[2*dy*x+3*dx*y^2,-3*dx*x-2*dy*y+6*s]
+[222] ann0(P);
+[-1,[2*dy*x+3*dx*y^2,-3*dx*x-2*dy*y-6]]
 @end example
 
 @table @t