解の収束定理

定理 9.1   微分方程式

$$y'(t) = f(t,y(t)), \quad y(0)=P$$

を考える. ある数 $L$ が存在して, 任意の, $u,v \in {\bf R}$ および $t \in [0,b]$ に対して $f(t,z)$ はリプシッツ連続の条件

$$\vert f(t,u) - f(t,v) \vert < L \vert u-v\vert$$

をみたすと仮定する. さらに, $2$回連続微分可能な解 $y(t)$ が $t \in [0,b]$ の間で存在すると 仮定する.
$n$ を数, $h=b/n$ とおくとき数列 $\{ y_k \}$ を漸化式

$$y_{k+1} = y_k + h f(x_k,y_k),\ \quad y_0 = P$$

で定義する. このとき, $n$ に関係しないある数 $C$ が存在して,

$$\max_{0 \leq k \leq n} \vert y_k - y(kh) \vert \leq C h$$ (9.3)

となる.

定理の意味を説明しよう. $C$ は $n$ に依存しないので, 式 (9.3) の右辺は, $n = b/h \rightarrow \infty$ のとき $0$ に収束する. したがって, $n$ が十分大きいとき (すなわち $h$ が十分小さいとき), 差分法で求まる数列 $y_k$ は真の解 $y(kh)$ に $0 \leq kh \leq b$ の区間で十分近い.

定理の証明をしよう. $y(t)$ を真の解とし, $t_k = kh$, $Y_k = y(t_k)$ とおく. $y(t_k+h)$ に Taylor 展開の公式を $2$ 次まで適用すると, 等式

$$y(t_k+h) = y(t_k) + y'(t_k) h + \frac{h^2}{2!} y''(t_k+\theta_k(h) h)$$ (9.4)

が成立する. ここで, $\theta_k(h)$ は $k$ と $h$ に依存し, $0 < \theta_k(h) < 1$ を満たす定数である. (9.4) を微分方程式を用いてかきなおすと,

$$Y_{k+1} = Y_k + f(t_k,Y_k) h + \frac{h^2}{2!} y''(t_k+\theta_k(h) h)$$

となる. 差分方程式の方の解 $y_k$ と差をとると,

$$y_{k+1}-Y_{k+1} = y_k - Y_k + hf(t_k,y_k)-hf(t_k,Y_k) - \frac{h^2}{2!} y''(t_k+\theta_k(h) h)$$

を得る. よって不等式

$$\vert y_{k+1}-Y_{k+1}\vert \leq \vert y_k - Y_k\vert + h L \vert y_k-Y_k\vert +h^2 M$$ (9.5)

を得る. ここで $f$ のリプシッツ連続性および, 区間 $[0,b]$ で $y''(t)/2!$ が有界であり, ある定数 $M$ で上からおさえられることを用いた. (9.5) の右辺の $\vert y_k-Y_k\vert$ を $k$, $k-1$ に対する場合の不等式 (9.5) で上から おさえることにより,

$$\vert y_{k+1}-Y_{k+1} \vert \leq (1+hL)^2 \vert y_{k-1}-Y_{k-1} \vert + (1+hL) h^2 M + h^2 M$$

をえる. これを繰り返して,

$$\begin{eqnarray*} && \vert y_{k+1} - Y_{k+1} \vert \\ &\leq& (1+hL)^{k-1} \ver... ...L)^{k-1}}{1-(1+hL)} h^2 M \\ &=& \frac{1-(1+hL)^{k-1}}{L} h M . \end{eqnarray*}$$

ここで

$$\vert 1-(1+hL)^{k-1}\vert \leq 1 + \frac{(1+hL)^n}{1+hL} \leq... ... (1+hL)^n =1+\left( 1 + \frac{bL}{n} \right)^n \leq 1+ e^{bL}$$

なので, $C = \frac{1+e^{bL}}{L} M$ とおくと, 定理の不等式がみたされる. 証明おわり.

同様の差分化および証明法は連立常微分方程式

$$\frac{d}{dt} \pmatrix{ y_1 \cr y_2 \cr \cdot \cr y_q \cr} ... ..._1, \ldots, y_q) \cr \cdot \cr f_q(t,y_1, \ldots, y_q) \cr }$$

でも通用する.