===================================================================
RCS file: /home/cvs/OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v
retrieving revision 1.6
retrieving revision 1.15
diff -u -p -r1.6 -r1.15
--- OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2003/04/20 09:55:18	1.6
+++ OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi	2004/09/14 02:28:20	1.15
@@ -1,4 +1,4 @@
-@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.5 2003/04/20 08:01:25 noro Exp $
+@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.14 2004/09/14 01:32:34 noro Exp $
 \BJP
 @node グレブナ基底の計算,,, Top
 @chapter グレブナ基底の計算
@@ -15,6 +15,7 @@
 * 基本的な函数::
 * 計算および表示の制御::
 * 項順序の設定::
+* Weight::
 * 有理式を係数とするグレブナ基底計算::
 * 基底変換::
 * Weyl 代数::
@@ -26,6 +27,7 @@
 * Fundamental functions::
 * Controlling Groebner basis computations::
 * Setting term orderings::
+* Weight::
 * Groebner basis computation with rational function coefficients::
 * Change of ordering::
 * Weyl algebra::
@@ -449,6 +451,13 @@ If `on', various informations during a Groebner basis 
 displayed.
 \E
 
+@item PrintShort
+\JP on で、Print が off の場合, グレブナ基底計算の途中の情報を短縮形で表示する. 
+\BEG
+If `on' and Print is `off', short information during a Groebner basis computation is
+displayed.
+\E
+
 @item Stat
 \BJP
 on で @code{Print} が off ならば, @code{Print} が on のとき表示さ
@@ -471,24 +480,28 @@ is shown after every normal computation.  After comlet
 computation the maximal value among the sums is shown.
 \E
 
-@item Multiple
+@item Content
+@itemx Multiple
 \BJP
-0 でない整数の時, 有理数上の正規形計算において, 係数のビット長の和が
-@code{Multiple} 倍になるごとに係数全体の GCD が計算され, その GCD で
-割った多項式を簡約する. @code{Multiple} が 1 ならば, 簡約するごとに
-GCD 計算が行われ一般には効率が悪くなるが, @code{Multiple} を 2 程度
+0 でない有理数の時, 有理数上の正規形計算において, 係数のビット長の和が
+@code{Content} 倍になるごとに係数全体の GCD が計算され, その GCD で
+割った多項式を簡約する. @code{Content} が 1 ならば, 簡約するごとに
+GCD 計算が行われ一般には効率が悪くなるが, @code{Content} を 2 程度
 とすると, 巨大な整数が係数に現れる場合, 効率が良くなる場合がある. 
+backward compatibility のため、@code{Multiple} で整数値を指定できる.
 \E
 \BEG
-If a non-zero integer, in a normal form computation
+If a non-zero rational number, in a normal form computation
 over the rationals, the integer content of the polynomial being
-reduced is removed when its magnitude becomes @code{Multiple} times
+reduced is removed when its magnitude becomes @code{Content} times
 larger than a registered value, which is set to the magnitude of the
 input polynomial. After each content removal the registered value is
-set to the magnitude of the resulting polynomial. @code{Multiple} is
+set to the magnitude of the resulting polynomial. @code{Content} is
 equal to 1, the simiplification is done after every normal form computation.
-It is empirically known that it is often efficient to set @code{Multiple} to 2
+It is empirically known that it is often efficient to set @code{Content} to 2
 for the case where large integers appear during the computation.
+An integer value can be set by the keyword @code{Multiple} for
+backward compatibility.
 \E
 
 @item Demand
@@ -1044,6 +1057,139 @@ beforehand, and some heuristic trial may be inevitable
 \E
 
 \BJP
+@node Weight ,,, グレブナ基底の計算
+@section Weight
+\E
+\BEG
+@node Weight,,, Groebner basis computation
+@section Weight
+\E
+\BJP
+前節で紹介した項順序は, 各変数に weight (重み) を設定することで
+より一般的なものとなる. 
+\E
+\BEG
+Term orderings introduced in the previous section can be generalized
+by setting a weight for each variable.
+\E
+@example
+[0] dp_td(<<1,1,1>>);
+3
+[1] dp_set_weight([1,2,3])$
+[2] dp_td(<<1,1,1>>);
+6
+@end example
+\BJP
+単項式の全次数を計算する際, デフォルトでは
+各変数の指数の和を全次数とする. これは各変数の weight を 1 と
+考えていることに相当する. この例では, 第一, 第二, 第三変数の
+weight をそれぞれ 1,2,3 と指定している. このため, @code{<<1,1,1>>}
+の全次数 (以下ではこれを単項式の weight と呼ぶ) が @code{1*1+1*2+1*3=6} となる.
+weight を設定することで, 同じ項順序型のもとで異なる項順序が定義できる.
+例えば, weight をうまく設定することで, 多項式を weighted homogeneous
+にすることができる場合がある. 
+\E
+\BEG
+By default, the total degree of a monomial is equal to
+the sum of all exponents. This means that the weight for each variable
+is set to 1.
+In this example, the weights for the first, the second and the third
+variable are set to 1, 2 and 3 respectively.
+Therefore the total degree of @code{<<1,1,1>>} under this weight,
+which is called the weight of the monomial, is @code{1*1+1*2+1*3=6}.
+By setting weights, different term orderings can be set under a type of
+term ordeing. In some case a polynomial can 
+be made weighted homogeneous by setting an appropriate weight.
+\E
+
+\BJP
+各変数に対する weight をまとめたものを weight vector と呼ぶ.
+すべての成分が正であり, グレブナ基底計算において, 全次数の
+代わりに用いられるものを特に sugar weight と呼ぶことにする.
+sugar strategy において, 全次数の代わりに使われるからである.
+一方で, 各成分が必ずしも正とは限らない weight vector は,
+sugar weight として設定することはできないが, 項順序の一般化には
+有用である. これらは, 行列による項順序の設定にすでに現れて
+いる. すなわち, 項順序を定義する行列の各行が, 一つの weight vector
+と見なされる. また, ブロック順序は, 各ブロックの
+変数に対応する成分のみ 1 で他は 0 の weight vector による比較を
+最初に行ってから, 各ブロック毎の tie breaking を行うことに相当する.
+\E
+
+\BEG
+A list of weights for all variables is called a weight vector.
+A weight vector is called a sugar weight vector if
+its elements are all positive and it is used for computing
+a weighted total degree of a monomial, because such a weight
+is used instead of total degree in sugar strategy.
+On the other hand, a weight vector whose elements are not necessarily
+positive cannot be set as a sugar weight, but it is useful for
+generalizing term order. In fact, such a weight vector already
+appeared in a matrix order. That is, each row of a matrix defining
+a term order is regarded as a weight vector. A block order 
+is also considered as a refinement of comparison by weight vectors.
+It compares two terms by using a weight vector whose elements
+corresponding to variables in a block is 1 and 0 otherwise,
+then it applies a tie breaker.
+\E
+
+\BJP
+weight vector の設定は @code{dp_set_weight()} で行うことができる
+が, 項順序を指定する際の他のパラメタ (項順序型, 変数順序) と
+まとめて設定できることが望ましい. このため, 次のような形でも
+項順序が指定できる.
+\E
+\BEG
+A weight vector can be set by using @code{dp_set_weight()}.
+However it is more preferable if a weight vector can be set
+together with other parapmeters such as a type of term ordering
+and a variable order. This is realized as follows.
+\E
+
+@example
+[64] B=[x+y+z-6,x*y+y*z+z*x-11,x*y*z-6]$
+[65] dp_gr_main(B|v=[x,y,z],sugarweight=[3,2,1],order=0);
+[z^3-6*z^2+11*z-6,x+y+z-6,-y^2+(-z+6)*y-z^2+6*z-11]
+[66] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]);
+[x^3-6*x^2+11*x-6,x+y+z-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+[67] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[x,1,y,2,z,3]]);
+[x+y+z-6,x^3-6*x^2+11*x-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11]
+@end example
+
+\BJP
+いずれの例においても, 項順序は option として指定されている.
+最初の例では @code{v} により変数順序を, @code{sugarweight} により
+sugar weight vector を, @code{order}により項順序型を指定している.
+二つ目の例における @code{order} の指定は matrix order と同様である.
+すなわち, 指定された weight vector を左から順に使って weight の比較
+を行う. 三つ目の例も同様であるが, ここでは weight vector の要素を
+変数毎に指定している. 指定がないものは 0 となる. 三つ目の例では,
+@code{order} による指定では項順序が決定しない. この場合には,
+tie breaker として全次数逆辞書式順序が自動的に設定される.
+この指定方法は, @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} など
+の組み込み関数でのみ可能であり, @code{gr} などのユーザ定義関数
+では未対応である.
+\E
+\BEG
+In each example, a term ordering is specified as options.
+In the first example, a variable order, a sugar weight vector
+and a type of term ordering are specified by options @code{v}, 
+@code{sugarweight} and @code{order} respectively.
+In the second example, an option @code{order} is used
+to set a matrix ordering. That is, the specified weight vectors
+are used from left to right for comparing terms.
+The third example shows a variant of specifying a weight vector,
+where each component of a weight vector is specified variable by variable,
+and unspecified components are set to zero. In this example,
+a term order is not determined only by the specified weight vector.
+In such a case a tie breaker by the graded reverse lexicographic ordering
+is set automatically.
+This type of a term ordering specification can be applied only to builtin
+functions such as @code{dp_gr_main()}, @code{dp_gr_mod_main()}, not to
+user defined functions such as @code{gr()}.
+\E
+
+\BJP
 @node 有理式を係数とするグレブナ基底計算,,, グレブナ基底の計算
 @section 有理式を係数とするグレブナ基底計算
 \E
@@ -1318,6 +1464,7 @@ Computation of the global b function is implemented as
 * tolexm minipolym::
 * dp_gr_main dp_gr_mod_main dp_gr_f_main dp_weyl_gr_main dp_weyl_gr_mod_main dp_weyl_gr_f_main::
 * dp_f4_main dp_f4_mod_main dp_weyl_f4_main dp_weyl_f4_mod_main::
+* nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace::
 * dp_gr_flags dp_gr_print::
 * dp_ord::
 * dp_ptod::
@@ -1343,7 +1490,7 @@ Computation of the global b function is implemented as
 * lex_hensel_gsl tolex_gsl tolex_gsl_d::
 * primadec primedec::
 * primedec_mod::
-* bfunction generic_bfct::
+* bfunction bfct generic_bfct ann ann0::
 @end menu
 
 \JP @node gr hgr gr_mod,,, グレブナ基底に関する函数
@@ -1401,6 +1548,14 @@ strategy による計算, @code{hgr()} は trace
 @item
 @code{dgr()} で表示される時間は, この函数が実行されているプロセスでの
 CPU 時間であり, この函数の場合はほとんど通信のための時間である. 
+@item
+多項式リスト @var{plist} の要素が分散表現多項式の場合は
+結果も分散表現多項式のリストである.
+この場合, 引数の分散多項式は与えられた順序に従い @code{dp_sort} で
+ソートされてから計算される.
+多項式リストの要素が分散表現多項式の場合も
+変数の数分の不定元のリストを @var{vlist} 引数として与えないといけない
+(ダミー).
 \E
 \BEG
 @item 
@@ -1429,6 +1584,13 @@ Therefore this function is useful to reduce the actual
 The CPU time shown after an exection of @code{dgr()} indicates
 that of the master process, and most of the time corresponds to the time
 for communication.
+@item
+When the elements of @var{plist} are distributed polynomials,
+the result is also a list of distributed polynomials.
+In this case, firstly  the elements of @var{plist} is sorted by @code{dp_sort}
+and the Grobner basis computation is started.
+Variables must be given in @var{vlist} even in this case
+(these variables are dummy).
 \E
 @end itemize
 
@@ -1679,8 +1841,8 @@ processes.
 @item lex_hensel_gsl(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2},@var{homo})
 \JP :: GSL 形式のイデアル基底の計算
 \EG ::Computation of an GSL form ideal basis
-@item tolex_gsl(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2},@var{homo})
-@itemx tolex_gsl_d(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2},@var{homo},@var{procs})
+@item tolex_gsl(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2})
+@itemx tolex_gsl_d(@var{plist},@var{vlist1},@var{order},@var{vlist2},@var{procs})
 \JP :: グレブナ基底を入力とする, GSL 形式のイデアル基底の計算
 \EG :: Computation of an GSL form ideal basis stating from a Groebner basis
 @end table
@@ -2142,6 +2304,123 @@ except for lack of the argument for controlling homoge
 \EG @fref{Controlling Groebner basis computations}
 @end table
 
+\JP @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{nd_gr}, @code{nd_gr_trace}, @code{nd_f4}, @code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace}
+@findex nd_gr
+@findex nd_gr_trace
+@findex nd_f4
+@findex nd_weyl_gr
+@findex nd_weyl_gr_trace
+
+@table @t
+@item nd_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_f4(@var{plist},@var{vlist},@var{modular},@var{order})
+@item nd_weyl_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order})
+@itemx nd_weyl_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order})
+\JP :: グレブナ基底の計算 (組み込み函数)
+\EG :: Groebner basis computation (built-in functions)
+@end table
+
+@table @var
+@item return
+\JP リスト
+\EG list
+@item plist  vlist
+\JP リスト
+\EG list
+@item order
+\JP 数, リストまたは行列
+\EG number, list or matrix
+@item homo
+\JP フラグ
+\EG flag
+@item modular
+\JP フラグまたは素数
+\EG flag or prime
+@end table
+
+\BJP
+@itemize @bullet
+@item
+これらの函数は, グレブナ基底計算組み込み関数の新実装である.
+@item @code{nd_gr} は, @code{p} が 0 のとき有理数体上の Buchberger
+アルゴリズムを実行する. @code{p} が 2 以上の自然数のとき, GF(p) 上の
+Buchberger アルゴリズムを実行する.
+@item @code{nd_gr_trace} は有理数体上で trace アルゴリズムを実行する.
+@code{p} が 0 または 1 のとき, 自動的に選ばれた素数を用いて, 成功する
+まで trace アルゴリズムを実行する.
+@code{p} が 2 以上のとき, trace はGF(p) 上で計算される. trace アルゴリズム
+が失敗した場合 0 が返される. @code{p} が負の場合, グレブナ基底チェックは
+行わない. この場合, @code{p} が -1 ならば自動的に選ばれた素数が,
+それ以外は指定された素数を用いてグレブナ基底候補の計算が行われる.
+@item
+@code{nd_f4} は, 有限体上の F4 アルゴリズムを実行する.
+@item
+@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} は Weyl 代数用である.
+@item
+いずれの関数も, 有理関数体上の計算は未対応である.
+@item
+一般に @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} より高速であるが,
+特に有限体上の場合顕著である.
+@end itemize
+\E
+
+\BEG
+@itemize @bullet
+@item
+These functions are new implementations for computing Groebner bases.
+@item @code{nd_gr} executes Buchberger algorithm over the rationals
+if  @code{p} is 0, and that over GF(p) if @code{p} is a prime.
+@item @code{nd_gr_trace} executes the trace algorithm over the rationals.
+If @code{p} is 0 or 1, the trace algorithm is executed until it succeeds
+by using automatically chosen primes.
+If @code{p} a positive prime, 
+the trace is comuted over GF(p). 
+If the trace algorithm fails 0 is returned.
+If @code{p} is negative, 
+the Groebner basis check and ideal-membership check are omitted.
+In this case, an automatically chosen prime if @code{p} is 1,
+otherwise the specified prime is used to compute a Groebner basis
+candidate.
+@item
+@code{nd_f4} executes F4 algorithm over a finite field.
+@item
+@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} are for Weyl algebra computation.
+@item
+Each function cannot handle rational function coefficient cases.
+@item
+In general these functions are more efficient than 
+@code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main}, especially over finite fields.
+@end itemize
+\E
+
+@example
+[38] load("cyclic")$
+[49] C=cyclic(7)$
+[50] V=vars(C)$
+[51] cputime(1)$
+[52] dp_gr_mod_main(C,V,0,31991,0)$
+26.06sec + gc : 0.313sec(26.4sec)
+[53] nd_gr(C,V,31991,0)$
+ndv_alloc=1477188
+5.737sec + gc : 0.1837sec(5.921sec)
+[54] dp_f4_mod_main(C,V,31991,0)$  
+3.51sec + gc : 0.7109sec(4.221sec)
+[55] nd_f4(C,V,31991,0)$
+1.906sec + gc : 0.126sec(2.032sec)
+@end example
+
+@table @t
+\JP @item 参照
+\EG @item References
+@fref{dp_ord},
+@fref{dp_gr_flags dp_gr_print},
+\JP @fref{計算および表示の制御}.
+\EG @fref{Controlling Groebner basis computations}
+@end table
+
 \JP @node dp_gr_flags dp_gr_print,,, グレブナ基底に関する函数
 \EG @node dp_gr_flags dp_gr_print,,, Functions for Groebner basis computation
 @subsection @code{dp_gr_flags}, @code{dp_gr_print}
@@ -2150,7 +2429,7 @@ except for lack of the argument for controlling homoge
 
 @table @t
 @item dp_gr_flags([@var{list}])
-@itemx dp_gr_print([@var{0|1}])
+@itemx dp_gr_print([@var{i}])
 \JP :: 計算および表示用パラメタの設定, 参照
 \BEG :: Set and show various parameters for cotrolling computations 
 and showing informations.
@@ -2164,6 +2443,9 @@ and showing informations.
 @item list
 \JP リスト
 \EG list
+@item i
+\JP 整数
+\EG integer
 @end table
 
 @itemize @bullet
@@ -2177,9 +2459,18 @@ and showing informations.
 引数は, @code{["Print",1,"NoSugar",1,...]} なる形のリストで, 左から順に
 設定される. パラメタ名は文字列で与える必要がある. 
 @item
-@code{dp_gr_print()} は, 特にパラメタ @code{Print} の値を直接設定, 参照
-できる. これは, @code{dp_gr_main()} などをサブルーチンとして用いるユーザ
-函数において, @code{Print} の値を見て, そのサブルーチンが中間情報の表示
+@code{dp_gr_print()} は, 特にパラメタ @code{Print}, @code{PrintShort} の値を直接設定, 参照
+できる. 設定される値は次の通りである。
+@table @var
+@item i=0
+@code{Print=0}, @code{PrintShort=0}
+@item i=1
+@code{Print=1}, @code{PrintShort=0}
+@item i=2
+@code{Print=0}, @code{PrintShort=1}
+@end table
+これは, @code{dp_gr_main()} などをサブルーチンとして用いるユーザ
+函数において, そのサブルーチンが中間情報の表示
 を行う際に, 迅速にフラグを見ることができるように用意されている. 
 \E
 \BEG
@@ -2194,8 +2485,17 @@ Arguments must be specified as a list such as
 strings.
 @item
 @code{dp_gr_print()} is used to set and show the value of a parameter
-@code{Print}. This functions is prepared to get quickly the value of
-@code{Print} when a user defined function calling @code{dp_gr_main()} etc.
+@code{Print} and @code{PrintShort}. 
+@table @var
+@item i=0
+@code{Print=0}, @code{PrintShort=0}
+@item i=1
+@code{Print=1}, @code{PrintShort=0}
+@item i=2
+@code{Print=0}, @code{PrintShort=1}
+@end table
+This functions is prepared to get quickly the value
+when a user defined function calling @code{dp_gr_main()} etc.
 uses the value as a flag for showing intermediate informations.
 \E
 @end itemize
@@ -3831,6 +4131,9 @@ if an input ideal is not radical.
 部分を計算することによる early termination を行う. 一般に, 
 イデアルの次元が高い場合に有効だが, 0 次元の場合など, 次元が小さい
 場合には overhead が大きい場合がある. 
+@item
+計算途中で内部情報を見たい場合には、
+前もって @code{dp_gr_print(2)} を実行しておけばよい.
 \E
 \BEG
 @item
@@ -3855,6 +4158,9 @@ is tried by computing the intersection of obtained com
 incrementally. In general, this strategy is useful when the krull
 dimension of the ideal is high, but it may add some overhead
 if the dimension is small.
+@item
+If you want to see internal information during the computation,
+execute @code{dp_gr_print(2)} in advance.
 \E
 @end itemize
 
@@ -3876,24 +4182,36 @@ if the dimension is small.
 @fref{modfctr},
 @fref{dp_gr_main dp_gr_mod_main dp_gr_f_main dp_weyl_gr_main dp_weyl_gr_mod_main dp_weyl_gr_f_main},
 \JP @fref{項順序の設定}.
-\EG @fref{Setting term orderings}.
+\EG @fref{Setting term orderings},
+@fref{dp_gr_flags dp_gr_print}.
 @end table
 
-\JP @node bfunction generic_bfct,,, グレブナ基底に関する函数
-\EG @node bfunction generic_bfct,,, Functions for Groebner basis computation
-@subsection @code{bfunction}, @code{generic_bfct}
+\JP @node bfunction bfct generic_bfct ann ann0,,, グレブナ基底に関する函数
+\EG @node bfunction bfct generic_bfct ann ann0,,, Functions for Groebner basis computation
+@subsection @code{bfunction}, @code{bfct}, @code{generic_bfct}, @code{ann}, @code{ann0}
 @findex bfunction
+@findex bfct
 @findex generic_bfct
+@findex ann
+@findex ann0
 
 @table @t
 @item bfunction(@var{f})
-@item generic_bfct(@var{plist},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})
-\JP :: b 関数の計算
-\EG :: Computes the global b function of a polynomial or an ideal
+@itemx bfct(@var{f})
+@itemx generic_bfct(@var{plist},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})
+\JP :: @var{b} 関数の計算
+\EG :: Computes the global @var{b} function of a polynomial or an ideal
+@item ann(@var{f})
+@itemx ann0(@var{f})
+\JP :: 多項式のベキの annihilator の計算
+\EG :: Computes the annihilator of a power of polynomial
 @end table
+
 @table @var
 @item return
-@itemx f
+\JP 多項式またはリスト
+\EG polynomial or list
+@item f
 \JP 多項式
 \EG polynomial
 @item plist
@@ -3907,30 +4225,45 @@ if the dimension is small.
 @itemize @bullet
 \BJP
 @item @samp{bfct} で定義されている. 
-@item @code{bfunction(@var{f})} は多項式 @var{f} の global b 関数 @code{b(s)} を
+@item @code{bfunction(@var{f})}, @code{bfct(@var{f})} は多項式 @var{f} の global @var{b} 関数 @code{b(s)} を
 計算する. @code{b(s)} は, Weyl 代数 @code{D} 上の一変数多項式環 @code{D[s]}
 の元 @code{P(x,s)} が存在して, @code{P(x,s)f^(s+1)=b(s)f^s} を満たすような
 多項式 @code{b(s)} の中で, 次数が最も低いものである. 
 @item @code{generic_bfct(@var{f},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})}
 は, @var{plist} で生成される @code{D} の左イデアル @code{I} の, 
-ウェイト @var{weight} に関する global b 関数を計算する. 
+ウェイト @var{weight} に関する global @var{b} 関数を計算する. 
 @var{vlist} は @code{x}-変数, @var{vlist} は対応する @code{D}-変数
 を順に並べる. 
-@item 詳細については, [SST] を見よ. 
+@item @code{bfunction} と @code{bfct} では用いているアルゴリズムが
+異なる. どちらが高速かは入力による.
+@item @code{ann(@var{f})} は, @code{@var{f}^s} の annihilator ideal
+の生成系を返す. @code{ann(@var{f})} は, @code{[@var{a},@var{list}]}
+なるリストを返す. ここで, @var{a} は @var{f} の @var{b} 関数の最小整数根,
+@var{list} は @code{ann(@var{f})} の結果の @code{s}$ に, @var{a} を
+代入したものである.
+@item 詳細については, [Saito,Sturmfels,Takayama] を見よ. 
 \E
 \BEG
 @item These functions are defined in @samp{bfct}.
-@item @code{bfunction(@var{f})} computes the global b-function @code{b(s)} of
+@item @code{bfunction(@var{f})} and @code{bfct(@var{f})} compute the global @var{b}-function @code{b(s)} of
 a polynomial @var{f}.
 @code{b(s)} is a polynomial of the minimal degree 
 such that there exists @code{P(x,s)} in D[s], which is a polynomial
 ring over Weyl algebra @code{D}, and @code{P(x,s)f^(s+1)=b(s)f^s} holds.
 @item @code{generic_bfct(@var{f},@var{vlist},@var{dvlist},@var{weight})}
-computes the global b-function of a left ideal @code{I} in @code{D}
+computes the global @var{b}-function of a left ideal @code{I} in @code{D}
 generated by @var{plist}, with respect to @var{weight}.
 @var{vlist} is the list of @code{x}-variables, 
 @var{vlist} is the list of corresponding @code{D}-variables.
-@item See [SST] for the details.
+@item @code{bfunction(@var{f})} and @code{bfct(@var{f})} implement
+different algorithms and the efficiency depends on inputs.
+@item @code{ann(@var{f})} returns the generator set of the annihilator
+ideal of @code{@var{f}^s}.
+@code{ann(@var{f})} returns a list @code{[@var{a},@var{list}]},
+where @var{a} is the minimal integral root of the global @var{b}-function
+of @var{f}, and @var{list} is a list of polynomials obtained by
+substituting @code{s} in @code{ann(@var{f})} with @var{a}.
+@item See [Saito,Sturmfels,Takayama] for the details.
 \E
 @end itemize
 
@@ -3945,6 +4278,11 @@ x*y*dt+5*z^4*dt+dz,-x^4-z*y*x-y^4-z^5+t]$
 [219] generic_bfct(F,[t,z,y,x],[dt,dz,dy,dx],[1,0,0,0]);
 20000*s^10-70000*s^9+101750*s^8-79375*s^7+35768*s^6-9277*s^5
 +1278*s^4-72*s^3
+[220] P=x^3-y^2$
+[221] ann(P);
+[2*dy*x+3*dx*y^2,-3*dx*x-2*dy*y+6*s]
+[222] ann0(P);
+[-1,[2*dy*x+3*dx*y^2,-3*dx*x-2*dy*y-6]]
 @end example
 
 @table @t