\input texinfo
@comment $OpenXM: OpenXM/src/asir-contrib/packages/doc/f_res/f_res-ja.texi,v 1.2 2017/03/30 06:16:36 takayama Exp $
@comment    Copyright (c)  2005, Kenji Fujiwara,
@comment    Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
@comment    under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1
@comment    or any later version published by the Free Software Foundation;
@comment    with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the
@comment    Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.
@comment    A copy of the license is included in the section entitled "GNU
@comment    Free Documentation License".
@comment
@comment \input texinfo
@iftex
@catcode`@#=6
@def@fref#1{@xrefX[#1,,@code{#1},,,]}
@def@b#1{{@bf@gt #1}}
@catcode`@#=@other
@end iftex
@overfullrule=0pt
@c -*-texinfo-*-
@comment %**start of header
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- GNU info ファイルの名前 ---
@setfilename asir-contrib-f_res

@comment --- タイトル ---
@settitle Risa/Asir 終結式計算パッケージ @code{f_res}

@comment %**end of header
@comment %@setchapternewpage odd

@comment --- おまじない ---
@ifinfo
@macro fref{name}
@ref{\name\,,@code{\name\}}
@end macro
@end ifinfo

@iftex
@comment @finalout
@end iftex

@titlepage
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- タイトル, バージョン, 著者名, 著作権表示 ---
@title Risa/Asir 終結式計算パッケージ @code{f_res} 説明書
@subtitle 利用説明書
@subtitle 1.0 版
@subtitle 2005 年 6 月

@author  by Kenji Fujiwara and Masayuki Noro
@page
@vskip 0pt plus 1filll
Copyright @copyright{} Risa/Asir committers
2001. All rights reserved.
@end titlepage

@comment --- おまじない ---
@synindex vr fn
@comment --- おまじない終り ---

@comment --- @node は GNU info, HTML 用 ---
@comment --- @node  の引数は node-name,  next,  previous,  up --- 
@node Top,, (dir), (dir)

@menu
* 関数マニュアル::
* Index::
@end menu

@node 関数マニュアル,,, Top
@chapter 関数マニュアル

@menu
* 概要::
* Notation::
* 主な関数::
@end menu

@comment --- 書体指定について ---
@comment --- @code{} はタイプライタ体表示 ---
@comment --- @var{} は斜字体表示 ---
@comment --- @b{} はボールド表示 ---
@comment --- @samp{} はファイル名などの表示 ---

@node 概要,,, 関数マニュアル
@section 概要

@code{f_res} パッケージは, 多変数多項式集合に対し, dense な係数をもつ
としてmultipolynomial resultant を計算する @code{f_res.mres}, 
sparse な係数を持つ
場合に sparse resultant を計算する @code{f_res.sres}, Dixon の方法により
resultant を計算する @code{f_res.dres} および, 付随する関数を実装している. 
実際には, これらは真の resultant の多項式倍を返す場合があるが, 消去イデアル
に属する多項式を一つ求めたい場合には, グレブナー基底による消去に比較して
効率がよい場合がある. 

これらの方法においては, 線形計画法, 凸包, mixed volume の計算などが
必要となるが, これらについてはフリーソフト
である @code{cddlib} および @code{MixedVol} を利用した. これらは
OpenXM サーバ @code{ox_sres} としてまとめられている. これは, 
ソースディストリビューションでは, 自動的には make されないが,
@samp{OpenXM/src/ox_cdd} において  make, make install することにより,
asir のライブラリディレクトリにインストールされる. これを利用して
上で述べた resultant を計算する asir 関数が, 
@samp{OpenXM/src/asir-contrib/packages/f_res/f_res.rr} にある. 
これを load することで, 次節以降で述べる機能が使えるようになる.
なお, 線形計画法および凸包計算は, @code{gmp} による
厳密計算を行うものと, 浮動小数による近似計算で行うものの 2 通りが
用意されている. 後者の方が高速だが, 誤差が生ずる場合がある.
この選択は, @code{f_res.gmp()}, @code{f_res.float()} を呼び出す
ことで行う. 



@node Notation,,,関数マニュアル
@section Notation

このマニュアルでは点をリストで, support や polytope をリストのリストで
表す. つまり, 点 (1,1) はリスト @code{[1,1]} で表し, 点 @{(0,0),
(1,0), (0,1) @} からなる polytope をリストのリスト 
@code{[[0,0],[1,0],[0,1] ]} で表す.
@node 主な関数,,, 関数マニュアル
@section 主な関数

@menu
* f_res.mres f_res.mresM::
* f_res.indexof::
* f_res.listadd::
* f_res.start::
* f_res.float::
* f_res.gmp::
* f_res.conv::
* f_res.support::
* f_res.np::
* f_res.msum::
* f_res.mvol::
* f_res.sres::
* f_res.dresM::
* f_res.dixonpolynomial::
* f_res.matrixdecomp::
* f_res.submatrix::
@end menu

@node intersect,,, 主な関数

@node f_res.mres f_res.mresM,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.mres}, @code{f_res.mresM}
@findex f_res.mres
@findex f_res.mresM

@table @t
@item f_res.mres(@var{Equations}, @var{Vars} )
:: Multipolynomial resultant の多項式倍を返す
@item f_res.mresM(@var{Equations}, @var{Vars} )
:: 行列式が @code{f_res.mres} が返す値になるような行列を返す
@end table

@table @var
@item return
@table @t
 @item f_res.mres
 多項式もしくは 0
 @item f_res.mresM
 行列
@end table
@item Equaitons
多項式のリスト
@item Vars
変数のリスト.
@item オプション
@table @t
 @item rsc
 任意
 @item rowidx
 配列
 @item colidx
 配列
 @item p
 素数
 @item sub
 リスト
@end table
@end table

@itemize @bullet
@item @var{Equations} の成分の多項式による不定元を @var{Vars} 
としたとき斉次多項式の場合の方法で @code{f_res.mres} は resultant の多項式倍
を, @code{f_res.mresM} は resultant の多項式倍を行列式にもつ行列を返す.

@item @var{Equations} の成分の多項式は内部で自動的に斉次化されているから,斉次多項式である必要はない.

@item Rank Submatrix Construction を行ないたいときは
オプション @code{rsc} を 1 に設定する.  その場合,この関数は内部で関数 
@code{f_res.submatrix} を呼び出しているので, そのためのオプションはす
べて受け付ける.
@end itemize

@example
[0] F0 = a1*x + a2*y + a3$
[1] F1 = b1*x + b2*y + b3$
[2] F2 = c1*x^2 + c2*y^2 + c3 + c4*x*y + c5*x + c6*y$
[3] f_res.mresM( [F0,F1,F2], [x,y] );
[ 0 0 0 a2 a3 a1 ]
[ 0 a2 a3 0 a1 0 ]
[ a2 a3 0 a1 0 0 ]
[ 0 b2 b3 0 b1 0 ]
[ b2 b3 0 b1 0 0 ]
[ c2 c6 c3 c4 c5 c1 ]
[4] R = f_res.mres( [F0,F1,F2], [x,y] );
(-c3*b2^2+c6*b3*b2-c2*b3^2)*a1^3+(((2*c3*b2-c6*b3)*b1-c5*b3*b2+c4*b3^2)*a2+((-c
6*b2+2*c2*b3)*b1+c5*b2^2-c4*b3*b2)*a3)*a1^2+((-c3*b1^2+c5*b3*b1-c1*b3^2)*a2^2+(
c6*b1^2+(-c5*b2-c4*b3)*b1+2*c1*b3*b2)*a3*a2+(-c2*b1^2+c4*b2*b1-c1*b2^2)*a3^2)*a
1
[5] fctr( R );
[[-1,1],[a1,1],[(c3*b2^2-c6*b3*b2+c2*b3^2)*a1^2+(((-2*c3*b2+c6*b3)*b1+c5*b3*b2-
c4*b3^2)*a2+((c6*b2-2*c2*b3)*b1-c5*b2^2+c4*b3*b2)*a3)*a1+(c3*b1^2-c5*b3*b1+c1*b
3^2)*a2^2+(-c6*b1^2+(c5*b2+c4*b3)*b1-2*c1*b3*b2)*a3*a2+(c2*b1^2-c4*b2*b1+c1*b2^
2)*a3^2,1]]
@end example


@node f_res.indexof,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.indexof}
@findex f_res.indexof

@table @t
@item f_res.indexof(@var{Element}, @var{List} )
:: リスト中に要素が最初に現れる位置を返す
@end table

@table @var
@item Element
検索したい要素
@item List
検索対象のリスト
@item return
@var{List} で最初に現れる @var{Element} のインデックス番号.
@var{List} に @var{Element} が現れない場合は整数 -1.
@end table

@itemize @bullet
@item @var{List} で最初に現れる @var{Element} のインデックス番号を返す.
@var{List} に @var{Element} が現れない場合は -1 を返す.

@item @var{Element} の型は何であっても構わない.

@item 関数 @code{flist} と組み合わせると,ある関数が Asir に
入っているかが分かる.
@end itemize

@example
[0] f_res.indexof( 2, [1,2,3] );
1
[1] f_res.indexof( 4, [1,2,3] );
-1
[2] f_res.indexof( "nd_det", flist() );
31
[3] f_res.indexof( "nd_Det", flist() );
-1
@end example

@node f_res.listadd,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.listadd}
@findex f_res.listadd

@table @t
@item f_res.listadd(@var{A}, @var{B} )
:: リストをベクトルと見て和を求める
@end table

@table @var
@item A
@itemx B
リスト
@item return
リスト
@end table

@itemize @bullet
@item ベクトルの和のようにリスト@var{A} とリスト@var{B} の和を求める.
@item リスト @var{A} とリスト @var{B} の長さは等しくなくてはいけない.
@end itemize

@example
[0] f_res.listadd( [1,2,3], [4,5,6] );
[5,7,9]
[1] f_res.listadd( [a,b,c], [d,e,f] );
[a+d,b+e,c+f]
@end example












@node f_res.start,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.start}
@findex f_res.start

@table @t
@item f_res.start(@var{N})
:: @code{ox_sres} を起動する
@end table

@table @var
@item N
任意
@item return
整数
@end table

@itemize @bullet
@item パラメータ @var{N} が 1 のときは GMP版, それ以外のときは浮動小数版の新しい OpenXM サーバ @code{ox_sres} を起動し,
他の関数で使われるサーバに設定する.
@item 実行ファイルが見つからないときはデバッグモードに入る.
@item 返される整数は通信のための識別子	.
@end itemize

@node f_res.float,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.float}
@findex f_res.float

@table @t
@item f_res.float()
:: @code{ox_sres} を起動する
@end table

@table @var
@item return
整数
@end table

@itemize @bullet
@item 浮動小数版の OpenXM サーバ @code{ox_sres} が存在しないときは起動し,
他の関数で使われるサーバに設定する.
@item 実行ファイルが見つからないときはデバッグモードに入る.
@item すでに存在している場合は他の関数で使われるサーバに設定するだけで新たに起動はしない.
@item 返される整数は通信のための識別子	.
@end itemize

@node f_res.gmp,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.gmp}
@findex f_res.gmp

@table @t
@item f_res.gmp()
:: @code{ox_sres} を起動する
@end table

@table @var
@item return
整数
@end table

@itemize @bullet
@item GMP 版の OpenXM サーバ @code{ox_sres} が存在しないときは起動し,
他の関数で使われるサーバに設定する.
@item 実行ファイルが見つからないときはデバッグモードに入る.
@item すでに存在している場合は他の関数で使われるサーバに設定するだけで新たに起動はしない.
@item 返される整数は通信のための識別子.
@end itemize

@node f_res.conv,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.conv}
@findex f_res.conv

@table @t
@item f_res.conv(@var{List})
:: polytope の凸閉包を求める
@end table

@table @var
@item return
リストのリスト
@item List
点を表すリストのリスト
@end table

@itemize @bullet
@item @var{List} で与えられる polytope の凸閉包を求める.
@item OpenXM サーバ @code{ox_sres} が存在しないときは浮動小数版を起動する.
@item 点の座標は整数しか受け付けない.
@end itemize

@example
[0] f_res.conv( [ [1,1],[0,0],[0,2],[2,0],[2,2] ] );
[[0,0],[0,2],[2,0],[2,2]]
@end example

@node f_res.support,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.support}
@findex f_res.support

@table @t
@item f_res.support(@var{Equation},@var{Vars})
::  多項式の support を返す
@end table

@table @var
@item return
リストのリスト
@item Equation
多項式
@item Vars
不定元のリスト
@end table

@itemize @bullet
@item 不定元を @var{Vars} としたときの多項式 @var{Equation} の support をリストのリストとして返す.
@end itemize

@example
[0] f_res.support( x^2 + x*y + y^2, [x,y] );
[[0,2],[1,1],[2,0]]
[1] f_res.support( x^2 + x*y + y^2, [x,y,z] );
[[0,2,0],[1,1,0],[2,0,0]]
@end example

@node f_res.np,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.np}
@findex f_res.np

@table @t
@item f_res.np(@var{Equation},@var{Vars})
:: Newton polytope を返す
@end table

@table @var
@item return
リストのリスト
@item Equation
多項式
@item Vars
不定元のリスト
@end table

@itemize @bullet
@item 不定元を @var{Vars} としたときの多項式 @var{Equation} の Newton polytope をリストのリストとして返す.
@item OpenXM サーバ @code{ox_sres} が存在しないときは浮動小数版を起動する.
@end itemize


@example
[0] f_res.np( x^2 + x*y + y^2, [x,y] );
[[0,2],[2,0]]
[1] f_res.np( x^2 + x*y + y^2, [x,y,z] );
[[0,2,0],[2,0,0]]
@end example


@node f_res.msum,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.msum}
@findex f_res.msum

@table @t
@item f_res.msum(@var{Polytopes})
:: polytope たちの Minkowski sum を返す
@end table

@table @var
@item return
リストのリスト
@item Polytopes
リストのリストのリスト
@item オプション
@table @var
 @item conv
 任意.
@end table
@end table

@itemize @bullet
@item @var{Polytopes} の成分である polytope による 
Minkowski sum 内のすべての lattice points を求める.
@item @var{conv} が 1 のときは Minkowski sum の凸閉包を返す.
OpenXM サーバ @code{ox_sres} が存在しないときは浮動小数版を起動する.
@end itemize

@example
[0] Q1 = [[0,0],[1,0],[0,1]]$
[1] Q2 = [[0,0],[1,0],[0,1],[1,1]]$
[2] f_res.msum( [Q1,Q1] );
[[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[2,0]]
[3] f_res.msum( [Q1,Q1] | conv=1 );
[[0,0],[0,2],[2,0]]
[4] f_res.msum( [Q1,Q1,Q1] | conv=1 );
[[0,0],[0,3],[3,0]]
[5] f_res.msum( [Q1,Q2] );
[[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1]]
[6] f_res.msum( [Q1,Q2] | conv=1 );
[[0,0],[0,2],[1,2],[2,0],[2,1]]
@end example


@node f_res.mvol,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.mvol}
@findex f_res.mvol

@table @t
@item f_res.mvol(@var{Polytopes})
:: polytope たちの mixed volume を求める
@end table

@table @var
@item return
整数
@item Polytopes
リストのリストのリスト
@end table

@itemize @bullet
@item var{Polytopes} の成分である polytope による mixed volume を求める.
@item Mixed volume の定義から polytope の次元と数は等しい必要がある.
@item OpenXM サーバ @code{ox_sres} が存在しないときは浮動小数版を起動する.
@end itemize

@example
[0] Q1 = [[0,0],[1,0],[0,1]]$
[1] Q2 = [[0,0],[1,0],[0,1],[1,1]]$
[2] f_res.mvol( [Q1,Q1] );
1
[3] f_res.mvol( [Q1,Q2] );
2
[4] f_res.mvol( [Q2,Q2] );
2
@end example


@node f_res.sres,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.sres}
@findex f_res.sres

@table @t
@item f_res.sres(@var{Equations},@var{Vars})
:: sparse resultant の多項式倍を返す
@end table

@table @var
@item return
多項式
@item Equations
多項式のリスト
@item Vars
不定元のリスト
@item オプション
@table @var
 @item v
 リスト
 @item p
 素数
 @item sub
 リスト
@end table
@end table

@itemize @bullet
@item @var{Equations} の成分の多項式による不定元を @var{Vars} としたとき Incremental algorithm で計算した resultant の多項式倍を返す.

@item オプション @var{v} は v-distance を表すリストで, 定義されていない場合は 
[11,12,13,@dots{}]$ が使われる.

@item 行列の rank の計算は GF(@var{p}) 上で行なわれ,
行列の中の不定元にはオプションで @var{sub} で指定される
リストの要素が前から順に代入され評価される.
ここで @var{p} はオプションの @var{p} である.
素数 @var{p} が指定されていない場合は 65521 が使われ,
リスト @var{sub} が指定されていない場合は 53,59,@dots{} の素数が使われる.

@item OpenXM サーバ @code{ox_sres} が存在しないときは浮動小数版を起動する.
@end itemize

@example
[0] F0 = a1*x + a2*y + a3$
[1] F1 = b1*x + b2*y + b3$
[2] F2 = c1*x^2 + c2*y^2 + c3 + c4*x*y + c5*x + c6*y$
[3] R = f_res.sres( [F0,F1,F2], [x,y] );
(c3*b2^3-c6*b3*b2^2+c2*b3^2*b2)*a1^2+(((-2*c3*b2^2+c6*b3*b2)*b1+c5*b3*b2^2-c4*b
3^2*b2)*a2+((c6*b2^2-2*c2*b3*b2)*b1-c5*b2^3+c4*b3*b2^2)*a3)*a1+(c3*b2*b1^2-c5*b
3*b2*b1+c1*b3^2*b2)*a2^2+(-c6*b2*b1^2+(c5*b2^2+c4*b3*b2)*b1-2*c1*b3*b2^2)*a3*a2
+(c2*b2*b1^2-c4*b2^2*b1+c1*b2^3)*a3^2
[4] fctr( R );
[[1,1],[b2,1],[(c3*b2^2-c6*b3*b2+c2*b3^2)*a1^2+(((-2*c3*b2+c6*b3)*b1+c5*b3*b2-c
4*b3^2)*a2+((c6*b2-2*c2*b3)*b1-c5*b2^2+c4*b3*b2)*a3)*a1+(c3*b1^2-c5*b3*b1+c1*b3
^2)*a2^2+(-c6*b1^2+(c5*b2+c4*b3)*b1-2*c1*b3*b2)*a3*a2+(c2*b1^2-c4*b2*b1+c1*b2^2
)*a3^2,1]]
@end example

@node f_res.dres f_res.dresM,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.dres}, @code{f_res.dresM}
@findex f_res.dres
@findex f_res.dresM

@table @t 
@item f_res.dres(@var{Equations},@var{Vars})
:: Dixon resultant を返す
@item f_res.dresM(@var{Equations},@var{Vars})
:: 行列式が Dixon resultant になるような行列を返す
@end table

@table @var
@item return
@table @t
 @item f_res.dres
 多項式
 @item f_res.dresM
 行列
@end table
@item Equaitons
多項式のリスト
@item Vars
不定元のリスト
@item オプション
@table @var
 @item norsc
 任意
 @item rowidx
 配列
 @item colidx
 配列
 @item p
 素数
 @item sub
 リスト
@end table
@end table


@itemize @bullet
@item @var{Equations} の 成分の多項式による不定元を @var{Vars} 
としたとき Dixon の方法で @code{f_res.dres} は resultant の多項式倍を,
@code{f_res.dresM} は resultant の多項式倍を行列式にもつ行列を返す.

@item Rank Submatrix Construction を行ないたくないときは
オプション @var{norsc} を 1 に設定する.

@item この関数は内部で関数 @code{f_res.submatrix} を呼び出しているので,
そのためのオプションはすべて受け付ける.
@end itemize

@example
[0] F0 = a1*x + a2*y + a3$
[1] F1 = b1*x + b2*y + b3$
[2] F2 = c1*x^2 + c2*y^2 + c3 + c4*x*y + c5*x + c6*y$
[3] f_res.dresM( [F0,F1,F2], [x,y] );
[ c1*b3*a2-c1*b2*a3 -c2*b3*a1+c4*b3*a2+(c2*b1-c4*b2)*a3 (c3*b2-c6*b3)*a1+(-c3*b
1+c5*b3)*a2+(c6*b1-c5*b2)*a3 ]
[ 0 -c2*b2*a1+c2*b1*a2 -c2*b3*a1+c2*b1*a3 ]
[ -c1*b2*a1+c1*b1*a2 -c4*b2*a1+c4*b1*a2 -c4*b3*a1+c1*b3*a2+(c4*b1-c1*b2)*a3 ]
[4] R = dres( [F0,F1,F2], [x,y] );
(-c3*c2*c1*b2^3+c6*c2*c1*b3*b2^2-c2^2*c1*b3^2*b2)*a1^3+(((3*c3*c2*c1*b2^2-2*c6*
c2*c1*b3*b2+c2^2*c1*b3^2)*b1-c5*c2*c1*b3*b2^2+c4*c2*c1*b3^2*b2)*a2+((-c6*c2*c1*
b2^2+2*c2^2*c1*b3*b2)*b1+c5*c2*c1*b2^3-c4*c2*c1*b3*b2^2)*a3)*a1^2+(((-3*c3*c2*c
1*b2+c6*c2*c1*b3)*b1^2+(2*c5*c2*c1*b3*b2-c4*c2*c1*b3^2)*b1-c2*c1^2*b3^2*b2)*a2^
2+((2*c6*c2*c1*b2-2*c2^2*c1*b3)*b1^2-2*c5*c2*c1*b2^2*b1+2*c2*c1^2*b3*b2^2)*a3*a
2+(-c2^2*c1*b2*b1^2+c4*c2*c1*b2^2*b1-c2*c1^2*b2^3)*a3^2)*a1+(c3*c2*c1*b1^3-c5*c
2*c1*b3*b1^2+c2*c1^2*b3^2*b1)*a2^3+(-c6*c2*c1*b1^3+(c5*c2*c1*b2+c4*c2*c1*b3)*b1
^2-2*c2*c1^2*b3*b2*b1)*a3*a2^2+(c2^2*c1*b1^3-c4*c2*c1*b2*b1^2+c2*c1^2*b2^2*b1)*
a3^2*a2
[5] fctr(R);
[[-1,1],[c2,1],[c1,1],[b2*a1-b1*a2,1],[(c3*b2^2-c6*b3*b2+c2*b3^2)*a1^2+(((-2*c3
*b2+c6*b3)*b1+c5*b3*b2-c4*b3^2)*a2+((c6*b2-2*c2*b3)*b1-c5*b2^2+c4*b3*b2)*a3)*a1
+(c3*b1^2-c5*b3*b1+c1*b3^2)*a2^2+(-c6*b1^2+(c5*b2+c4*b3)*b1-2*c1*b3*b2)*a3*a2+(
c2*b1^2-c4*b2*b1+c1*b2^2)*a3^2,1]]
@end example


@node f_res.dixonpolynomial,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.dixonpolynomial}
@findex f_res.dixonpolynomial

@table @t
@item f_res.dixonpolynomial(@var{Equations},@var{Vars})
:: Dixon polynomial を返す
@end table

@table @var
@item return
リスト
@item Equaitons
多項式のリスト
@item Vars
不定元のリスト
@end table

@itemize @bullet
@var{Equations} の 成分の多項式による不定元を @var{Vars} 
としたときの Dixon polynomial を計算し,
@code{[ (Dixon polynomial), (新しい変数の配列) ]} というリストを返す.
新しい変数は関数 @code{uc} によって生成された不定元である.
多項式の数は変数の数よりも一つ多い必要がある.
@end itemize

@example
[0] F0 = a1*x + a2*y + a3$
[1] F1 = b1*x + b2*y + b3$
[2] F2 = c1*x^2 + c2*y^2 + c3 + c4*x*y + c5*x + c6*y$
[3] f_res.dixonpolynomial( [F0,F1,F2], [x,y] );
[(-_0*c1*b2*a1+(_0*c1*b1+c1*b3)*a2-c1*b2*a3)*x+(((-_1*c2-_0*c4)*b2-c2*b3)*a1+((
_1*c2+_0*c4)*b1+c4*b3)*a2+(c2*b1-c4*b2)*a3)*y+(c3*b2+(-_1*c2-_0*c4-c6)*b3)*a1+(
-c3*b1+(_0*c1+c5)*b3)*a2+((_1*c2+_0*c4+c6)*b1+(-_0*c1-c5)*b2)*a3,[ _0 _1 ]]
@end example


@node f_res.matrixdecomp,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.matrixdecomp}
@findex f_res.matrixdecomp

@table @t
@item f_res.matrixdecomp( @var{Dpoly}, @var{UC}, @var{Vars} )
:: Dixon polynomial を行列に分解する.
@end table

@table @var
@item return
リスト
@item Dpoly
多項式
@item UC
配列
@item Vars
リスト
@end table

@itemize @bullet
@item dixonpolynomial @var{Dpoly} を行が @var{UC} の monomial,
列が @var{Vars} の monomial で添字付けられる行列に分解する.
@item 戻り値は, 
@code{[ (@var{UC} の monomial の配列),(行列),(@var{Vars} の monomial の配列) ]}
という形で,それぞれ@var{sigma_P = V D_P W} の @var{V}, @var{D_P}, @var{W} を表す.
@end itemize

@example
[0] F0 = a1*x + a2*y + a3$
[1] F1 = b1*x + b2*y + b3$
[2] F2 = c1*x^2 + c2*y^2 + c3 + c4*x*y + c5*x + c6*y$
[3] D = f_res.dixonpolynomial( [F0,F1,F2], [x,y] )$
[4] M = f_res.matrixdecomp( D[0], D[1], [x,y] );
[[ 1 _1 _0 ],[ c1*b3*a2-c1*b2*a3 -c2*b3*a1+c4*b3*a2+(c2*b1-c4*b2)*a3 (c3*b2-c6*
b3)*a1+(-c3*b1+c5*b3)*a2+(c6*b1-c5*b2)*a3 ]
[ 0 -c2*b2*a1+c2*b1*a2 -c2*b3*a1+c2*b1*a3 ]
[ -c1*b2*a1+c1*b1*a2 -c4*b2*a1+c4*b1*a2 -c4*b3*a1+c1*b3*a2+(c4*b1-c1*b2)*a3 ],[
 x y 1 ]]
[5] V = M[0]*M[1]$
[6] D[0] == V[0]*M[2][0]+V[1]*M[2][1]+V[2]*M[2][2];
1
@end example


@node f_res.submatrix,,, 主な関数
@subsection @code{f_res.submatrix}
@findex f_res.submatrix

@table @t
@item f_res.submatrix( @var{Matrix} )
:: 引数である行列の rank を持つ部分行列を返す.
@end table

@table @var
@item return
行列
@item Matrix
行列
@item オプション
@table @var
 @item rowidx
 配列
 @item colidx
 配列
 @item p
 素数
 @item sub
 リスト
@end table
@end table

@itemize @bullet
@item 行列 @var{Matrix} の rank を持つ部分行列を返す.

@item 行列の rank の計算で行列の中の不定元にはリスト @var{sub} 
の値が前から順に代入され GF(@var{p}) で評価される.
ここで @var{p} はオプションの @var{p} が使われる.

@item 与えられた行列が正則ではないとき部分行列は一意に定まらない.
そこでどの行列を指定するかというのを配列 @var{rowidx,colidx} で行なう.
実際には行列 @var{Matrix}の (i,j) 成分を (@var{rowidx}[i],@var{colidx}[j])
 成分と入れ換えているだけである.

@item 素数 @var{p} が指定されていない場合は 65521 が使われ,
リスト @var{sub} が指定されていない場合は 53,59,dots{} の素数が使われる.
@end itemize

@example
[0] M = newmat( 3, 3, [[1,0,0],[0,a,0],[0,b,0]] );
[ 1 0 0 ]
[ 0 a 0 ]
[ 0 b 0 ]
[1] f_res.submatrix( M );
[ 1 0 ]
[ 0 a ]
[2] f_res.submatrix( M | rowidx=ltov([0,2,1]) );
[ 1 0 ]
[ 0 b ]
@end example

@comment --- おまじない ---
@node Index,,, Top
@unnumbered Index
@printindex fn
@printindex cp
@iftex
@vfill @eject
@end iftex
@summarycontents
@contents
@bye
@comment --- おまじない終り ---