=================================================================== RCS file: /home/cvs/OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v retrieving revision 1.11 retrieving revision 1.24 diff -u -p -r1.11 -r1.24 --- OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi 2003/04/28 06:43:10 1.11 +++ OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi 2020/09/01 09:25:32 1.24 @@ -1,4 +1,4 @@ -@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.10 2003/04/28 03:09:23 noro Exp $ +@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-doc/parts/groebner.texi,v 1.23 2019/09/13 09:31:00 noro Exp $ \BJP @node グレブナ基底の計算,,, Top @chapter グレブナ基底の計算 @@ -15,9 +15,11 @@ * 基本的な函数:: * 計算および表示の制御:: * 項順序の設定:: +* Weight:: * 有理式を係数とするグレブナ基底計算:: * 基底変換:: * Weyl 代数:: +* 多項式環上の加群:: * グレブナ基底に関する函数:: \E \BEG @@ -26,9 +28,11 @@ * Fundamental functions:: * Controlling Groebner basis computations:: * Setting term orderings:: +* Weight:: * Groebner basis computation with rational function coefficients:: * Change of ordering:: * Weyl algebra:: +* Module over a polynomial ring:: * Functions for Groebner basis computation:: \E @end menu @@ -199,16 +203,16 @@ In an @b{Asir} session, it is displayed in the form li \EG and also can be input in such a form. \BJP -@itemx 頭単項式 (head monomial) @item 頭項 (head term) +@itemx 頭単項式 (head monomial) @itemx 頭係数 (head coefficient) 分散表現多項式における各単項式は, 項順序により整列される. この時順 序最大の単項式を頭単項式, それに現れる項, 係数をそれぞれ頭項, 頭係数 と呼ぶ. \E \BEG -@itemx head monomial @item head term +@itemx head monomial @itemx head coefficient Monomials in a distributed polynomial is sorted by a total order. @@ -218,7 +222,45 @@ the head term and the head coefficient respectively. \E @end table +@noindent +ChangeLog +@itemize @bullet \BJP +@item 分散表現多項式は任意のオブジェクトを係数にもてるようになった. +また加群のk成分の要素を次の形式 <> で表現するようになった (2017-08-31). +\E +\BEG +@item Distributed polynomials accept objects as coefficients. +The k-th element of a free module is expressed as <> (2017-08-31). +\E +@item +1.15 algnum.c, +1.53 ctrl.c, +1.66 dp-supp.c, +1.105 dp.c, +1.73 gr.c, +1.4 reduct.c, +1.16 _distm.c, +1.17 dalg.c, +1.52 dist.c, +1.20 distm.c, +1.8 gmpq.c, +1.238 engine/nd.c, +1.102 ca.h, +1.411 version.h, +1.28 cpexpr.c, +1.42 pexpr.c, +1.20 pexpr_body.c, +1.40 spexpr.c, +1.27 arith.c, +1.77 eval.c, +1.56 parse.h, +1.37 parse.y, +1.8 stdio.c, +1.31 plotf.c +@end itemize + +\BJP @node ファイルの読み込み,,, グレブナ基底の計算 @section ファイルの読み込み \E @@ -1055,6 +1097,139 @@ beforehand, and some heuristic trial may be inevitable \E \BJP +@node Weight ,,, グレブナ基底の計算 +@section Weight +\E +\BEG +@node Weight,,, Groebner basis computation +@section Weight +\E +\BJP +前節で紹介した項順序は, 各変数に weight (重み) を設定することで +より一般的なものとなる. +\E +\BEG +Term orderings introduced in the previous section can be generalized +by setting a weight for each variable. +\E +@example +[0] dp_td(<<1,1,1>>); +3 +[1] dp_set_weight([1,2,3])$ +[2] dp_td(<<1,1,1>>); +6 +@end example +\BJP +単項式の全次数を計算する際, デフォルトでは +各変数の指数の和を全次数とする. これは各変数の weight を 1 と +考えていることに相当する. この例では, 第一, 第二, 第三変数の +weight をそれぞれ 1,2,3 と指定している. このため, @code{<<1,1,1>>} +の全次数 (以下ではこれを単項式の weight と呼ぶ) が @code{1*1+1*2+1*3=6} となる. +weight を設定することで, 同じ項順序型のもとで異なる項順序が定義できる. +例えば, weight をうまく設定することで, 多項式を weighted homogeneous +にすることができる場合がある. +\E +\BEG +By default, the total degree of a monomial is equal to +the sum of all exponents. This means that the weight for each variable +is set to 1. +In this example, the weights for the first, the second and the third +variable are set to 1, 2 and 3 respectively. +Therefore the total degree of @code{<<1,1,1>>} under this weight, +which is called the weight of the monomial, is @code{1*1+1*2+1*3=6}. +By setting weights, different term orderings can be set under a type of +term ordeing. In some case a polynomial can +be made weighted homogeneous by setting an appropriate weight. +\E + +\BJP +各変数に対する weight をまとめたものを weight vector と呼ぶ. +すべての成分が正であり, グレブナ基底計算において, 全次数の +代わりに用いられるものを特に sugar weight と呼ぶことにする. +sugar strategy において, 全次数の代わりに使われるからである. +一方で, 各成分が必ずしも正とは限らない weight vector は, +sugar weight として設定することはできないが, 項順序の一般化には +有用である. これらは, 行列による項順序の設定にすでに現れて +いる. すなわち, 項順序を定義する行列の各行が, 一つの weight vector +と見なされる. また, ブロック順序は, 各ブロックの +変数に対応する成分のみ 1 で他は 0 の weight vector による比較を +最初に行ってから, 各ブロック毎の tie breaking を行うことに相当する. +\E + +\BEG +A list of weights for all variables is called a weight vector. +A weight vector is called a sugar weight vector if +its elements are all positive and it is used for computing +a weighted total degree of a monomial, because such a weight +is used instead of total degree in sugar strategy. +On the other hand, a weight vector whose elements are not necessarily +positive cannot be set as a sugar weight, but it is useful for +generalizing term order. In fact, such a weight vector already +appeared in a matrix order. That is, each row of a matrix defining +a term order is regarded as a weight vector. A block order +is also considered as a refinement of comparison by weight vectors. +It compares two terms by using a weight vector whose elements +corresponding to variables in a block is 1 and 0 otherwise, +then it applies a tie breaker. +\E + +\BJP +weight vector の設定は @code{dp_set_weight()} で行うことができる +が, 項順序を指定する際の他のパラメタ (項順序型, 変数順序) と +まとめて設定できることが望ましい. このため, 次のような形でも +項順序が指定できる. +\E +\BEG +A weight vector can be set by using @code{dp_set_weight()}. +However it is more preferable if a weight vector can be set +together with other parapmeters such as a type of term ordering +and a variable order. This is realized as follows. +\E + +@example +[64] B=[x+y+z-6,x*y+y*z+z*x-11,x*y*z-6]$ +[65] dp_gr_main(B|v=[x,y,z],sugarweight=[3,2,1],order=0); +[z^3-6*z^2+11*z-6,x+y+z-6,-y^2+(-z+6)*y-z^2+6*z-11] +[66] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]); +[x^3-6*x^2+11*x-6,x+y+z-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11] +[67] dp_gr_main(B|v=[y,z,x],order=[[x,1,y,2,z,3]]); +[x+y+z-6,x^3-6*x^2+11*x-6,-x^2+(-y+6)*x-y^2+6*y-11] +@end example + +\BJP +いずれの例においても, 項順序は option として指定されている. +最初の例では @code{v} により変数順序を, @code{sugarweight} により +sugar weight vector を, @code{order}により項順序型を指定している. +二つ目の例における @code{order} の指定は matrix order と同様である. +すなわち, 指定された weight vector を左から順に使って weight の比較 +を行う. 三つ目の例も同様であるが, ここでは weight vector の要素を +変数毎に指定している. 指定がないものは 0 となる. 三つ目の例では, +@code{order} による指定では項順序が決定しない. この場合には, +tie breaker として全次数逆辞書式順序が自動的に設定される. +この指定方法は, @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} など +の組み込み関数でのみ可能であり, @code{gr} などのユーザ定義関数 +では未対応である. +\E +\BEG +In each example, a term ordering is specified as options. +In the first example, a variable order, a sugar weight vector +and a type of term ordering are specified by options @code{v}, +@code{sugarweight} and @code{order} respectively. +In the second example, an option @code{order} is used +to set a matrix ordering. That is, the specified weight vectors +are used from left to right for comparing terms. +The third example shows a variant of specifying a weight vector, +where each component of a weight vector is specified variable by variable, +and unspecified components are set to zero. In this example, +a term order is not determined only by the specified weight vector. +In such a case a tie breaker by the graded reverse lexicographic ordering +is set automatically. +This type of a term ordering specification can be applied only to builtin +functions such as @code{dp_gr_main()}, @code{dp_gr_mod_main()}, not to +user defined functions such as @code{gr()}. +\E + +\BJP @node 有理式を係数とするグレブナ基底計算,,, グレブナ基底の計算 @section 有理式を係数とするグレブナ基底計算 \E @@ -1313,6 +1488,57 @@ Computation of the global b function is implemented as \E \BJP +@node 多項式環上の加群,,, グレブナ基底の計算 +@section 多項式環上の加群 +\E +\BEG +@node Module over a polynomial ring,,, Groebner basis computation +@section Module over a polynomial ring +\E + +@noindent + +\BJP +多項式環上の自由加群の元は, 加群単項式 te_i の線型和として内部表現される. +ここで t は多項式環の単項式, e_i は自由加群の標準基底である. 加群単項式は, 多項式環の単項式 +に位置 i を追加した @code{<>} で表す. 加群多項式, すなわち加群単項式の線型和は, +設定されている加群項順序にしたがって降順に整列される. 加群項順序には以下の3種類がある. + +@table @code +@item TOP 順序 + +これは, te_i > se_j となるのは t>s または (t=s かつ i se_j となるのは is) となるような項順序である. ここで, +t, s の比較は多項式環に設定されている順序で行う. +この型の順序は, @code{dp_ord([1,Ord])} に +より設定する. ここで, @code{Ord} は多項式環の順序型である. + +@item Schreyer 型順序 + +各標準基底 e_i に対し, 別の自由加群の加群単項式 T_i が与えられていて, te_i > se_j となるのは +tT_i > sT_j または (tT_i=sT_j かつ i>} なる形式で直接入力する他に, +多項式リストを作り, @code{dpm_ltod()} により変換する方法もある. +\E +\BEG +not yet +\E + +\BJP @node グレブナ基底に関する函数,,, グレブナ基底の計算 @section グレブナ基底に関する函数 \E @@ -1329,15 +1555,25 @@ Computation of the global b function is implemented as * tolexm minipolym:: * dp_gr_main dp_gr_mod_main dp_gr_f_main dp_weyl_gr_main dp_weyl_gr_mod_main dp_weyl_gr_f_main:: * dp_f4_main dp_f4_mod_main dp_weyl_f4_main dp_weyl_f4_mod_main:: +* nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace:: +* nd_gr_postproc nd_weyl_gr_postproc:: * dp_gr_flags dp_gr_print:: * dp_ord:: +* dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight:: * dp_ptod:: * dp_dtop:: * dp_mod dp_rat:: * dp_homo dp_dehomo:: * dp_ptozp dp_prim:: -* dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod:: +* dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod:: * dp_hm dp_ht dp_hc dp_rest:: +* dpm_hm dpm_ht dpm_hc dpm_hp dpm_rest:: +* dpm_sp:: +* dpm_redble:: +* dpm_nf dpm_nf_and_quotient:: +* dpm_dtol:: +* dpm_ltod:: +* dpm_dptodpm:: * dp_td dp_sugar:: * dp_lcm:: * dp_redble:: @@ -1394,6 +1630,8 @@ Computation of the global b function is implemented as @item 標準ライブラリの @samp{gr} で定義されている. @item +gr を名前に含む関数は現在メンテされていない. @code{nd_gr}系の関数を代わりに利用すべきである(@fref{nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace}). +@item いずれも, 多項式リスト @var{plist} の, 変数順序 @var{vlist}, 項順序型 @var{order} に関するグレブナ基底を求める. @code{gr()}, @code{hgr()} は 有理数係数, @code{gr_mod()} は GF(@var{p}) 係数として計算する. @@ -1405,18 +1643,29 @@ Computation of the global b function is implemented as strategy による計算, @code{hgr()} は trace-lifting および 斉次化による 矯正された sugar strategy による計算を行う. @item -@code{dgr()} は, @code{gr()}, @code{dgr()} を +@code{dgr()} は, @code{gr()}, @code{hgr()} を 子プロセスリスト @var{procs} の 2 つのプロセスにより同時に計算させ, 先に結果を返した方の結果を返す. 結果は同一であるが, どちらの方法が 高速か一般には不明のため, 実際の経過時間を短縮するのに有効である. @item @code{dgr()} で表示される時間は, この函数が実行されているプロセスでの CPU 時間であり, この函数の場合はほとんど通信のための時間である. +@item +多項式リスト @var{plist} の要素が分散表現多項式の場合は +結果も分散表現多項式のリストである. +この場合, 引数の分散多項式は与えられた順序に従い @code{dp_sort} で +ソートされてから計算される. +多項式リストの要素が分散表現多項式の場合も +変数の数分の不定元のリストを @var{vlist} 引数として与えないといけない +(ダミー). \E \BEG @item These functions are defined in @samp{gr} in the standard library directory. +@item +Functions of which names contains gr are obsolted. +Functions of @code{nd_gr} families should be used (@fref{nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace}). @item They compute a Groebner basis of a polynomial list @var{plist} with respect to the variable order @var{vlist} and the order type @var{order}. @@ -1440,6 +1689,13 @@ Therefore this function is useful to reduce the actual The CPU time shown after an exection of @code{dgr()} indicates that of the master process, and most of the time corresponds to the time for communication. +@item +When the elements of @var{plist} are distributed polynomials, +the result is also a list of distributed polynomials. +In this case, firstly the elements of @var{plist} is sorted by @code{dp_sort} +and the Grobner basis computation is started. +Variables must be given in @var{vlist} even in this case +(these variables are dummy). \E @end itemize @@ -2153,6 +2409,234 @@ except for lack of the argument for controlling homoge \EG @fref{Controlling Groebner basis computations} @end table +\JP @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node nd_gr nd_gr_trace nd_f4 nd_f4_trace nd_weyl_gr nd_weyl_gr_trace,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{nd_gr}, @code{nd_gr_trace}, @code{nd_f4}, @code{nd_f4_trace}, @code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} +@findex nd_gr +@findex nd_gr_trace +@findex nd_f4 +@findex nd_f4_trace +@findex nd_weyl_gr +@findex nd_weyl_gr_trace + +@table @t +@item nd_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order}[|@var{option=value,...}]) +@itemx nd_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order}[|@var{option=value,...}]) +@itemx nd_f4(@var{plist},@var{vlist},@var{modular},@var{order}[|@var{option=value,...}]) +@itemx nd_f4_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order}[|@var{option=value,...}]) +@itemx nd_weyl_gr(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order}[|@var{option=value,...}]) +@itemx nd_weyl_gr_trace(@var{plist},@var{vlist},@var{homo},@var{p},@var{order}[|@var{option=value,...}]) +\JP :: グレブナ基底の計算 (組み込み函数) +\EG :: Groebner basis computation (built-in functions) +@end table + +@table @var +@item return +\JP リスト +\EG list +@item plist vlist +\JP リスト +\EG list +@item order +\JP 数, リストまたは行列 +\EG number, list or matrix +@item homo +\JP フラグ +\EG flag +@item modular +\JP フラグまたは素数 +\EG flag or prime +@end table + +\BJP +@itemize @bullet +@item +これらの函数は, グレブナ基底計算組み込み関数の新実装である. +@item @code{nd_gr} は, @code{p} が 0 のとき有理数体上の Buchberger +アルゴリズムを実行する. @code{p} が 2 以上の自然数のとき, GF(p) 上の +Buchberger アルゴリズムを実行する. +@item @code{nd_gr_trace} および @code{nd_f4_trace} +は有理数体上で trace アルゴリズムを実行する. +@var{p} が 0 または 1 のとき, 自動的に選ばれた素数を用いて, 成功する +まで trace アルゴリズムを実行する. +@var{p} が 2 以上のとき, trace はGF(p) 上で計算される. trace アルゴリズム +が失敗した場合 0 が返される. @var{p} が負の場合, グレブナ基底チェックは +行わない. この場合, @var{p} が -1 ならば自動的に選ばれた素数が, +それ以外は指定された素数を用いてグレブナ基底候補の計算が行われる. +@code{nd_f4_trace} は, 各全次数について, ある有限体上で F4 アルゴリズム +で行った結果をもとに, その有限体上で 0 でない基底を与える S-多項式のみを +用いて行列生成を行い, その全次数における基底を生成する方法である. 得られる +多項式集合はやはりグレブナ基底候補であり, @code{nd_gr_trace} と同様の +チェックが行われる. +@item +@code{nd_f4} は @code{modular} が 0 のとき有理数体上の, @code{modular} が +マシンサイズ素数のとき有限体上の F4 アルゴリズムを実行する. +@item +@var{plist} が多項式リストの場合, @var{plist}で生成されるイデアルのグレブナー基底が +計算される. @var{plist} が多項式リストのリストの場合, 各要素は多項式環上の自由加群の元と見なされ, +これらが生成する部分加群のグレブナー基底が計算される. 後者の場合, 項順序は加群に対する項順序を +指定する必要がある. これは @var{[s,ord]} の形で指定する. @var{s} が 0 ならば TOP (Term Over Position), +1 ならば POT (Position Over Term) を意味し, @var{ord} は多項式環の単項式に対する項順序である. +@item +@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} は Weyl 代数用である. +@item +@code{f4} 系関数以外はすべて有理関数係数の計算が可能である. +@item +一般に @code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main} より高速であるが, +特に有限体上の場合顕著である. +@item +以下のオプションが指定できる. +@table @code +@item homo +1 のとき, 斉次化を経由して計算する. (@code{nd_gr}, @code{nd_f4} のみ) +@item dp +1 のとき, 分散表現多項式 (加群の場合には加群多項式) を結果として返す. +@item nora +1 のとき, 結果の相互簡約を行わない. +@end table +@end itemize +\E + +\BEG +@itemize @bullet +@item +These functions are new implementations for computing Groebner bases. +@item @code{nd_gr} executes Buchberger algorithm over the rationals +if @code{p} is 0, and that over GF(p) if @code{p} is a prime. +@item @code{nd_gr_trace} executes the trace algorithm over the rationals. +If @code{p} is 0 or 1, the trace algorithm is executed until it succeeds +by using automatically chosen primes. +If @code{p} a positive prime, +the trace is comuted over GF(p). +If the trace algorithm fails 0 is returned. +If @code{p} is negative, +the Groebner basis check and ideal-membership check are omitted. +In this case, an automatically chosen prime if @code{p} is 1, +otherwise the specified prime is used to compute a Groebner basis +candidate. +Execution of @code{nd_f4_trace} is done as follows: +For each total degree, an F4-reduction of S-polynomials over a finite field +is done, and S-polynomials which give non-zero basis elements are gathered. +Then F4-reduction over Q is done for the gathered S-polynomials. +The obtained polynomial set is a Groebner basis candidate and the same +check procedure as in the case of @code{nd_gr_trace} is done. +@item +@code{nd_f4} executes F4 algorithm over Q if @code{modular} is equal to 0, +or over a finite field GF(@code{modular}) +if @code{modular} is a prime number of machine size (<2^29). +If @var{plist} is a list of polynomials, then a Groebner basis of the ideal generated by @var{plist} +is computed. If @var{plist} is a list of lists of polynomials, then each list of polynomials are regarded +as an element of a free module over a polynomial ring and a Groebner basis of the sub-module generated by @var{plist} +in the free module. In the latter case a term order in the free module should be specified. +This is specified by @var{[s,ord]}. If @var{s} is 0 then it means TOP (Term Over Position). +If @var{s} is 1 then it means POT 1 (Position Over Term). @var{ord} is a term order in the base polynomial ring. +@item +@code{nd_weyl_gr}, @code{nd_weyl_gr_trace} are for Weyl algebra computation. +@item +Functions except for F4 related ones can handle rational coeffient cases. +@item +In general these functions are more efficient than +@code{dp_gr_main}, @code{dp_gr_mod_main}, especially over finite fields. +@item +The fallowing options can be specified. +@table @code +@item homo +If set to 1, the computation is done via homogenization. (only for @code{nd_gr} and @code{nd_f4}) +@item dp +If set to 1, the functions return a list of distributed polynomials (a list of +module polynomials when the input is a sub-module). +@item nora +If set to 1, the inter-reduction is not performed. +@end table +@end itemize +\E + +@example +[38] load("cyclic")$ +[49] C=cyclic(7)$ +[50] V=vars(C)$ +[51] cputime(1)$ +[52] dp_gr_mod_main(C,V,0,31991,0)$ +26.06sec + gc : 0.313sec(26.4sec) +[53] nd_gr(C,V,31991,0)$ +ndv_alloc=1477188 +5.737sec + gc : 0.1837sec(5.921sec) +[54] dp_f4_mod_main(C,V,31991,0)$ +3.51sec + gc : 0.7109sec(4.221sec) +[55] nd_f4(C,V,31991,0)$ +1.906sec + gc : 0.126sec(2.032sec) +@end example + +@table @t +\JP @item 参照 +\EG @item References +@fref{dp_ord}, +@fref{dp_gr_flags dp_gr_print}, +\JP @fref{計算および表示の制御}. +\EG @fref{Controlling Groebner basis computations} +@end table + +\JP @node nd_gr_postproc nd_weyl_gr_postproc,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node nd_gr_postproc nd_weyl_gr_postproc,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{nd_gr_postproc}, @code{nd_weyl_gr_postproc} +@findex nd_gr_postproc +@findex nd_weyl_gr_postproc + +@table @t +@item nd_gr_postproc(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order},@var{check}) +@itemx nd_weyl_gr_postproc(@var{plist},@var{vlist},@var{p},@var{order},@var{check}) +\JP :: グレブナ基底候補のチェックおよび相互簡約 +\EG :: Check of Groebner basis candidate and inter-reduction +@end table + +@table @var +@item return +\JP リスト または 0 +\EG list or 0 +@item plist vlist +\JP リスト +\EG list +@item p +\JP 素数または 0 +\EG prime or 0 +@item order +\JP 数, リストまたは行列 +\EG number, list or matrix +@item check +\JP 0 または 1 +\EG 0 or 1 +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +グレブナ基底(候補)の相互簡約を行う. +@item +@code{nd_weyl_gr_postproc} は Weyl 代数用である. +@item +@var{check=1} の場合, @var{plist} が, @var{vlist}, @var{p}, @var{order} で指定される多項式環, 項順序でグレブナー基底になっているか +のチェックも行う. +@item +斉次化して計算したグレブナー基底を非斉次化したものを相互簡約を行う, CRT で計算したグレブナー基底候補のチェックを行うなどの場合に用いる. +\E +\BEG +@item +Perform the inter-reduction for a Groebner basis (candidate). +@item +@code{nd_weyl_gr_postproc} is for Weyl algebra. +@item +If @var{check=1} then the check whether @var{plist} is a Groebner basis with respect to a term order in a polynomial ring +or Weyl algebra specified by @var{vlist}, @var{p} and @var{order}. +@item +This function is used for inter-reduction of a non-reduced Groebner basis that is obtained by dehomogenizing a Groebner basis +computed via homogenization, or Groebner basis check of a Groebner basis candidate computed by CRT. +\E +@end itemize + +@example +afo +@end example + \JP @node dp_gr_flags dp_gr_print,,, グレブナ基底に関する函数 \EG @node dp_gr_flags dp_gr_print,,, Functions for Groebner basis computation @subsection @code{dp_gr_flags}, @code{dp_gr_print} @@ -2283,6 +2767,12 @@ uses the value as a flag for showing intermediate info @item トップレベル函数以外の函数を直接呼び出す場合には, この函数により 変数順序型を正しく設定しなければならない. + +@item +引数がリストの場合, 自由加群における項順序型を設定する. 引数が@code{[0,Ord]} の場合, +多項式環上で @code{Ord} で指定される項順序に基づく TOP 順序, 引数が @code{[1,Ord]} の場合 +OPT 順序を設定する. + \E \BEG @item @@ -2310,6 +2800,12 @@ that such polynomials were generated under the same or @item Type of term ordering must be correctly set by this function when functions other than top level functions are called directly. + +@item +If the argument is a list, then an ordering type in a free module is set. +If the argument is @code{[0,Ord]} then a TOP ordering based on the ordering type specified +by @code{Ord} is set. +If the argument is @code{[1,Ord]} then a POT ordering is set. \E @end itemize @@ -2329,6 +2825,79 @@ when functions other than top level functions are call \EG @fref{Setting term orderings} @end table +\JP @node dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dp_set_weight dp_set_top_weight dp_weyl_set_weight,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{dp_set_weight}, @code{dp_set_top_weight}, @code{dp_weyl_set_weight} +@findex dp_set_weight +@findex dp_set_top_weight +@findex dp_weyl_set_weight + +@table @t +@item dp_set_weight([@var{weight}]) +\JP :: sugar weight の設定, 参照 +\EG :: Set and show the sugar weight. +@item dp_set_top_weight([@var{weight}]) +\JP :: top weight の設定, 参照 +\EG :: Set and show the top weight. +@item dp_weyl_set_weight([@var{weight}]) +\JP :: weyl weight の設定, 参照 +\EG :: Set and show the weyl weight. +@end table + +@table @var +@item return +\JP ベクトル +\EG a vector +@item weight +\JP 整数のリストまたはベクトル +\EG a list or vector of integers +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +@code{dp_set_weight} は sugar weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, +現在設定されている sugar weight を返す. sugar weight は正整数を成分とするベクトルで, +各変数の重みを表す. 次数つき順序において, 単項式の次数を計算する際に用いられる. +斉次化変数用に, 末尾に 1 を付け加えておくと安全である. +@item +@code{dp_set_top_weight} は top weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, +現在設定されている top weight を返す. top weight が設定されているとき, +まず top weight による単項式比較を先に行う. tie breaker として現在設定されている +項順序が用いられるが, この比較には top weight は用いられない. + +@item +@code{dp_weyl_set_weight} は weyl weight を @var{weight} に設定する. 引数がない時, +現在設定されている weyl weight を返す. weyl weight w を設定すると, +項順序型 11 での計算において, (-w,w) を top weight, tie breaker を graded reverse lex +とした項順序が設定される. +\E +\BEG +@item +@code{dp_set_weight} sets the sugar weight=@var{weight}. It returns the current sugar weight. +A sugar weight is a vector with positive integer components and it represents the weights of variables. +It is used for computing the weight of a monomial in a graded ordering. +It is recommended to append a component 1 at the end of the weight vector for a homogenizing variable. +@item +@code{dp_set_top_weight} sets the top weight=@var{weight}. It returns the current top weight. +It a top weight is set, the weights of monomials under the top weight are firstly compared. +If the the weights are equal then the current term ordering is applied as a tie breaker, but +the top weight is not used in the tie breaker. + +@item +@code{dp_weyl_set_weight} sets the weyl weigh=@var{weight}. It returns the current weyl weight. +If a weyl weight w is set, in the comparsion by the term order type 11, a term order with +the top weight=(-w,w) and the tie breaker=graded reverse lex is applied. +\E +@end itemize + +@table @t +\JP @item 参照 +\EG @item References +@fref{Weight} +@end table + + \JP @node dp_ptod,,, グレブナ基底に関する函数 \EG @node dp_ptod,,, Functions for Groebner basis computation @subsection @code{dp_ptod} @@ -2388,6 +2957,171 @@ the coefficient field. @fref{dp_ord}. @end table +\JP @node dpm_dptodpm,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dpm_dptodpm,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{dpm_dptodpm} +@findex dpm_dptodpm + +@table @t +@item dpm_dptodpm(@var{dpoly},@var{pos}) +\JP :: 分散表現多項式を加群多項式に変換する. +\EG :: Converts a distributed polynomial into a module polynomial. +@end table + +@table @var +@item return +\JP 加群多項式 +\EG module polynomial +@item dpoly +\JP 分散表現多項式 +\EG distributed polynomial +@item pos +\JP 正整数 +\EG positive integer +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +分散表現多項式を加群多項式に変換する. +@item +出力は加群多項式 @code{dpoly e_pos} である. +\E +\BEG +@item +This function converts a distributed polynomial into a module polynomial. +@item +The output is @code{dpoly e_pos}. +\E +@end itemize + +@example +[50] dp_ord([0,0])$ +[51] D=dp_ptod((x+y+z)^2,[x,y,z]); +(1)*<<2,0,0>>+(2)*<<1,1,0>>+(1)*<<0,2,0>>+(2)*<<1,0,1>>+(2)*<<0,1,1>> ++(1)*<<0,0,2>> +[52] dp_dptodpm(D,2); +(1)*<<2,0,0:2>>+(2)*<<1,1,0:2>>+(1)*<<0,2,0:2>>+(2)*<<1,0,1:2>> ++(2)*<<0,1,1:2>>+(1)*<<0,0,2:2>> +@end example + +@table @t +\JP @item 参照 +\EG @item References +@fref{dp_ptod}, +@fref{dp_ord}. +@end table + +\JP @node dpm_ltod,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dpm_ltod,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{dpm_ltod} +@findex dpm_ltod + +@table @t +@item dpm_dptodpm(@var{plist},@var{vlist}) +\JP :: 多項式リストを加群多項式に変換する. +\EG :: Converts a list of polynomials into a module polynomial. +@end table + +@table @var +@item return +\JP 加群多項式 +\EG module polynomial +@item plist +\JP 多項式リスト +\EG list of polynomials +@item vlist +\JP 変数リスト +\EG list of variables +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +多項式リストを加群多項式に変換する. +@item +@code{[p1,...,pm]} は @code{p1 e1+...+pm em} に変換される. +\E +\BEG +@item +This function converts a list of polynomials into a module polynomial. +@item +@code{[p1,...,pm]} is converted into @code{p1 e1+...+pm em}. +\E +@end itemize + +@example +[2126] dp_ord([0,0])$ +[2127] dpm_ltod([x^2+y^2,x,y-z],[x,y,z]); +(1)*<<2,0,0:1>>+(1)*<<0,2,0:1>>+(1)*<<1,0,0:2>>+(1)*<<0,1,0:3>> ++(-1)*<<0,0,1:3>> +@end example + +@table @t +\JP @item 参照 +\EG @item References +@fref{dpm_dtol}, +@fref{dp_ord}. +@end table + +\JP @node dpm_dtol,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dpm_dtol,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{dpm_dtol} +@findex dpm_dtol + +@table @t +@item dpm_dptodpm(@var{poly},@var{vlist}) +\JP :: 加群多項式を多項式リストに変換する. +\EG :: Converts a module polynomial into a list of polynomials. +@end table + +@table @var +@item return +\JP 多項式リスト +\EG list of polynomials +@item poly +\JP 加群多項式 +\EG module polynomial +@item vlist +\JP 変数リスト +\EG list of variables +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +加群多項式を多項式リストに変換する. +@item +@code{p1 e1+...+pm em} は @code{[p1,...,pm]} に変換される. +@item +出力リストの長さは, @code{poly} に含まれる標準基底の最大インデックスとなる. +\E +\BEG +@item +This function converts a module polynomial into a list of polynomials. +@item +@code{p1 e1+...+pm em} is converted into @code{[p1,...,pm]}. +@item +The length of the output list is equal to the largest index among those of the standard bases +containd in @code{poly}. +\E +@end itemize + +@example +[2126] dp_ord([0,0])$ +[2127] D=(1)*<<2,0,0:1>>+(1)*<<0,2,0:1>>+(1)*<<1,0,0:2>>+(1)*<<0,1,0:3>> ++(-1)*<<0,0,1:3>>$ +[2128] dpm_dtol(D,[x,y,z]); +[x^2+y^2,x,y-z] +@end example + +@table @t +\JP @item 参照 +\EG @item References +@fref{dpm_ltod}, +@fref{dp_ord}. +@end table + \JP @node dp_dtop,,, グレブナ基底に関する函数 \EG @node dp_dtop,,, Functions for Groebner basis computation @subsection @code{dp_dtop} @@ -2511,7 +3245,7 @@ converting the coefficients into elements of a finite @table @t \JP @item 参照 \EG @item References -@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod}, +@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod}, @fref{subst psubst}, @fref{setmod}. @end table @@ -2602,7 +3336,7 @@ These are used internally in @code{hgr()} etc. into an integral distributed polynomial such that GCD of all its coefficients is 1. \E -@itemx dp_prim(@var{dpoly}) +@item dp_prim(@var{dpoly}) \JP :: 有理式倍して係数を整数係数多項式係数かつ係数の多項式 GCD を 1 にする. \BEG :: Converts a distributed polynomial @var{poly} with rational function @@ -2655,17 +3389,21 @@ polynomial contents included in the coefficients are n @fref{ptozp}. @end table -\JP @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod,,, グレブナ基底に関する函数 -\EG @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod,,, Functions for Groebner basis computation +\JP @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod,,, Functions for Groebner basis computation @subsection @code{dp_nf}, @code{dp_nf_mod}, @code{dp_true_nf}, @code{dp_true_nf_mod} @findex dp_nf @findex dp_true_nf @findex dp_nf_mod @findex dp_true_nf_mod +@findex dp_weyl_nf +@findex dp_weyl_nf_mod @table @t @item dp_nf(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce}) +@item dp_weyl_nf(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce}) @item dp_nf_mod(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce},@var{mod}) +@item dp_weyl_nf_mod(@var{indexlist},@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce},@var{mod}) \JP :: 分散表現多項式の正規形を求める. (結果は定数倍されている可能性あり) \BEG @@ -2707,6 +3445,8 @@ is returned in such a list as @code{[numerator, denomi @item 分散表現多項式 @var{dpoly} の正規形を求める. @item +名前に weyl を含む関数はワイル代数における正規形計算を行う. 以下の説明は weyl を含むものに対しても同様に成立する. +@item @code{dp_nf_mod()}, @code{dp_true_nf_mod()} の入力は, @code{dp_mod()} など により, 有限体上の分散表現多項式になっていなければならない. @item @@ -2739,6 +3479,9 @@ is returned in such a list as @code{[numerator, denomi @item Computes the normal form of a distributed polynomial. @item +Functions whose name contain @code{weyl} compute normal forms in Weyl algebra. The description below also applies to +the functions for Weyl algebra. +@item @code{dp_nf_mod()} and @code{dp_true_nf_mod()} require distributed polynomials with coefficients in a finite field as arguments. @item @@ -2809,6 +3552,126 @@ u4^2+(6*u3+2*u2+6*u1-2)*u4+9*u3^2+(6*u2+18*u1-6)*u3+u2 @fref{p_nf p_nf_mod p_true_nf p_true_nf_mod}. @end table +\JP @node dpm_nf dpm_nf_and_quotient,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dpm_nf dpm_nf_and_quotient,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{dpm_nf}, @code{dpm_nf_and_quotient} +@findex dpm_nf +@findex dpm_nf_and_quotient + +@table @t +@item dpm_nf([@var{indexlist},]@var{dpoly},@var{dpolyarray},@var{fullreduce}) +\JP :: 加群多項式の正規形を求める. (結果は定数倍されている可能性あり) + +\BEG +:: Computes the normal form of a module polynomial. +(The result may be multiplied by a constant in the ground field.) +\E +@item dpm_nf_and_quotient([@var{indexlist},]@var{dpoly},@var{dpolyarray}) +\JP :: 加群多項式の正規形と商を求める. +\BEG +:: Computes the normal form of a module polynomial and the quotient. +\E +@end table + +@table @var +@item return +\JP @code{dpm_nf()} : 加群多項式, @code{dpm_nf_and_quotient()} : リスト +\EG @code{dpm_nf()} : module polynomial, @code{dpm_nf_and_quotient()} : list +@item indexlist +\JP リスト +\EG list +@item dpoly +\JP 加群多項式 +\EG module polynomial +@item dpolyarray +\JP 配列 +\EG array of module polynomial +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +加群多項式 @var{dpoly} の正規形を求める. +@item +結果に有理数, 有理式が含まれるのを避けるため, @code{dpm_nf()} は +真の値の定数倍の値を返す. +@item +@var{dpolyarray} は加群多項式を要素とするベクトル, +@var{indexlist} は正規化計算に用いる @var{dpolyarray} の要素のインデックス +@item +@var{indexlist} が与えられている場合, @var{dpolyarray} の中で, @var{indexlist} で指定されたもののみが, 前の方から優先的に使われる. +@var{indexlist} が与えられていない場合には, @var{dpolyarray} の中の全ての多項式が前の方から優先的に使われる. +@item +@code{dpm_nf_and_quotient()} は, +@code{[@var{nm},@var{dn},@var{quo}]} なる形のリストを返す. +ただし, @var{nm} は係数に分数を含まない加群多項式, @var{dn} は +数または多項式で @var{nm}/@var{dn} が真の値となる. +@var{quo} は除算の商を表す配列で, @var{dn}@var{dpoly}=@var{nm}+@var{quo[0]dpolyarray[0]+...} が成り立つ. +のリスト. +@item +@var{fullreduce} が 0 でないとき全ての項に対して簡約を行う. @var{fullreduce} +が 0 のとき頭項のみに対して簡約を行う. +\E +\BEG +@item +Computes the normal form of a module polynomial. +@item +The result of @code{dpm_nf()} may be multiplied by a constant in the +ground field in order to make the result integral. +@item +@var{dpolyarray} is a vector whose components are module polynomials +and @var{indexlist} is a list of indices which is used for the normal form +computation. +@item +If @var{indexlist} is given, only the polynomials in @var{dpolyarray} specified in @var{indexlist} +is used in the division. An index placed at the preceding position has priority to be selected. +If @var{indexlist} is not given, all the polynomials in @var{dpolyarray} are used. +@item +@code{dpm_nf_and_quotient()} returns +such a list as @code{[@var{nm},@var{dn},@var{quo}]}. +Here @var{nm} is a module polynomial whose coefficients are integral +in the ground field, @var{dn} is an integral element in the ground +field and @var{nm}/@var{dn} is the true normal form. +@var{quo} is an array containing the quotients of the division satisfying +@var{dn}@var{dpoly}=@var{nm}+@var{quo[0]dpolyarray[0]+...}. +@item +When argument @var{fullreduce} has non-zero value, +all terms are reduced. When it has value 0, +only the head term is reduced. +\E +@end itemize + +@example +[2126] dp_ord([1,0])$ +[2127] S=ltov([(1)*<<0,0,2,0:1>>+(1)*<<0,0,1,1:1>>+(1)*<<0,0,0,2:1>> ++(-1)*<<3,0,0,0:2>>+(-1)*<<0,0,2,1:2>>+(-1)*<<0,0,1,2:2>> ++(1)*<<3,0,1,0:3>>+(1)*<<3,0,0,1:3>>+(1)*<<0,0,2,2:3>>, +(-1)*<<0,1,0,0:1>>+(-1)*<<0,0,1,0:1>>+(-1)*<<0,0,0,1:1>> ++(-1)*<<3,0,0,0:3>>+(1)*<<0,1,1,1:3>>,(1)*<<0,1,0,0:2>> ++(1)*<<0,0,1,0:2>>+(1)*<<0,0,0,1:2>>+(-1)*<<0,1,1,0:3>> ++(-1)*<<0,1,0,1:3>>+(-1)*<<0,0,1,1:3>>])$ +[2128] U=dpm_sp(S[0],S[1]); +(1)*<<0,0,3,0:1>>+(-1)*<<0,1,1,1:1>>+(1)*<<0,0,2,1:1>> ++(-1)*<<0,1,0,2:1>>+(1)*<<3,1,0,0:2>>+(1)*<<0,1,2,1:2>> ++(1)*<<0,1,1,2:2>>+(-1)*<<3,1,1,0:3>>+(1)*<<3,0,2,0:3>> ++(-1)*<<3,1,0,1:3>>+(-1)*<<0,1,3,1:3>>+(-1)*<<0,1,2,2:3>> +[2129] dpm_nf(U,S,1); +0 +[2130] L=dpm_nf_and_quotient(U,S)$ +[2131] Q=L[2]$ +[2132] D=L[1]$ +[2133] D*U-(Q[1]*S[1]+Q[2]*S[2]); +0 +@end example + +@table @t +\JP @item 参照 +\EG @item References +@fref{dpm_sp}, +@fref{dp_ord}. +@end table + + \JP @node dp_hm dp_ht dp_hc dp_rest,,, グレブナ基底に関する函数 \EG @node dp_hm dp_ht dp_hc dp_rest,,, Functions for Groebner basis computation @subsection @code{dp_hm}, @code{dp_ht}, @code{dp_hc}, @code{dp_rest} @@ -2883,6 +3746,88 @@ The next equations hold for a distributed polynomial @ +(-490)*<<0,0,0>> @end example +\JP @node dpm_hm dpm_ht dpm_hc dpm_hp dpm_rest,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dpm_hm dpm_ht dpm_hc dpm_hp dpm_rest,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{dpm_hm}, @code{dpm_ht}, @code{dpm_hc}, @code{dpm_hp}, @code{dpm_rest} +@findex dpm_hm +@findex dpm_ht +@findex dpm_hc +@findex dpm_hp +@findex dpm_rest + +@table @t +@item dpm_hm(@var{dpoly}) +\JP :: 加群多項式の頭単項式を取り出す. +\EG :: Gets the head monomial of a module polynomial. +@item dpm_ht(@var{dpoly}) +\JP :: 加群多項式の頭項を取り出す. +\EG :: Gets the head term of a module polynomial. +@item dpm_hc(@var{dpoly}) +\JP :: 加群多項式の頭係数を取り出す. +\EG :: Gets the head coefficient of a module polynomial. +@item dpm_hp(@var{dpoly}) +\JP :: 加群多項式の頭位置を取り出す. +\EG :: Gets the head position of a module polynomial. +@item dpm_rest(@var{dpoly}) +\JP :: 加群多項式の頭単項式を取り除いた残りを返す. +\EG :: Gets the remainder of a module polynomial where the head monomial is removed. +@end table + +@table @var +\BJP +@item return +@code{dp_hm()}, @code{dp_ht()}, @code{dp_rest()} : 加群多項式, +@code{dp_hc()} : 数または多項式 +@item dpoly +加群多項式 +\E +\BEG +@item return +@code{dpm_hm()}, @code{dpm_ht()}, @code{dpm_rest()} : module polynomial +@code{dpm_hc()} : monomial +@item dpoly +distributed polynomial +\E +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +これらは, 加群多項式の各部分を取り出すための函数である. +@item +@code{dpm_hc()} は, @code{dpm_hm()} の, 標準基底に関する係数である単項式を返す. +スカラー係数を取り出すには, さらに @code{dp_hc()} を実行する. +@item +@code{dpm_hp()} は, 頭加群単項式に含まれる標準基底のインデックスを返す. +\E +\BEG +@item +These are used to get various parts of a module polynomial. +@item +@code{dpm_hc()} returns the monomial that is the coefficient of @code{dpm_hm()} with respect to the +standard base. +For getting its scalar coefficient apply @code{dp_hc()}. +@item +@code{dpm_hp()} returns the index of the standard base conteind in the head module monomial. +\E +@end itemize + +@example +[2126] dp_ord([1,0]); +[1,0] +[2127] F=2*<<1,2,0:2>>-3*<<1,0,2:3>>+<<2,1,0:2>>; +(1)*<<2,1,0:2>>+(2)*<<1,2,0:2>>+(-3)*<<1,0,2:3>> +[2128] M=dpm_hm(F); +(1)*<<2,1,0:2>> +[2129] C=dpm_hc(F); +(1)*<<2,1,0>> +[2130] R=dpm_rest(F); +(2)*<<1,2,0:2>>+(-3)*<<1,0,2:3>> +[2131] dpm_hp(F); +2 +@end example + + \JP @node dp_td dp_sugar,,, グレブナ基底に関する函数 \EG @node dp_td dp_sugar,,, Functions for Groebner basis computation @subsection @code{dp_td}, @code{dp_sugar} @@ -3044,6 +3989,43 @@ Used for finding candidate terms at reduction of polyn @fref{dp_red dp_red_mod}. @end table +\JP @node dpm_redble,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dpm_redble,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{dpm_redble} +@findex dpm_redble + +@table @t +@item dpm_redble(@var{dpoly1},@var{dpoly2}) +\JP :: 頭項どうしが整除可能かどうか調べる. +\EG :: Checks whether one head term is divisible by the other head term. +@end table + +@table @var +@item return +\JP 整数 +\EG integer +@item dpoly1 dpoly2 +\JP 加群多項式 +\EG module polynomial +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +@var{dpoly1} の頭項が @var{dpoly2} の頭項で割り切れれば 1, 割り切れなければ +0 を返す. +@item +多項式の簡約を行う際, どの項を簡約できるかを探すのに用いる. +\E +\BEG +@item +Returns 1 if the head term of @var{dpoly2} divides the head term of +@var{dpoly1}; otherwise 0. +@item +Used for finding candidate terms at reduction of polynomials. +\E +@end itemize + \JP @node dp_subd,,, グレブナ基底に関する函数 \EG @node dp_subd,,, Functions for Groebner basis computation @subsection @code{dp_subd} @@ -3411,6 +4393,46 @@ make the result integral. \EG @item References @fref{dp_mod dp_rat}. @end table + +\JP @node dpm_sp,,, グレブナ基底に関する函数 +\EG @node dmp_sp,,, Functions for Groebner basis computation +@subsection @code{dpm_sp} +@findex dpm_sp + +@table @t +@item dpm_sp(@var{dpoly1},@var{dpoly2}[|coef=1]) +\JP :: S-多項式の計算 +\EG :: Computation of an S-polynomial +@end table + +@table @var +@item return +\JP 加群多項式またはリスト +\EG module polynomial or list +@item dpoly1 dpoly2 +\JP 加群多項式 +\EG module polynomial +\JP 分散表現多項式 +@end table + +@itemize @bullet +\BJP +@item +@var{dpoly1}, @var{dpoly2} の S-多項式を計算する. +@item +オプション @var{coef=1} が指定されている場合, @code{[S,t1,t2]} なるリストを返す. +ここで, @code{t1}, @code{t2} はS-多項式を作る際の係数単項式で @code{S=t1 dpoly1-t2 dpoly2} +を満たす. +\E +\BEG +@item +This function computes the S-polynomial of @var{dpoly1} and @var{dpoly2}. +@item +If an option @var{coef=1} is specified, it returns a list @code{[S,t1,t2]}, +where @code{S} is the S-polynmial and @code{t1}, @code{t2} are monomials satisfying @code{S=t1 dpoly1-t2 dpoly2}. +\E +@end itemize + \JP @node p_nf p_nf_mod p_true_nf p_true_nf_mod,,, グレブナ基底に関する函数 \EG @node p_nf p_nf_mod p_true_nf p_true_nf_mod,,, Functions for Groebner basis computation @subsection @code{p_nf}, @code{p_nf_mod}, @code{p_true_nf}, @code{p_true_nf_mod} @@ -3520,7 +4542,7 @@ refer to @code{dp_true_nf()} and @code{dp_true_nf_mod( @fref{dp_ptod}, @fref{dp_dtop}, @fref{dp_ord}, -@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod}. +@fref{dp_nf dp_nf_mod dp_true_nf dp_true_nf_mod dp_weyl_nf dp_weyl_nf_mod}. @end table \JP @node p_terms,,, グレブナ基底に関する函数