@node 数の演算,,, 組み込み函数
@section 数の演算

@menu
* idiv irem::
* fac::
* igcd igcdcntl::
* ilcm::
* inv::
* prime lprime::
* random::
* mt_save mt_load::
* nm dn::
* conj real imag::
* eval::
* pari::
* setprec::
* setmod::
* lrandom::
@end menu

@node idiv irem,,, 数の演算
@subsection @code{idiv}, @code{irem}
@findex idiv
@findex irem

@table @t
@item idiv(@var{i1},@var{i2})
:: 整数除算による商. 
@item irem(@var{i1},@var{i2})
:: 整数除算による剰余. 
@end table

@table @var
@item return
整数
@item i1,i2
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
@var{i1} の @var{i2} による整数除算による商, 剰余を求める. 
@item
@var{i2} は 0 であってはならない. 
@item
被除数が負の場合, 絶対値に対する値にマイナスをつけた値を返す. 
@item
@var{i1} @code{%} @var{i2} は, 結果が正に正規化されることを除けば
@code{irem()} の代わりに用いることができる. 
@item
多項式の場合は @code{sdiv}, @code{srem} を用いる. 
@end itemize

@example
[0] idiv(100,7);
14
[0] idiv(-100,7);
-14
[1] irem(100,7);
2
[1] irem(-100,7);
-2
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{sdiv sdivm srem sremm sqr sqrm}, @fref{%}.
@end table

@node fac,,, 数の演算
@subsection @code{fac}
@findex fac

@table @t
@item fac(@var{i})
:: @var{i} の階乗. 
@end table

@table @var
@item return
整数
@item i
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
@var{i} の階乗を計算する. 
@item
@var{i} が負の場合は 0 を返す. 
@end itemize

@example
[0] fac(50);
30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
@end example

@node igcd igcdcntl,,, 数の演算
@subsection @code{igcd},@code{igcdcntl}
@findex igcd
@findex igcdcntl

@table @t
@item igcd(@var{i1},@var{i2})
:: 整数の GCD (最大公約数)
@item igcdcntl([@var{i}])
:: 整数 GCDのアルゴリズム選択
@end table

@table @var
@item return
整数
@item i1,i2,i
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
@code{igcd} は @var{i1} と @var{i2} の GCD を求める. 
@item
引数が整数でない場合は, エラーまたは無意味な結果を返す. 
@item
多項式の場合は, @code{gcd}, @code{gcdz} を用いる. 
@item
整数 GCD にはさまざまな方法があり, @code{igcdcntl} で設定できる. 

@table @code
@item 0
Euclid 互除法 (default)
@item 1
binary GCD
@item 2
bmod GCD
@item 3
accelerated integer GCD
@end table
2, 3 は K. Weber, ACM TOMS, Vol.21, No. 1 (1995), pp. 111-122 による. 

おおむね 3 が高速だが, 例外もある. 
@end itemize

@example
[0] A=lrandom(10^4)$
[1] B=lrandom(10^4)$
[2] C=lrandom(10^4)$
[3] D=A*C$
[4] E=A*B$
[5] cputime(1)$
[6] igcd(D,E)$
0.6sec + gc : 1.93sec(2.531sec)
[7] igcdcntl(1)$
[8] igcd(D,E)$  
0.27sec(0.2635sec)
[9] igcdcntl(2)$
[10] igcd(D,E)$  
0.19sec(0.1928sec)
[11] igcdcntl(3)$
[12] igcd(D,E)$  
0.08sec(0.08023sec)
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{gcd gcdz}.
@end table

@node ilcm,,, 数の演算
@subsection @code{ilcm}
@findex ilcm

@table @t
@item ilcm(@var{i1},@var{i2})
:: 最小公倍数を求める. 
@end table

@table @var
@item return
整数
@item i1,i2
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
整数 @var{i1}, @var{i2} の最小公倍数を求める. 
@item
一方が 0 の場合 0 を返す. 
@item

@end itemize

@table @t
@item 参照
@fref{igcd igcdcntl}, @fref{mt_save mt_load}.
@end table
@node inv,,, 数の演算
@subsection @code{inv}
@findex inv

@table @t
@item inv(@var{i},@var{m})
:: @var{m} を法とする @var{i} の逆数
@end table

@table @var
@item return
整数
@item i,m
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
@var{ia} @equiv{} 1 mod (@var{m}) なる整数 @var{a} を求める. 
@item
@var{i} と @var{m} は互いに素でなければならないが, @code{inv()} は
そのチェックは行わない. 
@end itemize

@example
[71] igcd(1234,4321);  
1
[72] inv(1234,4321);
3239
[73] irem(3239*1234,4321);
1
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{igcd igcdcntl}.
@end table

@node prime lprime,,, 数の演算
@subsection @code{prime}, @code{lprime}
@findex prime
@findex lprime

@table @t
@item prime(@var{index})
@item lprime(@var{index})
:: 素数を返す
@end table

@table @var
@item return
整数
@item index
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
@code{prime()}, @code{lprime()} いずれもシステムが内部に持つ
素数表の要素を返す. @code{index} は 0 以上の整数で, 素数表
のインデックスに用いられる. @code{prime()} は 16381 まで
の素数を小さい順に 1900 個, @code{lprime()} は, 10 進 8 桁で最大の
素数から大きい順に 999 個返す. それ以外のインデックスに対しては
0 を返す. 
@item
より一般的な素数生成函数としては, @code{pari(nextprime,@var{number})}
がある. 
@end itemize

@example
[95] prime(0);
2
[96] prime(1228);
9973
[97] lprime(0);
99999989
[98] lprime(999);
0
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{pari}.
@end table

@node random,,, 数の演算
@subsection @code{random}
@findex random

@table @t
@item radom([@var{seed}])
:: 乱数を生成する. 
@end table

@table @var
@item seed
@item return
自然数
@end table

@itemize @bullet
@item
最大 2^32-1 の非負整数の乱数を生成する. 
@item
0 でない引数がある時, その値を seed として設定してから, 乱数を生成する. 
@item
default の seed は固定のため, 種を設定しなければ, 生成される乱数の
系列は起動毎に一定である. 
@item
松本眞-西村拓士による Mersenne Twister (http://www.math.keio.ac.jp/matsumoto/mt.html) アルゴリズムの, 彼ら自身による実装を用いている. 
@item
周期は 2^19937-1 と非常に長い. 
@item
@code{mt_save} により state をファイルに save できる. これを @code{mt_load}
で読み込むことにより, 異る Asir セッション間で一つの乱数の系列を辿ることが
できる. 
@end itemize

@table @t
@item 参照
@fref{lrandom}, @fref{mt_save mt_load}.
@end table

@node lrandom,,, 数の演算
@subsection @code{lrandom}
@findex lrandom

@table @t
@item lradom(@var{bit})
:: 多倍長乱数を生成する. 
@end table

@table @var
@item bit
@item return
自然数
@end table

@itemize @bullet
@item
高々 @var{bit} の非負整数の乱数を生成する. 
@item
@code{random} を複数回呼び出して結合し, 指定の bit 長にマスクしている. 
@end itemize

@table @t
@item 参照
@fref{random}, @fref{mt_save mt_load}.
@end table

@node mt_save mt_load,,, 数の演算
@subsection @code{mt_save}, @code{mt_load}
@findex mt_save
@findex mt_load

@table @t
@item mt_save(@var{fname})
:: 乱数生成器の現在の状態をファイルにセーブする. 
@item mt_load(@var{fname})
:: ファイルにセーブされた乱数生成器の状態をロードする. 
@end table

@table @var
@item return
0 または 1
@item fname
文字列
@end table

@itemize @bullet
@item ある状態をセーブし, その状態をロードすることで, 
一つの疑似乱数系列を, 新規の Asir セッションで続けてたどることが
できる. 
@end itemize

@example
[340] random();
3510405877
[341] mt_save("/tmp/mt_state");
1
[342] random();
4290933890
[343] quit;
% asir
This is Asir, Version 991108.
Copyright (C) FUJITSU LABORATORIES LIMITED.
3 March 1994. All rights reserved.
[340] mt_load("/tmp/mt_state");
1
[341] random();
4290933890
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{random}, @fref{lrandom}.
@end table

@node nm dn,,, 数の演算
@subsection @code{nm}, @code{dn}
@findex nm
@findex dn

@table @t
@item nm(@var{rat})
:: @var{rat} の分子. 
@item dn(@var{rat})
:: @var{rat} の分母. 
@end table

@table @var
@item return
整数または多項式
@item rat
有理数または有理式
@end table

@itemize @bullet
@item
与えられた有理数また有理式の分子及び分母を返す. 
@item
有理数の場合, 分母は常に正で, 符号は分子が持つ. 
@item
有理式の場合, 単に分母, 分子を取り出すだけである. 
有理式に対しては, 約分は自動的には行われない. @code{red()}
を明示的に呼び出す必要がある. 
@end itemize

@example
[2] [nm(-43/8),dn(-43/8)];
[-43,8]
[3] dn((x*z)/(x*y));
y*x
[3] dn(red((x*z)/(x*y)));
y
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{red}.
@end table

@node conj real imag,,, 数の演算
@subsection @code{conj}, @code{real}, @code{imag}
@findex conj

@table @t
@item real(@var{comp})
:: @var{comp} の実数部分. 
@item imag(@var{comp})
:: @var{comp} の虚数部分. 
@item conj(@var{comp})
:: @var{comp} の共役複素数. 
@end table

@table @var
@item return comp
複素数
@end table

@itemize @bullet
@item
複素数に対し, 実部, 虚部, 共役を求める. 
@item
これらは, 多項式に対しても働く. 
@end itemize

@example
[111] A=(2+@@i)^3; 
(2+11*@@i)
[112] [real(A),imag(A),conj(A)];
[2,11,(2-11*@@i)]
@end example

@node eval,,, 数の演算
@subsection @code{eval}
@findex eval
@cindex PARI

@table @t
@item eval(@var{obj}[,@var{prec}])
:: @var{obj} の値の評価. 
@end table

@table @var
@item return
数あるいは式
@item obj
一般の式
@item prec
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
@var{obj} に含まれる函数の値を可能な限り評価する. 
@item
計算は @b{PARI} (@xref{pari}) が行う. 
@item
@var{prec} を指定した場合, 計算は, 10 進 @var{prec} 桁程度で行われる. 
@var{prec} の指定がない場合, 現在設定されている精度で行われる. 
(@xref{setprec})
@item
@table @t
@item 扱える函数は, 次の通り. 
@code{sin}, @code{cos}, @code{tan},

@code{asin}, @code{acos}, @code{atan},

@code{sinh}, @code{cosh}, @code{tanh},

@code{asinh}, @code{acosh}, @code{atanh},

@code{exp}, @code{log}, @code{pow(a,b) (a^b)}
@end table
@item
以下の記号を数として評価できる. 
@table @t
@item @@i
虚数単位
@item @@pi
円周率
@item @@e
自然対数の底
@end table
@end itemize

@example
[118] eval(exp(@@pi*@@i));   
-1.0000000000000000000000000000
[119] eval(2^(1/2));
1.414213562373095048763788073031
[120] eval(sin(@@pi/3));
0.86602540378443864674620506632
[121] eval(sin(@@pi/3)-3^(1/2)/2,50);
-2.78791084448179148471 E-58
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{ctrl}, @fref{setprec}, @fref{pari}.
@end table

@node pari,,, 数の演算
@subsection @code{pari}
@findex pari
@cindex PARI

@table @t
@item pari(@var{func},@var{arg},@var{prec}) 
:: @b{PARI} の函数 @var{func} を呼び出す. 
@end table

@table @var
@item return
@var{func} 毎に異なる. 
@item func
@b{PARI} の函数名
@item arg
@var{func} の引数
@item prec
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
@b{PARI} の函数を呼び出す. 

@item
@b{PARI} @code{[Batut et al.]} は Bordeaux 大学で開発されフ
リーソフトウェアとして公開されている. @b{PARI} は数式処理的な機能を有
してはいるが, 主なターゲットは整数論に関連した数 (@b{bignum},
@b{bigfloat}) の演算で, 四則演算に限らず@b{bigfloat} によるさまざまな
函数値の評価を高速に行うことができる. @b{PARI} は他のプログラムから
サブルーチンライブラリとして用いることができ, また, @samp{gp} という 
@b{PARI}ライブラリのインタフェースにより UNIX のアプリケーションとして
利用することもできる. 現在のバージョンは @b{1.39} でいくつかの ftp
site (たとえば @code{math.ucla.edu:/pub/pari})
から anonymous ftp できる. 
@item
最後の引数 @var{prec} で計算精度を指定できる.
@var{prec} を省略した場合 @code{setprec()} で指定した精度となる. 
@item
現時点で実行できる @b{PARI} の函数は次の通りである. いずれも
1 引数で @b{Asir} が対応できる型の引数をとる函数である. 
なお各々の機能については @b{PARI} のマニュアルを参照のこと.

@code{abs},
@code{adj},
@code{arg},
@code{bigomega},
@code{binary},
@code{ceil},
@code{centerlift},
@code{cf},
@code{classno},
@code{classno2},
@code{conj},
@code{content},
@code{denom},
@code{det},
@code{det2},
@code{detr},
@code{dilog},
@code{disc},
@code{discf},
@code{divisors},
@code{eigen},
@code{eintg1},
@code{erfc},
@code{eta},
@code{floor},
@code{frac},
@code{galois},
@code{galoisconj},
@code{gamh},
@code{gamma},
@code{hclassno},
@code{hermite},
@code{hess},
@code{imag},
@code{image},
@code{image2},
@code{indexrank},
@code{indsort},
@code{initalg},
@code{isfund},
@code{isprime},
@code{ispsp},
@code{isqrt},
@code{issqfree},
@code{issquare},
@code{jacobi},
@code{jell},
@code{ker},
@code{keri},
@code{kerint},
@code{kerintg1},
@code{kerint2},
@code{kerr},
@code{length},
@code{lexsort},
@code{lift},
@code{lindep},
@code{lll},
@code{lllg1},
@code{lllgen},
@code{lllgram},
@code{lllgramg1},
@code{lllgramgen},
@code{lllgramint},
@code{lllgramkerim},
@iftex
@break
@end iftex
@code{lllgramkerimgen},
@code{lllint},
@code{lllkerim},
@code{lllkerimgen},
@code{lllrat},
@code{lngamma},
@code{logagm},
@code{mat},
@code{matinvr},
@code{matrixqz2},
@code{matrixqz3},
@code{matsize},
@code{modreverse},
@code{mu},
@code{nextprime},
@code{norm},
@code{norml2},
@code{numdiv},
@code{numer},
@code{omega},
@code{order},
@code{ordred},
@code{phi},
@code{pnqn},
@code{polred},
@code{polred2},
@code{primroot},
@code{psi},
@code{quadgen},
@code{quadpoly},
@code{real},
@code{recip},
@code{redcomp},
@code{redreal},
@code{regula},
@code{reorder},
@code{reverse},
@code{rhoreal},
@code{roots},
@code{rootslong},
@code{round},
@code{sigma},
@code{signat},
@code{simplify},
@code{smalldiscf},
@code{smallfact},
@code{smallpolred},
@code{smallpolred2},
@code{smith},
@code{smith2},
@code{sort},
@code{sqr},
@code{sqred},
@code{sqrt},
@code{supplement},
@code{trace},
@code{trans},
@code{trunc},
@code{type},
@code{unit},
@code{vec},
@code{wf},
@code{wf2},
@code{zeta}

@item
@b{Asir} で用いているのは @b{PARI} のほんの一部の機能であるが, 今後
より多くの機能が利用できるよう改良する予定である. 
@end itemize

@example
/* 行列の固有ベクトルを求める. */
[0] pari(eigen,newmat(2,2,[[1,1],[1,2]]));
[ -1.61803398874989484819771921990 0.61803398874989484826 ]
[ 1 1 ]
/* 1 変数多項式の根を求める. */
[1] pari(roots,t^2-2);
[ -1.41421356237309504876 1.41421356237309504876 ]
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{setprec}.
@end table

@node setprec,,, 数の演算
@subsection @code{setprec}
@findex setprec
@cindex PARI

@table @t
@item setprec([@var{n}])
:: @b{bigfloat} の桁数を @var{n} 桁に設定する. 
@end table

@table @var
@item return
整数
@item n
整数
@end table

@itemize @bullet
@item
引数がある場合, @b{bigfloat} の桁数を @var{n} 桁に設定する. 
引数のあるなしにかかわらず, 以前に設定されていた値を返す. 
@item
@b{bigfloat} の計算は @b{PARI} (@xref{pari}) によって行われる. 
@item
@b{bigfloat} での計算に対し有効である. 
@b{bigfloat} の flag を on にする方法は, @code{ctrl} を参照. 
@item
設定できる桁数に上限はないが, 指定した桁数に設定されるとは
限らない. 大きめの値を設定するのが安全である. 
@end itemize

@example
[1] setprec();
9
[2] setprec(100);
9
[3] setprec(100);
96
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{ctrl}, @fref{eval}, @fref{pari}.
@end table

@node setmod,,, 数の演算
@subsection @code{setmod}
@findex setmod

@table @t
@item setmod([@var{p}])
:: 有限体を GF(@var{p}) に設定する. 
@end table

@table @var
@item return
整数
@item n
2^27 未満の素数
@end table

@itemize @bullet
@item
有限体を GF(@var{p}) に設定する. 設定値を返す. 
@item
有限体の元の型を持つ数は, それ自身はどの有限体に属するかの情報を持たず, 
現在設定されている素数 @var{p} により GF(@var{p}) 上での演算が適用される. 
@end itemize

@example
[0] A=dp_mod(dp_ptod(2*x,[x]),3,[]);
(2)*<<1>>
[1] A+A;
addmi : invalid modulus
return to toplevel
[1] setmod(3);
3
[2] A+A;
(1)*<<1>>
@end example

@table @t
@item 参照
@fref{dp_mod dp_rat}, @fref{数の型}.
@end table