% $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/hg21-ja.tex,v 1.1 2000/12/16 13:29:46 takayama Exp $
\documentclass{jarticle}

\begin{document}

{\tt u1(a,b,c,z)} の戻す行列を $U_1$ とするとき
(u は ``up'' の u である),
$$\pmatrix{
     F'(a+1,b,c;z) \cr
     F(a+1,b,c;z) \cr} = U_1 
  \pmatrix{
     F'(a,b,c;z) \cr
     F(a,b,c;z) \cr} 
$$
がなりたつ.

{\tt u2(a,b,c,z)} の戻す行列を $U_2$ とするとき
(u は ``up'' の u である),
$$\pmatrix{
     F'(a,b+1,c;z) \cr
     F(a,b+1,c;z) \cr} = U_2 
  \pmatrix{
     F'(a,b,c;z) \cr
     F(a,b,c;z) \cr} 
$$
がなりたつ.

{\tt u3(a,b,c,z)} の戻す行列を $U_3$ とするとき
(u は ``up'' の u である),
$$\pmatrix{
     F'(a,b,c+1;z) \cr
     F(a,b,c+1;z) \cr} = U_3 
  \pmatrix{
     F'(a,b,c;z) \cr
     F(a,b,c;z) \cr} 
$$
がなりたつ.

{\tt d1(a,b,c,z)} の戻す行列を $D_1$ とするとき
(d は ``down'' の d である),
$$\pmatrix{
     F'(a-1,b,c;z) \cr
     F(a-1,b,c;z) \cr} = D_1 
  \pmatrix{
     F'(a,b,c;z) \cr
     F(a,b,c;z) \cr} 
$$
がなりたつ.

{\tt d2(a,b,c,z)} の戻す行列を $D_2$ とするとき
(d は ``down'' の d である),
$$\pmatrix{
     F'(a,b-1,c;z) \cr
     F(a,b-1,c;z) \cr} = D_2 
  \pmatrix{
     F'(a,b,c;z) \cr
     F(a,b,c;z) \cr} 
$$
がなりたつ.

{\tt d3(a,b,c,z)} の戻す行列を $D_3$ とするとき
(d は ``down'' の d である),
$$\pmatrix{
     F'(a,b,c-1;z) \cr
     F(a,b,c-1;z) \cr} = D_3 
  \pmatrix{
     F'(a,b,c;z) \cr
     F(a,b,c;z) \cr} 
$$
がなりたつ.

これらは, ガウスの超幾何関数のよくしられた公式である.\\
例:
\begin{verbatim}
[377] load("hg21")$
[378] u1(a,b,c,z);
[ (b*z-c+a+1)/(-a*z+a) (b)/(-z+1) ]
[ (z)/(a) 1 ]
\end{verbatim}


{\tt hg21\_check()} ではこれらの変換公式がただしいか
どうかを,
たとえば,
\verb@  R = d1(a+1,b,c,z)*u1(a,b,c,z); @
が単位行列かどうかをみることにより, チェックしている.

$p, q, r$ を整数とするとき,
これらの行列をかけ算することにより,
次の式をみたす $T$ を得ることが可能である.
$$\pmatrix{
     F'(a+p,b+q,c+r;z) \cr
     F(a+p,b+q,c+r;z) \cr} = T 
  \pmatrix{
     F'(a,b,c;z) \cr
     F(a,b,c;z) \cr} 
$$
ただし, 行列 $U_i, D_i$ の分母が $0$ にならない
ことが必要である.

\noindent
例:
\begin{verbatim}
[379] tam(1/2,1/2,1,3/4);
[Aplus,Bminus,Cplus]=[3,-3,6]
[[ 9402863/1505280 170306533/752640 ]
[ -8131157/430080 -147868387/215040 ],[7/2,-5/2,7]]
[380] 
\end{verbatim}
この出力は,
$$\pmatrix{
     F'(1/2,1/2,1;3/4) \cr
     F(1/2,1/2,1;3/4) \cr} = T 
  \pmatrix{
     F'(7/2,-5/2,7;3/4) \cr
     F(7/2,-5/2,7;3/4) \cr} 
$$
であることを意味する.
ここで,
$$ T = \pmatrix{ 9402863/1505280 & 170306533/752640 \cr
                 -8131157/430080 & -147868387/215040 \cr}
$$
とおく.
関数 {\tt tam} の戻り値の第一成分が 行列 $T$ である.
(cf. 田村氏の, HG function の精度保証計算のプログラム).


なお,  $F'(a,b,c;z)$ は $F(a,b,c;z)$ と $F(a+1,b,c;z)$
で表すことが可能である.
それには次のよくしられた超幾何関数の公式を使えばよい:
$$ \frac{1}{a} z F'(a,b,c;z) = - F(a,b,c;z) + F(a+1,b,c;z). $$

\end{document}